Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8847

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

1.96 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова, П.В. Столбов

Приложение дифференциального исчисления

Учебно-методическое пособие

по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки

35.03.10 Ландшафтная архитектура, направленность (профиль) Ландшафтная архитектура

Нижний Новгород

2022

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова, П.В. Столбов

Приложение дифференциального исчисления

Учебно-методическое пособие

35.03.10 Ландшафтная архитектура, направленность (профиль) Ландшафтная архитектура

Нижний Новгород ННГАСУ

2022

УДК 517.9

Бондарь Е.А. Приложение дифференциального исчисления: учебно-методическое пособие /Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова, П.В. Столбов; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 57 с. : ил. – Текст : электронный.

Пособие содержит краткий теоретический материал, сопровождающийся многочисленными примерами и задачами разного уровня сложности, а также большое количество заданий для самостоятельной работы, которые могут быть использованы для расчетно-графической работы обучающихся по разделу «Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной».

Предназначено обучающимся в ННГАСУ	по направлению подготовки	35.03.10
Ландшафтная архитектура, направленность	(профиль) Ландшафтная архитектура для

подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика».

Введение

Настоящее учебное пособие предназначено, в первую очередь, для студентов первого курса очной формы, обучающихся по направлению подготовки «Прикладная информатика».

Учебное пособие посвящено приложениям дифференциального исчисления – одному из разделов математики, который имеет широкое применение в различных областях знаний.

Цель данного учебного пособия состоит в том, чтобы способствовать лучшему усвоению теории, развитию математического и логического мышления у обучающихся, привитию им навыков решения задач, пониманию их физической сущности.

Впервой части пособия рассматривается применение дифференциального исчисления к приближенным вычислениям значений функции в точке, во второй – правило Лопиталя для раскрытия различных типов неопределенностей, в третьей – применение дифференциального исчисления к исследованию функций одного переменного и построению их графиков, в четвертой – нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке.

Вкаждой части кратко приводится теоретический материал, который иллюстрируется разнообразными примерами и задачами разного уровня сложности, а также в каждом из четырех разделов предложены по тридцать вариантов заданий для выполнения расчетно-графической работы обучающимися.

При создании пособия авторы использовали некоторые методические приемы и задачи из литературы, список которой приведен в конце пособия.

Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по адресу электронной почты k_vm@nngasu.ru.

Применение производной к вычислению

приближенного значения функции в точке

Пусть функция y f (x) дифференцируема в точке x x0 , то есть имеет

конечную производную в этой точке

f '(x0 ) lim

х 0

x .

Тогда приращение y в этой точке можно представить в виде

y f '(x0 ) x x , где 0 при x 0 .

Если

f '(x0 ) 0,

то

является бесконечно малой более высокого

порядка,

чем f '(x0 ) х.

Поэтому

первое

слагаемое

f '(x0 ) х

называют

главной частью приращения функции

или дифференциалом функции.

Отбрасывая бесконечно малую x более высокого порядка, чем

f '(x0 ) х. ,

получаем приближенное равенство

y f '(x0 ) x ,

причем

это

равенство

тем

точнее,

чем

меньше

x .

Учитывая, что

y f (x0

x) f (x0 ) ,

получаем формулу

для вычисления

приближенного

значения функции

f (x0 x) f (x0 ) f '(x0 ) x .

(1)

Пример 1. Вычислить приближенное значение выражения 3 8,24 .

Решение.

Требуется вычислить приближенное значение функции

f (x) 3 х

при х 8,24 . Тогда х0

и x х х0 8,24 8 0,24 . Чтобы воспользоваться

формулой (1), вычислим

f (x0 )

и f '(x0 ) :

f (x

) 3 8 2,

f '(x)

f '(x0 )

3 3 х2

3 3 82

Отсюда по формуле (1) получаем

0,24 2,02 .

8,24

Результат вычисления на калькуляторе 3 8,24 2,019803.

Пример 2. Вычислить приближенное значение выражения ln

3,03

2,97

Решение.

Требуется

вычислить

приближенное

значение

функции

f (x) ln

3 x

при х 0,03.

Тогда

х0

x х х0

0,03 0 0,03 .

Чтобы

3 x

воспользоваться формулой (1), вычислим

f (x0 ) и f '(x0 ) :

f (x0 ) ln

ln 1 0,

f '(x)

3 x

1 (3 x) ( 1) (3 x)

f '(x0 )

3 3

3 x

(3 x)2

(3 x)(3 x)

Отсюда по формуле (1) получаем

3,03

0,03 0,02 .

2,97

Результат вычисления на калькуляторе ln

3,03

0,020001 .

2,97

Пример 3. Вычислить приближенное значение выражения

cos 59

Решение.

Найдем

приближенное

значение

функции

f (x)

при

cos x

х 59 60 1

Тогда

х0

x х х0

Чтобы

180

воспользоваться формулой (1), вычислим

f (x0 ) и f '(x0 ) :

f (x0 )	1		1	2 ,
f (x0 )	cos		0,5	2 ,
			0,5
		3

f '(x) cos12 x ( sin x) f '(x0

формуле (1) получаем cos 59

		1					)	1		3
)		1			( sin			1		3	2 3 .	Отсюда по
)			2		( sin			0,52	2		2 3 .	Отсюда по
	cos		2				3	0,52	2
	cos		3
			3


2 2				3			1,94 , где 3,14 ,						3 1,73 .
2 2				3		180	1,94 , где 3,14 ,						3 1,73 .
						180

Результат вычисления на калькуляторе	1	1,941604 .
	cos 59

Пример 4. Шар радиуса 20 см был нагрет, отчего его радиус увеличился на

0,01см. На сколько приближенно увеличится объем шара?

