![](/user_photo/_userpic.png)
8857
.pdf![](/html/65386/175/html_VyDBtx0J3V.JyUL/htmlconvd-npVjrL21x1.jpg)
В диссертационной работе для изображения фигур |
|
|||||||
пространства R4 используется трехмерная проекционная |
|
|||||||
модель |
(гиперэпюр |
Наумович), |
получающаяся |
|
||||
ортогональным |
проецированием |
геометрических |
|
|||||
объектов |
|
пространства |
R4 |
на |
взаимно |
|
||
перпендикулярные |
гиперплоскости |
проекций. |
|
|||||
Возможность |
практического |
применения гиперэпюра |
|
|||||
связана |
с |
|
эффективным |
развитием |
средств |
Рис. 19. Ортогональное |
||
компьютерной графики. |
|
|
|
|
проецирование в R4 |
|||
|
|
|
|
|
Конструктивные построения на гиперэпюре выполняются в соответствии с инвариантными свойствами ортогонального проецирования в расширенном евклидовом пространстве R4(xyzt) (рис. 19).
Свойство 1. Если n-плоскость Σn (n ≤ 3) параллельна гиперплоскости Г′(xyz), то проекция на Г′ любой фигуры, вложенной в Σn, конгруэнтна самой фигуре.
Свойство 2. Если k -плоскость k (k ≤ 3) перпендикулярна гиперплоскости Г′(xyz), то ортогональная проекция Δ′ плоскости k на Г′ вырождается в (k-1)- плоскость Δ′=Δk∩Г′.
На основании свойств 1, 2 в диссертационной работе доказаны теоремы о ортогональных проекциях взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей четырехмерного пространства.
Теорема 5.1. Если n-плоскость Σn (n ≤ 2) параллельна гиперплоскости Г′(xyz), а k-плоскость k (k ≤ 3) перпендикулярна Σn, то их ортогональные проекции Σ′ и Δ′ взаимно перпендикулярны (рис. 20).
Доказательство. Рассмотрим поляритет P, установленный в Г∞(X∞Y∞Z∞T∞) мнимой 2-сферой M2, полученной в сечении произвольной гиперсферы K3 пространства R4 гиперплоскостью Г∞ (P – абсолют пространства R4). В поляритете P прямая s∞ сопряжена с прямой d∞, инцидентной точке T∞. Следовательно, плоскость 2, перпендикулярная к Σ2(A, s∞), проходит через d∞. Мнимая окружность e∞=M2∩X∞Y∞Z∞=K3∩X∞Y∞Z∞ устанавливает в несобственной плоскости X∞Y∞Z∞ поляритет P′ (абсолют пространства Г′). Поляритет P′ может рассматриваться как сечение поляритета P плоскостью X∞Y∞Z∞. Так как прямой s∞ в поляритете P соответствует прямая d∞, то прямой s∞ в P′ соответствует точка D∞=d∞∩X∞Y∞Z∞. Следовательно, в Г′ прямая или плоскость, инцидентная D∞, перпендикулярна плоскости, проходящей через s∞. Проекция Σ′ плоскости Σ2 на гиперплоскость Г′
21
![](/html/65386/175/html_VyDBtx0J3V.JyUL/htmlconvd-npVjrL22x1.jpg)
определена несобственной прямой s∞ и проекцией A′ точки A. Проекция Δ′ плоскости 2 на Г′, согласно свойству 2, вырождается в прямую m′=A′D∞. Так как прямая s∞ и точка D∞ сопряжены в P′, то в Г′ прямая m′ (вырожденная проекция плоскости 2) и плоскость Σ′ (проекция плоскости Σ2) взаимно перпендикулярны. Теорема 1 доказана для случая n=2, k=2. Доказательство теоремы для других случаев следует из рассмотрения сопряженных элементов в поляритетах P и P′.
Условно назовем гиперплоскость Г′(xyz) “фронтальной”, а Г′′(xyt) – «горизонтальной» плоскостями проекций. В плоскости общего положения Ψk (k ≤ 3, k≠1) выделим плоскости уровня Φk-1 и Ηk-1, параллельные Г′ и Г′′ соответственно, и назовем их «фронталью» и «горизонталью». Тогда справедлива следующая теорема (аналог теоремы о проекциях взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей трехмерного пространства).
