9011

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9. Найти эксцентриситет гиперболы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Задания для самостоятельной работы:

1.Пользуясь определением гиперболы, составить её уравнение, если

известно, что точки	F 2;0	и	F	2;0	являются фокусами гиперболы, а
	1		2

длина большой оси равна 2.

2.Пользуясь определением гиперболы, составить её уравнение, если


известно, что точки		F 0; 3		и	F	0;3	являются фокусами гиперболы, а
		1			2
длина большой оси равна 4.
3.	Построить гиперболу			2	2
			16x 9y 144. Найти: 1) действительную и
мнимую полуоси; 2)		координаты фокусов; 3) эксцентриситет; 4) уравнения
асимптот.
4.	Составить уравнение гиперболы,					проходящей через точку M 9;8 , если

асимптоты гиперболы имеют уравнения y 232x.

5.Эксцентриситет гиперболы 2 . Составить уравнение гиперболы,

проходящей через точку M				.
	3;		2

6.Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет гиперболы

xy 1 16 4

7.Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет 1,4 .

Найти уравнение гиперболы.

8. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние

между фокусами равно 14, а расстояние между вершинами равно 12.

10. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси OX симметрично относительно начала координат, если дана точка

M4,5; 1	гиперболы и уравнения асимптот	y	2x
	гиперболы и уравнения асимптот	3		.
		3
					2	2
11. Фокусы	гиперболы совпадают с фокусами			эллипса	x		y	1.
11. Фокусы	гиперболы совпадают с фокусами			эллипса				1.
					25 16

Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет 1,5.

12.Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах

2 2

эллипса x y 1, а фокусы – в вершинах данного эллипса.

25 9

Определить область расположения кривых и построить их:

	2					4			2
		2					2				2
		2		2			2				2
1)	y	x 9		2		x	y 9		x		y 25
1)	3		; 2)	y 3 x 1; 3)		3		; 4)	5
	3					3			5
13. Найти точки				пересечения	асимптот		гиперболы		2		2	12 с
13. Найти точки				пересечения	асимптот		гиперболы		x	3y		12 с

окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

14.Определить траекторию точки M , которая движется так, что остается вдвое дальше от точки F 8;0 , чем от прямой x 2 .

15.Найти каноническое уравнение гиперболы, асимптотами которой

являются прямые y x , а фокусы совпадают с фокусами эллипса

2		2
	x		y	1.
				1.
64 28
								2 2
16.			Найти расстояния от				центра окружности	x y 6x4y 0
16.			Найти расстояния от				центра окружности		до
					2	2	9
асимптот гиперболы					x	y	9
асимптот гиперболы							.

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной

прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы d

называется параметром параболы и обозначается через p ( p 0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Oxy так,

чтобы

ось Ox проходила

через

фокус F перпендикулярно

директрисе

направлении от директрисы к F ,

а начало координат

расположим посередине

между фокусом и директрисой (см. рис. 8). В выбранной системе фокус

имеет

координаты (

, 0) , а

уравнение директрисы

имеет вид

или

M (x, y)

0 x

Рис. 8

F (

,0)

Пусть

M - произвольная2

2 точка

параболы.

Соединим

точку

M с F .

Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе.

Согласно определению

параболы MF MN.

Используя

формулу

расстояния

между

двумя

точками,

находим:

)

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

x 2 px

p 2

y 2 x 2 px

p 2

т.е.

y 2 2 px.	(10)
	(10)
Уравнение (10) называется каноническим уравнением параболы.

Установим форму параболы, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (10) содержит y только в четной степени, следовательно парабола симметрична относительно оси Ox , ось Ox называется осью симметрии

параболы.

2. Так как p 0, то из (10) следует, что x 0. Следовательно, парабола расположена справа от оси Oy .

3. При x 0 имеем y 0. Следовательно, парабола проходит через начало координат.

N			M (x, y)
			M (x, y)
				p
				p		x
			F		,0
			F	2	,0
				2
	p	0

2
						y	Рис. 9
4. При неограниченном			возрастании x модуль			y	также неограниченно
возрастает. Парабола		y 2 2 px имеет вид, изображенный на рисунке 9. Точка
O(0,0) называется вершиной параболы.
Уравнение вида		y 2	2 px	определяет параболу, для которой x 0 , т.е.
график этой параболы

							64
				y
				y
	M(x,y)					p
	M(x,y)			0			x
		p		0			x
F			,0		2
F		2	,0

Уравнения

2 py

и x2 2 py

задают

параболы

симметричные

относительно оси oy :

F 0,

«Вырождения» параболы:

x2 k 2 ,

k 2 . Эти

уравнения не

определяют никакого точечного

множества при k 0 .

x2 k 2 ,

y 2 k 2 ,

эти уравнения определяют пару параллельных прямых:

x k и

y k . При k 0 эти прямые совпадают.

Пример. Парабола, симметричная относительно оси oy , имеет вершину в начале координат и проходит через точку (6,-2). Написать уравнение параболы и определить координаты ее фокуса.

Решение. Уравнение параболы,	симметричной относительно оси oy :
x2 2 py либо x2 2 py . Подставим координаты точки в оба уравнения:
62 2 p 2 , т.к. p 0 .	62 2 p 2
	36 4 p
	p 9

Уравнение параболы x2 18 y , ветви вниз и F 0; 4,5

-2

F(0;-4,5)

Задания для самостоятельной работы:

1.Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси OX , с

вершиной в начале координат и проходящей через точку A 3; 3.

2.Составить каноническое уравнение параболы, проходящей через начало

координат, если ее директриса имеет уравнение x 15 0.

3. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y2 12x.

4. Найти вершину, фокус и директрису параболы 2 и y 2x 8x 5

построить кривую.

5.Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси OY , с

вершиной в начале координат и проходящей через точку A 2;4 .

6.	Через фокус параболы y2 12x проведена хорда, перпендикулярная к её
	оси. Найти длину хорды.
7.	Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус
	которой находится в точке пересечения прямой 5x 3y 120с осью:

1) ординат; 2) абсцисс.

				66
8.	Составить	уравнение	множества	точек, одинаково удалённых от точки
	F 2; 0 и от прямой		y 2 . Найти точки пересечения этой кривой с осями
	координат и построить её.
9.	Составить	уравнение	множества	точек, одинаково удалённых от начала
	координат	и от прямой x 4 .		Найти точки пересечения этой кривой с

осями координат и построить её.

10.Камень, брошенный под углом к горизонту, описал дугу параболы и упал на расстоянии 16м. от начального положения. Определить параметр параболической траектории, зная, что наибольшая высота, достигнутая камнем, равна 12м.

11.Камень, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты

16м. Описав параболическую траекторию, он упал в 48м. от точки бросания. На какой высоте находился камень на расстоянии 6м от точки бросания?

12.Зеркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг её оси симметрии. Диаметр зеркала 80см, а глубина его 10см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он должен быть в фокусе параболы?

13.Струя воды фонтана достигает наибольшей высоты 4 м на расстоянии 0,5 м

от вертикали, проходящей через точку O выхода струи. Найти высоту струи

над горизонталью OX	на расстоянии 0,75 м от точки O .
14. Написать уравнение	окружности, диаметром которой служит отрезок,

отсекаемый на оси абсцисс параболой y 3 2x x. Построить обе кривые.

15.Составить уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы y2 6x и касающейся ее директрисы.

16.Написать уравнение окружности с центром в фокусе параболы y2 4x и

2 2

радиусом, равным фокусному расстоянию гиперболы 7x 9y 63.

17. Построить

кривые,

найдя

дополнительные

точки пересечения с осями

координат:

3y 9 x

; 2)

y 9 3x

y 4 x

x 4 2y

;

18. Установить,

какие

линии определяются следующими уравнениями и

построить эти кривые

y 2 x

;

y x

; 3)

y 3 2x

y 2 x

x 3y

;

; 4)

; 5)

6)x 4 y; 7) x 2 6 2y; 8) x 4 3y 5; 9) y 3 4 x 1.

19.Составить уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы y2 6x и касающейся ее директрисы.

Уравнение Ax2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности

можно записать с помощью единого уравнения вида
Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0,		(1)
где коэффициенты A и C не равны нулю одновременно.
Теорема 1
Уравнение (1) всегда определяет:	либо окружность (при	A =C ), либо
эллипс (при A C 0 ), либо гиперболу	(при A C 0 ), либо параболу (при
A C 0 ).

С помощью преобразования параллельного переноса уравнение (1)

кривой 2-го порядка можно привести к каноническому виду.

Рассмотрим параллельный перенос координатных осей:

	y	y	M
			M
y	y
			x	x
			x	x
		o a,b

Рис. 1.

M x, y – точка с координатами в старой системе координат oxy ,

M x , y – точка с координатами в новой системе координат o x y ,

O a,b – начало координат новой системы с координатами в старой системе.

Формулы параллельного переноса координатных осей, выражающие старые координаты через новые:

x x ay y b

Обратные формулы:

x x ay y b

Пример 1 С помощью параллельного переноса осей координат привести к каноническому виду уравнение кривой x2 2y2 4x 8y 10 0 и построить

ее.
Решение.	AC 0 ,		значит уравнение определяет эллипс. Преобразуем
данное уравнение – сгруппируем полные квадраты
x2 4x 4 4 2 y2 4y 4 4 10 0
x 2 2 2 y 2 2 22
x 2 2	y 2 2	1
22	11		.
Положим	x 2 x			эта система задает формулы параллельного переноса
Положим				эта система задает формулы параллельного переноса
	y 2 y
осей координат в т. O1 2, 2 . Получим уравнение эллипса:					(x )2		( y )2	1, с
осей координат в т. O1 2, 2 . Получим уравнение эллипса:								1, с
					22	11
				и центром симметрии в т. O1 2, 2 .
полуосями a	22 , b	11		и центром симметрии в т. O1 2, 2 .

y	y
	0
		x
	O1
-a	a	x
	a	x

Рис. 2.

		Пример. 2.		Привести к простейшему виду и построить кривую, заданную
уравнением: x2 4x 3y 6 0 .
		Решение.	AC 0 –				задана	парабола. Сгруппируем полный квадрат и
преобразуем данное уравнение:
	2						2		2
x		4x 4 4 3y		6 0 или			x 2	3 y		.
x		4x 4 4 3y		6 0 или			x 2	3 y		.
									3
			x 2			x
Положим, что					2		являются формулами параллельного переноса в т.
			y			y
			y			y
					3
					3

O1	2,	2	. Получим уравнение:	x	2	3y

		3

и симметричная относительно оси oy .

y y

-2

– парабола с вершиной в т.	O1	2,	2


			3

		x
	2
		x
	3	x

Рис. 3.

Замечание. С помощью параллельного переноса координатных осей удается в общем уравнении избавиться от слагаемых, содержащих x и y в

первой степени.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.13 Mб09007.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09008.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09009.pdf
#
21.11.2023160.72 Кб0901.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09010.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09011.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09012.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09013.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09014.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09015.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09016.pdf