Решение.

Объем

шара вычисляется по

формуле

V (r)

r 3 ,

тогда

изменение

объема

шара

можно

будет

вычислить

помощью

формулы

V (r0 ) V '(r0 ) r .

Здесь

20 см,

r 0,01см.

Тогда

V '(r) 4 r 2

V '(r0 ) 4 20 2 1600 ,

значит,

объем

шара

увеличится на

V (r0 ) 1600 0,01 16 см3 .

Пример 5. Автомобиль, проходящий поворот, занимает на проезжей части большую ширину, чем на прямолинейном участке дороги. Найдите необходимое уширение однополосной дороги на повороте радиуса r

( r - радиус внешнего края дороги) для автомобиля, продольная база

(расстояние между осями) которого равна l .

Решение. На повороте все четыре колеса автомобиля катятся по дугам концентрических окружностей (см. рисунок), причем заднее внутреннее колесо D описывает окружность наименьшего, а переднее наружное B –

наибольшего радиусов. Поэтому ширина дорожной полосы на повороте h OB OD , а искомое уширение


l		2
h h CD OB OC r r 1	.

r

Величина	l	довольно мала при больших	r . Поэтому для вычисления

	r
	r
		6

значения

l 2 x ;

Получили

	l		2
	l			можно воспользоваться формулой (1), где
1									f (x) x,	x0 1,
1									f (x) x,	x0 1,
	r

		l			2		l 2
1						1		.
1						1	2r 2	.
		r					2r 2

формулу h l 2 , которая используется на практике.

Задание № 1

С помощью дифференциала вычислить приближенно значение числового

выражения	( 3,14 ).

вариант							вариант

1.				cos 46			16.			sin 44
1.				sin 44			16.			sin 46
				sin 44						sin 46

								arctg(1 cos 89 )
2.	arctg				0,97		17.	arctg(1 cos 89 )

3.	ln e2				0,2		18.	arctg 0,96 9

			ln tg 46					ln 7
4.			ln tg 46				19.	ln 7					35,9


	3 7 1,022
5.	3 7 1,022						20.		24 e0,03

6.	arctg 1,03 2						21.	ln 1 cos 88

				3,02
				3,02				ln			1
7.		ln					22.
7.		ln					22.				0,98
				2,98							0,98

8.	arctg					4,01	23.				1
8.	arctg						23.			ln 0,99
					3,99					ln 0,99

								ln( e 0,032 )
9.	5 cos89 32						24.	ln( e 0,032 )

10.	1 ln 0,98 2						25.	5						2
10.	1 ln 0,98 2						25.	5				1,02		2

							7

							sin2
11.		e	2 3,98	26.		e	sin2
		e				e

		arctge0,01
12.		arctge0,01		27.		3 tg 44

					arcsin 2,5 3
									8,03
13.		3 cos1		28.					8,03

					arctg 3
14.	arcctg3 1,02			29.	arctg 3			4,02

15.			1	30.			1


		ln( e 0,01)
						4 4 15,97
						4 4 15,97

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида	0	или


	0

который основан на применении производных.
	Теорема (Правило Лопиталя). Пусть в некоторой окрестности точки
х0	(кроме, быть может, самой		точки			х0 ) функции f x и		(х)
дифференцируемы и		'(х) 0 .		Если		lim f (x) lim (x) 0		или
						x x0	x x0
lim f (x) lim (x) ,		т. е. частное		f (x)	в точке х0		представляет	собой

				(x)
x x0	x x0

неопределенности вида	0	или


	0

, то

lim	f (x)	lim	f ' (x)	, если передел в
	(x)		' (x)
x x0		x x0

правой части этого равенства существует.

Замечание	1. Если		частное	f ' (x)	в точке

				' (x)
				' (x)
неопределённость	вида	0	или	и производные
неопределённость	вида		или	и производные

		0

х0 также есть

f ' (х) и '(х)

удовлетворяют соответствующим условиям теоремы, то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.

Замечание 2. Правило Лопиталя справедливо и в том случае, когда

х .

Замечание 3. В случае неопределенности вида 0 или

следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести

ее к неопределенности вида	0	или	и далее воспользоваться правилом


	0
Лопиталя. Если же имеем неопределенности вида 00 или 0 или				1 , то

следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Пример 1. Найти предел lim

ех

х 1

sin 2 3x

x 0

Решение.

Так

как

lim (ех х 1) 0

и lim sin 2

3x 0 и

функции

x 0

f x ех х 1 и

(х) sin 2 3x

дифференцируемы,

то можно применить

правило Лопиталя

ех х 1

(ex x 1)'

ex 1

lim

sin

(sin

3x)'

2sin 3x cos 3x 3

3sin 6x

x 0

lim

(ex

1)'

lim

18 cos 6x

x 0 (3sin 6x)'

x 0

ln( х )

Пример 2. Найти предел lim

tgx

Решение. Так как limln( x

)

lim tgx , имеем неопределенность

вида

Функции

f x ln( x )

(х) tgx

дифференцируемы в

окрестности точки

х0

(кроме самой этой точки), следовательно, можно

применить правило Лопиталя

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20231.96 Mб08842.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08843.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08844.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08845.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08846.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08847.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08848.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08849.pdf
#
21.11.2023159.4 Кб0885.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08850.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08851.pdf