Теорема 5.2. Если в R4 плоскость Ωn (n ≤ 2) перпендикулярна плоскости общего положения Ψk (k ≤ 3, k≠1), то на гиперэпюре Г′- Г′′ горизонтальная проекция Ω′′ плоскости Ωn перпендикулярна горизонтальной проекции Η′′ горизонтали Ηk-1, а фронтальная проекция Ω′ плоскости Ωn перпендикулярна фронтальной проекции Φ′ фронтали Φk-1, где Ηk-1 Ψk, Φk-1 Ψk. Доказательство теоремы 5.2 сводится к двукратному применению теоремы 5.1.
Выявленные инвариантные свойства и доказанные теоремы позволяют применить способ повышения размерности объемлющего пространства для моделирования поверхности, опирающейся на заданный контур ABCD (рис. 21).
Отображаем плоскости σ, τ, η, ρ вместе с нахо- |
|
|
дящимися в них звеньями контура ABCD на про- |
|
|
странство R4(xyzt). Для этого отмечаем в каждой из |
|
|
плоскостей три произвольные точки и «выносим» |
|
|
их из Г′(xyz) в R4, присваивая им произвольные ко- |
|
|
ординаты по оси t. Реализуется взаимно однознач- |
|
|
ное отображение (биекция) множества точек плос- |
|
|
кости σ как прообраза, вложенного в трехмерное |
Рис. 21. Опорный контур |
|
поверхности в пространстве R3 |
||
пространство Г′, на множество точек образа – плос- |
||
|
кости σ0, лежащей в R4 (рис. 22).
Плоскости σ и σ0 определяют гиперплоскость T(σ∩σ0), содержащую несобственную точку T∞ оси t. Биекция σ↔σ0 обеспечивается проецированием точек плоскостей σ, σ0 друг на друга пучком проецирующих прямых с центром в T∞. Все проецирующие прямые вложены в гиперплоскость T. Звено ASB σ отображается в звено A0S0B0 σ0 (см. рис. 22). Отображая плоскости всех звеньев кон-
22
![](/html/65386/175/html_VyDBtx0J3V.JyUL/htmlconvd-npVjrL23x1.jpg)
тура ABCD на R4(xyzt), получаем контур w0=A0B0C0D0, размещенный в четырехмерном пространстве. Исходный контур ABCD считаем ортогональной проекцией контура w0 на гиперплоскость Г′.
Рис. 22. Отображение 2-плоскости на |
Рис. 23. Четырехзвенный |
пространство R4(xyzt) |
контур w0 в R4 |
Получаем задачу: в пространстве R4(xyzt) дан замкнутый контур w0=A0B0C0D0 (рис. 23). Требуется составить алгоритм построения двумерной поверхности пространства R4, опирающейся на замкнутый контур w0. Решением исходной задачи является ортогональная проекция этой поверхности на Г′(xyz).
Алгоритм моделирования поверхности в пространстве R4 (Д.В. Волошинов)
1.Отмечаем базисные точки U0=σ0∩η0, V0=τ0∩ρ0 контура w0 в R4.
2.Между точками противолежащих звеньев устанавливаем взаимно однозначные соответствия. Пусть соответствие звеньев A0B0 и C0D0 устанавливается
функцией φ1, а звеньев A0D0 и B0C0 – функцией φ2.
3.Формируем в R4 пучки вспомогательных плоскостей δ и ω. Плоскости пучка δ, включая в себя ρ0 и τ0, проходят через базисную точку V0 и через пары соответственных в φ1 точек. Плоскости пучка ω, включая в себя σ0 и η0, проходят через U0 и через пары соответственных в φ2 точек. Плоскости пучка пересекаются между собой в его базисной точке.
4.Точки пересечения плоскостей разных пучков образуют двумерную поверхность в четырехмерном пространстве, натянутую на контур w0. Задача решена.
На сформированной таким образом поверхности располагаются два семейства образующих. Многообразие функций соответствия φ1, φ2 порождает многообразие двумерных поверхностей в R4, проходящих через контур w0.
