8852

a x

0 x0

x

b

x

0

0

Рис. 5

Теорема. (Необходимое условие перегиба функции). Если x0 – точка

перегиба функции y f x ,

то вторая производная функции в этой точке

либо равна нулю, либо не существует.

Теорема. (Достаточное условие перегиба функции). Если функция

y f x

непрерывна в –

окрестности

точки x0 , имеет в

точке

x0

конечную

или

бесконечную

определенного

знака производную

f x0 ,

а

функция

определена в

– окрестности точки x0 , кроме, быть может

f x

самой точки x0 , и меняет знак при переходе через эту точку, то

x0 – точка

перегиба функции y f x .

Пример

1.

Найти

интервалы

выпуклости (вогнутости) и точки

перегиба функции y

9 3

х11

9 3

х5

.

88

10

Решение.

Область определения

D данной функции есть множество

всех действительных чисел R , то есть D R .

Находим:

8

2

9

11

9

5

y'

x 3

x 3 ;

10

3

88

3

5

1

1

x

2

1

3

5

y y x 3 x

3

x

.

3 x

3

x

y' '

+

–

-

+

y

-1

0

1

x

Так как x 0 D и при переходе через эту точку

y меняет знак, то

x 0 – точка перегиба данной функции. Аналогично,

точки x 1 тоже

являются точками перегиба графика функции.

2х

4 2х2

y' 1

4 х2 х

;

2

4 х2

4 х2

2х

4х 4 х2 (4 2х2 )

2х (х2 6)

2

2

4

х

y

y

4 х2

(4 х2 )3

y 0 2х(x2 6) 0 , откуда

x 0 D ,

x

6 D

y

не существует, если

(4 х2 )3 0 x 2 D .

Используем достаточные условия перегиба:

Отметим точки

x 2, x 0 на области

D и определим знаки y

слева и справа от каждой точки.

y

y

-2

0

2

x

Точка x 0 является точкой перегиба графика функции.

График функции выпуклый вниз на интервале 2; 0 .

График функции выпуклый вверх на интервале 0;2 .

3)

Асимптоты графика функции

Прямую L называют асимптотой графика функции y f x , если

расстояние d от точки M x; y кривой

y f x до прямой L стремится к

Рис. 6

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая x х0 является вертикальной асимптотой кривой

y f x ,

если хотя бы один из односторонних пределов функции

y f x в точке

x х равен бесконечности, то есть

lim f x или

lim f x .

0

x х0 0

x х0 0

Как правило, точки х0 находятся среди точек разрыва второго рода.

Прямая y kx b является наклонной асимптотой кривой

y f x ,

если одновременно существуют конечные пределы:

k lim

f x

и

b lim f x kx .

x

x

x

В случае, когда k 0 , наклонная асимптота

y b становится

горизонтальной асимптотой кривой y f x .

k2

lim

f x

lim

x arctgx

lim

arctgx

,

x

x

x

x

x

2

b2

f x kx

0

lim

lim x arctgx

2

x lim

x

arctgx

2

x

x

x

1

lim

arctgx 2

0

lim

(arctgx

2 )'

lim

x2 1

x

1

x

1

x

1

0

(

)'

x2

x

x

lim

x2

lim

( x2 )'

2x 1,

lim

2

)'

x

2

x 1

x (1 x

x

2x

следовательно, y

x 1 наклонная асимптота кривой

y x arctgx

при

2

x .

Таким образом, график функции

y x arctgx

имеет

только

две

наклонные

асимптоты

y

x 1

при

x

и

y

x 1

при

2

2

Пример 1. Провести

полное

исследование функции

y

x3

и

x2

3

построить её график.

Исследование

1. Областью определения D данной функции y является вся числовая

ось R , кроме точек x1 3

и x2

3 (в которых знаменатель обращается

получаем, что x 0.

Находим интервалы

знакопостоянства функции

x3

f (x) 0

0

3 x 0,

x 3.

x2 3

Аналогично

f (x) 0

x 3,

0 x

3 .

определения

y( x)

( x)3

x3

y(x).

Следовательно, график ее

( x)

2

3

x

2

3

lim

x3

,

lim

x3

,

x2 3

x2

3

x 3 0

x 3 0

lim

x3

,

lim

x3

,

x2 3

x2 3

x 3 0

x 3 0

то прямые x

3, x

3 являются вертикальными асимптотами графика

x3

y

x2

k lim

lim

x2 3

lim

1 ( k 1 при x и при x ),

x

x x

x

x x2 3

b lim ( y kx) lim (

x3

x) lim

3x

0.

x

x

x2 3

x x2

3

Значит, прямая

y x

является наклонной асимптотой и при x и при

/

x3

/

3x2

(x2 3) 2x x3

x2

(x2 9)

y

.

2

2

2

2

2

3

(x

3)

(x

3)

x

интервалах ( , 3), (3, ) первая

производная

положительна и

данная

функция возрастает. При переходе через точку

x 3 первая производная

меняет свой знак с плюса на минус, поэтому

x 3

является

точкой

максимума, а при переходе через точку

x 3 первая производная меняет

свой знак с минуса на плюс, поэтому

x 3 –

точка минимума. Вычислим

значения функции в этих точках: y(3)

33

9

,

y( 3)

( 3)3

9

.

( 3)2 3

2

32 3 2

x

2

(x

2

9)

(4x

3

18x)(x

2

3)

2

x

2

(x

2

9)2(x

2

3)2x

6x(x

2

3)(x

2

9)

6x(x

2

9)

y

.

(x

2

3)

2

(x

2

3)

4

(x

2

3)

4

(x

2

3)

3

(как и

Вторая производная не существует в точках x1 3, x2

3

сама функция) и обращается

в нуль

при x 0.

Получившиеся

точки

разбивают числовую ось на

четыре

интервала.

Методом

интервалов