9012

10

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или

противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

вектора параллельно самому себе, получим равный ему вектор. Равные векторы называют также свободными.

Три вектора (или более трех) называются компланарными, если они

лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди векторов

хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

плоскость в точке В.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b ,

причем конец вектора a и начало вектора b совмещаются и обозначается:

c a b .

Пусть даны вектора a и b (см. рис. 3).

Рис.3

12

Противоположным вектору a называется такой вектор a , который при сложении с вектором a дает нулевой вектор, то есть a a 0 .

Под разностью векторов a и b понимается вектор c a b такой, что a c b (см. рис.7).

Рис. 7

Можно вычитать векторы по правилу: a b a b , то есть вычитание векторов заменить сложением вектора a с вектором,

противоположным вектору b .

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах a и b , одна направленная диагональ является суммой векторов a и b , а другая – разностью

(см. рис. 8).

Рис. 8

Произведением вектора a на число называется такой вектор a ,

направление которого совпадает с вектором a , если 0 и противоположно направлению вектора a , если 0; длина же вектора a в раз «больше»

длины вектора a , то есть

a a .

Если 0 , то a 0 .

a

c

Рис. 9

Свойства линейных операций над векторами:

1.a b c a b c

2.a b b a

3.a 0 a

4.a a 0

5.a a

6.a b a b

7.a a a

8.1 a a , где , , , – действительные числа.

Теорема 1 (критерий коллинеарности) Два ненулевых вектора a и b

коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется единственное число такое,

что b a .

Теорема 2 (о разложении вектора по двум неколлинеарным) Любой

вектор c на плоскости может единственным образом быть разложен по двум

неколлинеарным векторам a и b , то есть

14

c ! , R c a b .

Теорема 3 (критерий компланарности) Три вектора a , b и c

компланарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно разложить по двум остальным, то есть , R c a b .

Теорема 4 (о разложении вектора по трем некомпланарным) Любой

Или D1 B AD AB AA1 . Тогда получаем разложение :

D1O 12 AA1 12 AB 12 AD .

2)Проекция суммы векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.

Пp l (a b) Пp l a Пp l b .

3)При умножении вектора a на число его проекция на ось также умножается на это число, т.е.

Пp l ( a) Пp l a .

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к

соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

18

§ 3. Координаты вектора и их свойства

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k

пространства, через которые условились выражать все векторы пространства,

называются базисными векторами или базисом.

Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки O и базиса i, j, k .

Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz , проходящие

через начало координат – точку O в направлении базисных векторов i , j и k

называются осями координат. Плоскости xOy , xOz и yOz , проходящие через каждую пару осей координат называются координатными плоскостями.

Рис.1

натным плоскостям.

Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно

через M1 , M 2 , M 3 . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор OM . По определению суммы векторов получае2м a OM OM1 M1 N NM . А так как M1 N OM 2 , NM OM 3 , то

a OM1 OM 2 OM 3 .

Заметим, что OM1 (Пp x a) i , OM 2 (Пp y a) j , OM 3 (Пp z a) k .

19

Обозначим через ax Пp x a , ay Пp y a , az Пp z a . Тогда a ax i ay j az k .

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется

разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ax , a y , az

называются координатами вектора a , то есть его координаты это проекции вектора на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство a ax i ay j az k более кратко записывается a ax , ay , az .

Зная координаты вектора, можно легко найти его длину. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно записать

a ax2 ay2 az2 .

Числа cos , cos , cos называются направляющими косинусами

вектора a . Направляющие косинусы обладают свойством

cos2 cos 2 cos 2 1 .

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, то есть сам вектор.