Сравнение с ключевым способом. Пусть требуется построить отсек судовой поверхности, ограниченный палубной линией BC, килевой линией AD и шпангоутами AB, CD. В соответствии с прогрессическим ключевым способом, вводится треугольный «ключ» A4B4C4, проекционно связанный с фронтальной и
23
![](/html/65386/175/html_VyDBtx0J3V.JyUL/htmlconvd-npVjrL24x1.jpg)
горизонтальной проекциями контура ABCD (рис. 24, а). Проводим прямые M2N2, K1L1 и вычерчиваем на “ключе” отрезки M4N4 и K4L4, пересекающиеся в точке P4. Эту точку переносим на прямые M2N2, K1L1 и считаем ее принадлежащей конструируемой поверхности.
Рис. 24. Модель поверхности на контуре ABCD: а – прогрессический ключевой способ; б – поверхность в четырехмерном пространстве
Покажем, что здесь неявно реализован рассмотренный выше алгоритм построения поверхности в пространстве R4. На рис. 24, б представлена трехмерная проекционная модель контура w0=A0B0C0D0, расположенного в R4, у которого плоскости противолежащих звеньев σ(AB) и η(CD) пересекаются в базисной точке U0=Z∞, а плоскости τ(BC) и ρ(AD) – в точке V0=Y∞. Плоскости σ, η инцидентны точке Z∞, поэтому их проекции на гиперплоскость xyt вырождаются в прямые линии. Функциональные соответствия φ1, φ2 между точками противолежащих звеньев установлены посредством гиперплоскостей уровня, параллельных гиперплоскостям проекций xyt и xzt. Точка пересечения P плоскостей δ(MNY∞) и ω(KLZ∞) принадлежит моделируемой поверхности. При этом поверхности, сконструированные ключевым способом (см. рис. 24, а) и способом выхода в R4 (см. рис. 24, б), тождественно совпадают.
Частный случай. Пусть палубная линия BC – кривая второго порядка. Тогда проекция искомой поверхности на пространство Г′′(xyt) – коноид с плоскостью параллелизма xt (алгебраическая поверхность 4 порядка). В сечении коноида плоскостью δ′ получаем кривую 4 порядка M′P′N′. Точечные поля плоскостей
24
![](/html/65386/175/html_VyDBtx0J3V.JyUL/htmlconvd-npVjrL25x1.jpg)
δ′ Г′′(xyt) и δ Г′(xyz) проекционно связаны, поэтому в пространстве Г′ образующая MPN (бортовой стрингер) является алгебраической кривой четвертого порядка.
Покажем, что, в отличие от классического ключевого способа, применение способа выхода в пространство R4 предоставляет возможность сформировать продольный силовой набор поверхности из участков кривых не четвертого, а второго порядка. Повернем контур ABCD конструируемого отсека таким образом, чтобы плоскость τ палубной линии BC совместилась с yz. Выносим контур в R4, придав узлам произвольные значения координат по оси t (рис. 25). Выбираем базисные точки: V0=Y∞=τ∩ρ,
U0=Z∞=σ∩η. Устанавливаем соответствие φ1 между точками звеньев AB и CD посредством вспомогательных гиперплоскостей уровня x=const, а соответствие φ2 между звеньями BC и AD – с помощью гиперплоскостей y=const.
Соответственные в φ1 точки, совместно с базисной точкой Y∞, определяют пучок плоскостей δ, «пробегающих» от плоскости палубы до киля. Аналогично, множество пар соответственных в φ2 точек и базисная точка Z∞ определяют пучок плоскостей ω, «пробегающих» между шпангоутами AB и CD.
Множество ∞2 точек пересечения плоскостей пучков δ и ω определяет в R4 искомую поверхность, проекция которой на гиперплоскость xyt – коноид ψ′ с плоскостью параллелизма xt и направляющей коникой B′C′. В xyt плоскость δ′(M′N′Y∞) пересекается с коноидом ψ′ по кривой второго порядка M′N′. Точечные поля δ′ и δ, вложенные в гиперплоскости Г′′(xyt) и Г′(xyz), связаны на гиперэпюре перспективно-аффинным соответствием, поэтому в исходном пространстве xyz кривая MN δ также будет участком коники. Множество плоскостей пучка δ порождает множество продольных образующих (кривых второго порядка MN) моделируемого отсека поверхности.
