8785

41

Рис.5.5

Выводы:

1. Если для некоторого центра Aглавный вектор системы равен нулю (R = 0 ), то главный момент для всех точек пространства будет одинаков, поскольку MB = MA. в

соответствии с формулой (5.14).

2. Если для некоторого центра A главный момент и главный вектор системы рав-

ны нулю (MA = 0 и R = 0 ), то главный момент будет равен нулю и относительно лю-

бого другого центра.

5.7.МОМЕНТЫ СИЛ, РАСПОЛОЖЕННЫХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ

Плоской системой называется система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.

При расположении всех сил системы на одной плоскости вектора моментов сил системы относительно точек плоскости расположены к этой плоскости перпендикулярно. Для указания их направления достаточно одного знака − знака проекции вектора на ось z, перепендикулярную к плоскости.

Рис. 5.6

По этой причине при рассмотрении плоских систем под моментом силы относительно точки на самом деле понимают скалярную величину: момент силы относительно оси z, проходящей через моментную точку перпендикулярно к плоскости действия сил.

Величина момента равна произведению силы на плечо:

( R ) = ± .

MB F Fh

42

Еслимомент направлен против часовой стрелки − он считается положительным.При переходе к векторному представлению такое правило знаков соответствует знаку проекции вектор-момента на ось z.

Тема 6.

ТЕОРИЯ ПАР

6.1. СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

До сих пор мы изучили лишь вопрос о сложении сходящихся сил. Перейдем теперь к определению равнодействующей системы параллельных

сил, остановившись сначала на случае двух параллельных сил, приложенных в точках А и В.

Здесь возможны два варианта:

1)силы направлены в одну сторону (рис. 6.1).

l

F1

R

R

Рис. 6.1

2) силы направлены в противоположныестороны и не равны по моду-

лю (рис. 6.2). Для определенности пусть F1 > F2

l2

F2

R

R

F1

Рис. 6.2

43

В обоих случаях величину равнодействующей и положение линии ее действия можно найти с помощью следующей теоремы:

Равнодействующая двух параллельных сил равна их главному вектору. Линия ее действия расположена в плоскости сил, и проходит параллельно линиям действия сил на расстояниях от них, которые обратно пропорциональны модулям сил.

В первом случае модуль равнодействующей равен

R = F1 + F2 ,

а во втором случае R = F1 − F2 , причем равнодействующая направлена в сторону большей силы.

Линия действия равнодействующей проходит через точку С, которая в первом случае расположена в пределах отрезка АВ, а во втором случае, − за его пределами со стороны большей силы.

Отрезки, определяющие положение точки С, в обоих случаях определяются с помощью пропорций:

Следствия из теоремы:

1.Любую силу можно разложить на две параллельные силы, направленные в одну или в разные стороны. Это можно сделать бесконечным количеством способов.

R R

2. Легко заметить, что модули моментов сил F1 и F2 относительно точки С оди-

наковы, а сумма моментов будет равна нулю: ( R )+ ( R )=

MC F1 MC F2 0

3.Если система параллельных сил состоит более чем из двух сил, то, последовательно попарно суммируя эти силы, можно найти ее равнодействующую (при условии, что она существует).

6.2. ПАРА СИЛ, МОМЕНТ ПАРЫ СИЛ

44

В предыдущем параграфе, суммируя параллельные противоположно направ-

ленные силы, мы вводили существенное условие: F2 ¹ F1 .

При F2 = F1 , F2 = −F1 имеет место особый случай.

Главный вектор такой системы по модулю равен нулю.

Если бы ее равнодействующая по модулю тоже была равна нулю, то система находилась бы в равновесии. Однако, эта система в равновесии не находится, что следует из аксиомы 1.

Вывод:

система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил равнодействующей не имеет.

Поэтому свойства таких систем сил должны изучаться отдельно.

Парой сил (или просто парой) называется система из двух равных по модулю, противоположно направленных параллельных сил.

Система сил, образующих пару, не является уравновешенной. Пара сил не имеет равнодействующей, и по этой причине ее нельзя уравновесить одной силой.

Пара есть особыйвид механического взаимодействия.

Сила и пара сил представляют собой два базовых неупрощаемых элемента статики

R ( R R ′)

m F , F

R

F ′

A

B

R

F

h

Рис. 6.3

45

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.Расстояние между линиями действия сил пары h называется плечом пары.

( R R¢)

Введем теперь понятие момента пары:моментом пары F, F называется

R ( R R¢)

вектор m F, F , направленный перпендикулярно плоскости действия пары в

соответствии с правилом «правого винта»(рис. 6.3), и равный по величине про-

изведению модуля силы на плечо пары:

Размерность модуля момента пары [m] = Нм.

Очевидно, что модуль момента пары равен площади параллелограмма, построенного на силах пары.

6.3. СУММА МОМЕНТОВ СИЛ ПАРЫ

ТЕОРЕМА

Сумма моментов сил, составляющих пару, одинакова относительно любой точки пространства и всегда равна моменту пары.

Доказательство

Рассмотрим сумму моментов сил F и F ′ относительно произвольной точки пространстваО (рис. 6.4).

определение момента силы и условие F ′ = −F .

Полученный вектор действительно не зависит от выбора точки О.

46

O

R

F

A

Рис. 6.4

Видно, что этот вектор направлен так же, как и момент пары, а по величине равен модулю момента пары:

Следствие

Если в качестве центраО последовательно выбрать точкуА илиВ, то можно получить, что

m(F, F¢) = MB (F )+ MB (F¢) = MB (F ) .

то есть

момент пары сил равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы пары.

6.4. ТЕОРЕМА ОБ УСЛОВИЯХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР

ТЕОРЕМА

Две пары, имеющие векторно-равные моменты, эквивалентны друг дру-

гу.

Справедливость этой теоремы равносильна справедливости следующих трех

48

∙ Пусть в точках A и A′ к твердому телу приложены равные по модулю (F1 = F1′= F ) силы, образующие пару с плечом h = 2a (рис.6.6, а). Момент этой

( R R′)

пары равен m F1, F1 = F1h;

∙Приложим в точке С (середина отрезка AA′) (рис.6.6, б) систему произвольных по величине сил:

Первое утверждение доказано.

2-е утверждение (Теорема о повороте сил пары в ее плоскости)

Пару можно переносить в любое другое положение в плоскости ее действия (в пределах данного тела).

Доказательство

(рис.6.7), алгебраический момент которой равен ( R R )= . m F1, F2 Fd