Таким образом, если палубная линия BC – участок КВП, то, независимо от формы шпангоутов AB и CD, отсек ABCD конструируемой поверхности может быть образован движением дуги КВП. При этом форма образующей MN меняется от палубной линии BC до прямолинейного киля AD (см. рис. 25).
25
![](/html/65386/175/html_VyDBtx0J3V.JyUL/htmlconvd-npVjrL26x1.jpg)
Поверхность на трехзвенном контуре (рис. 26). Если одну из вершин трехзвенного контура считать выродившимся в точку четвертым звеном, то рассмотренный алгоритм полностью сохраняет свою конструктивную определенность. Пусть требуется построить поверхность, проходящую через контур ABC. Присваивая узлам произвольные значения координат по оси t, получаем контур A0B0C0 в R4. Положим
σ0(A0C0)∩η0(B0C0)=C0Z∞, τ0(A0B0)∩ρ0(C0)=X∞, где ρ0 –
плоскость выродившегося в точку C0 звена, противолежащего звену A0B0. При таком выборе базисных инциденций плоскости звеньев A0C0, B0C0 и сами звенья про-
ецируются на Г′′(xyt) прямыми A′C′ и B′C′, а проекция на |
Рис. 26. Поверхность на |
|
|
Г′′ звена A0B0 определяется из условия его принадлеж- |
трехзвенном контуре |
ности плоскости τ0(A0B0X∞).
Формируем в R4 два пучка вспомогательных плоскостей ω и δ. Плоскости ωi пучка ω с осью C0Z∞ перспективны ряду точек звена A0B0. Плоскости δj пучка δ проходят через базисную точку X∞ и через точки пересечения противолежащих звеньев A0C0 и B0C0 гиперплоскостями уровня y=const. Двухпараметрическое множество точек пересечения плоскостей пучков δ, ω образует поверхность, проекция которой на Г′′(xyt) – коническая поверхность с вершиной C′ и направляющей A′B′, а на Г′(xyz) – искомая поверхность.
|
Гиперэпюр Наумович (рис. 27) наилучшим образом подходит для визуали- |
|||||
зации |
фигур |
четырех- |
|
|||
мерного |
пространства |
|
||||
средствами |
компьютер- |
|
||||
ной графики, |
поскольку |
|
||||
представляет |
|
собой |
|
|||
трехмерную |
аксономет- |
|
||||
рическую |
|
проекцион- |
|
|||
ную модель четырехмер- |
|
|||||
ной геометрической фи- |
|
|||||
гуры, |
характеризующу- |
|
||||
юся минимальной разно- |
|
|||||
стью |
между |
|
размерно- |
|
||
стями |
пространств об- |
Рис. 27. Компьютерная визуализация поверхностей |
||||
четырехмерного пространства |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
26 |
![](/html/65386/175/html_VyDBtx0J3V.JyUL/htmlconvd-npVjrL27x1.jpg)
раза и прообраза. На аксонометрическом гиперэпюре наглядно представлены проекции конструируемых поверхностей на гиперплоскости проекций xyz и xyt (по определению И.И. Котова, «конкурирующие поверхности»). Преимущество рассматриваемого способа моделирования заключается не только в наглядности, но и в возможности выполнения точных конструктивных построений непосредственно на аксонометрическом чертеже, представленном на экране компьютера
(см. рис. 27).
В шестой главе исследуется теоретическая и практическая возможность конструктивной реализации на ЭВМ алгоритма построения соответственных точек в квадратичном кремоновом преобразовании Ω с мнимыми F-точками, и алгоритма реконструкции преобразования Ω, заданного семью парами соответственных точек.
Построение соответственных точек в квадратичном преобразовании, заданном мнимыми F-точками. Согласно Seudevitz, преобразование Ω определяется либо с помощью двух пар проективных пучков прямых с вершинами в F-точках, либо указанием трех пар действительных F-точек и еще одной пары соответственных точек. Предложенные в диссертации конструктивные методы компьютерной визуализации мнимых геометрических образов позволяют разработать алгоритм построения соответственных точек в преобразовании Ω, заданном как действительными, так и мнимыми F-точками.
Пусть квадратичное соответствие Ω плоских полей П, П′ задано тремя парами F-точек и парой точек A~A′. В поле П начертим коническое сечение e, проходящее через A, F1, F2, относительно которого точка F3 и прямая j3=F1F2 являются полюсом и полярой. Такое же коническое сечение e′ начертим в плоскости П′ (рис. 28). Введем в рассмотрение коллинеацию Δ, в которой F1~F′2, F2~F′1,
F3~F′3, A~A′.
Рис. 28. К лемме 6.1 |
Рис. 29. К лемме 6.2 |
27
![](/html/65386/175/html_VyDBtx0J3V.JyUL/htmlconvd-npVjrL28x1.jpg)
Лемма 6.1. Квадратичное преобразование Ω и коллинеация устанавливают между точками коник e и e′ одно и то же взаимно однозначное соответствие, за исключением F-точек.
Отметим в П произвольную точку B и начертим полный четырехугольник F1F2MN, вписанный в e (рис. 29). Диагональные точки B, B1 полного четырехугольника F1F2MN сопряжены в поляритете с ядром e. Найдем в П′ точку B′ , соответственную точке B в коллинеации . Начертим четырехугольник F′1F′2M′N′, вписанный в e′. Диагональные точки B′ , B′ лежат на одной прямой b′3, соответствуя друг другу в преобразовании Гирста с центром в точке F′3 и инвариантной коникой e′.
Лемма 6.2. Если в проективитете точке B поля П соответствует точка B′ поля П′, то в преобразовании Ω точка B отображается в точку B′, лежащую на прямой b′3=F′3B′ и сопряженную с точкой B′ в поляритете e′, а точка B′ поля П′ квадратично отображается в точку B1 поля П, лежащую на b3=F3B и сопряженную с точкой B в поляритете e.
Рассмотрим случай, когда квадратичное соответствие Ω полей П, П′ задано парой соответственных точек A~A′ и тройками F-точек (F*1, F*2, F3)~(F′*1, F′*2, F′3), где мнимые сопряженные точки F*1~F*2, F′*1~F′*2 заданы маркерами {j3, σ(O, L)}, {j′3, σ′(O, L)} (рис. 30). Требуется построить гомалоид m′ прямой m.
Рис. 30. Две пары F-точек |
Рис. 31. Построение гомалоида m′ |
|
– мнимые сопряженные |
||
|
В плоскости П начертим конику e, проходящую через A, F*1, F*2 и удовлетворяющую условию: точка F3 и прямая j3=F*1F*2 – полюс и поляра относительно e. Повторяя построение на П′, получаем e′ (рис. 31).
На прямых j3 и j′3 находим точки P1~P′1, Q~Q′S, соответственные в проективитете . Прямой m поля П соответствует в прямая m′ , проходящая через точку J′, найденную из условия (PP1QJ)=(P′P′1Q′SJ′).
Согласно лемме 6.1, в преобразованиях Ω и точкам M, N пересечения прямой m и коники e отвечают в П′ точки M′, N′ пересечения прямой m′ и коники e′. Следовательно, гомалоид m′ прямой m должен пройти через точки M′, N′ и через F-точки F′*1, F′*2, F′3.
28
![](/html/65386/175/html_VyDBtx0J3V.JyUL/htmlconvd-npVjrL29x1.jpg)
Согласно лемме 6.2, произвольная точка прямой m переходит в точку гомалоида m′ в результате линейного преобразования и последующего преобразования Гирста с центром F′3 и инвариантной коникой e′. Например, точке B поля П отвечает в точка B′ поля П′; в свою очередь, точка B′ в преобразовании Гирста с центром F′3 и инвариантной коникой e′ переходит в точку B′, соответствующую точке B поля П в отображении Ω. Задача имеет два решения, что обусловлено неопределенностью порядка взаимного соответствия мнимых сопряженных точек.
Компьютерная реконструкция квадратичного преобразования. Даны 7 пар соответственных точек A~A′, B~B′, C~C′, D~D′, E~E′, R~R′, T~T′ квадратичного кремонова преобразования Ω. Требуется построить F-точки преобразования.
Выполним проективное преобразование Λ плоскости П, переводящее четырехугольник ABCD в четырехугольник, конгруэнтный
четырехугольнику A′B′C′D′ поля П′ и совместим плоскости П и П′ до совмещения конгруэнтных четырехугольников (рис. 32). Требуется найти F-точки квадратичного преобразования Ω(П↔П′), заданного семью парами соответственных точек, из которых четыре пары совпадают. Выделяя из трех пар не совпадающих соответственных точек какие-либо две пары, например, E~E′, R~R′, и исключая из рассмотрения оставшуюся пару T~T′, получаем квадратичное преобразование ωER. Множество ∞1 преобразований ωER индуцирует в полях П=П′ пучки хорд fER, f′ER, проективные пучку конических сече-
ний Ψ(ABCD). Исключая другие пары точек, соответственных в Ω, получаем однопараметрические семейства преобразований ωET и ωRT, также порождающие пучки хорд, проективные Ψ. Комбинируем преобразования попарно: ωER-ωET, ωRT-ωET, ωER-ωRT. Каждая пара преобразований индуцирует проективные между собой пучки хорд. Точки пересечения проективно соответственных прямых в этих пучках образуют вспомогательные конические сечения. Пара преобразований (ωER-ωET) порождает коники gE и g′E, пара (ωRT-ωET) – коники gT, g′T, пара (ωER- ωRT) – коники gR, g′R.
Теорема 6.1. В преобразовании Ω точки F1, F2, F3 совпадают с точками пересечения конических сечений gE, gT, gR, а точки F′1, F′2, F′3 – с точками пересечения конических сечений g′E, g′T, g′R.
29
![](/html/65386/175/html_VyDBtx0J3V.JyUL/htmlconvd-npVjrL30x1.jpg)
Согласно теореме 6.1, вспомогательные КВП gE, gT, gR должны пересекаться между собой в искомых точках F1, F2, F3. Выполняя точную компьютерную визуализацию этих конических сечений, убеждаемся, что через каждую из F-точек проходят все три КВП (рис. 33).
В седьмой главе диссертации рассмотрены два аспекта теории КВП и ПВП. Во-первых, исследуются некоторые свойства конических сечений и квадрик. Вовторых, прикладная программа построения конических сечений «Компьютерный коникограф» применяется как
эталонный чертежный инструмент при конструктивном Рис. 33. Проверка решении теоретических и прикладных задач начертательной геометрии. Получены следующие результаты.
1. Дано доказательство инвариантности отношения радиусов кривизны соприкасающихся коник в точке касания при произвольном
проективном преобразовании: отношение q радиусов кривизны соприкасающихся конических сечений e1, e2, измеренное в точке T их двухточечного соприкосновения, равно q=(12T3), где 1, 2, 3 – точки пересечении коник e1, e2, eВ=e∩t с произвольной прямой u, проходящей через T, а eВ – вырожденная коника пучка ε(e1, e2,..) (рис. 34).
2. Рассмотрены все возможные случаи распадения биквадратной кривой на две кривые второго порядка в пучке квадрик, находящихся в
действительном или мнимом двойном соприкосновении. Показано, что справедлива теорема, обратная к теореме о двойном прикосновении ПВП: если линия пересечения квадрик Φ1, Φ2 распадается на две плоские кривые a, b (действительные или мнимые), то поверхности Φ1 и Φ2 соприкасаются в действительных или мнимых точках U, V пересечения кривых a, b. Согласно этой теореме, все особые случаи распадения биквадратной кривой на две КВП (вещественные или мнимые) являются частным случаем теоремы о двойном соприкосновении ПВП. Доказательство теоремы следует из факта существования общей пары взаимных поляр у квадрик, находящихся в действительном или мнимом двойном соприкосновении.
3. Доказана теорема: фокальные квадрики с общим фокусом находятся в мнимом двойном соприкосновении. Доказанная теорема практически использована при разработке методики конструирования соединения оболочек типа квадрик вращения с помощью плоского сварного шва.
30