8776

41

оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями:

§ 16. Кинетическая энергия вращения

Все реально существующие твердые тела под влиянием приложенных к ним сил деформируются, т. е. тем или иным образом изменяют свою форму. Для упрощения дальнейших рассуждений введем понятие абсолютно твердого тела. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками, или, точнее, между двумя частицами этого тела остается постоянным. В дальнейшем мы будем рассматривать только такого рода тела.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси ОО, проходящей через него (рис. 25). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m1, m2, …, m n, находящиеся на расстоянии r1, r2, …, r n от оси вращения. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами mn опишут окружности различных радиусов г„ и будут иметь различные линейные скорости υn. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

43

работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds = rdφ и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

называется моментом силы относительно оси вращения;

r sin α = l

есть кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения и называется плечом силы. Момент силы равен произведению силы на ее плечо:

М=Fl

Момент силы — величина векторная. Так как l = r sin α , то вектор

М = [rF].

Его направление перпендикулярно плоскости, в которой расположен вектор силы, и он определяется по правилу правого винта.

Подставляя (17.2) в (17.1), получим, что работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:

dA = Mdφ

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

поэтому

Mdω = Jωdω

или

Mdω = Jω dω dt dt

Учитывая, чтоω = dϕ , получим dt

т. е. момент силы, действующей на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение. Уравнение (17.4) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

§ 18. Момент количества движения и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы выступает ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом количества движения тела? Ею является момент количества движения тела относительно оси.

Моментом количества движения (моментом импульса) Li отдельной частицы тела массой mi называется произведение расстояния ri от оси вращения до частицы на количество движения (импульс) mivi этой частицы:

(18.1)

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов количества движения отдельных частиц:

n

L = ∑ mi υi ri

i=1

Так как для вращательного движения υi=ωri, то

Таким образом, момент количества движения твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Момент количества движения твердого тела — это вектор, направленный по оси вращения так, чтобы видеть с его конца вращение, происходящим по часовой стрелке(рис. 27).

Уравнение (18.3) — еще одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента количества движения твердого тела относительно оси

Выражение (18.4) представляет собой закон сохранения момента количества движения: момент количества движения замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Продемонстрировать сохранение момента количества движения можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек„ стоящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в поднятых на уровни плеч руках гири (рис. 28), приведен во вращение с угловой скоростью ω1. Человек обладает некоторым моментом количества движения, который сохраняется. Если он опустит руки, то его момент инерции уменьшится, в

46

результате чего возрастет угловая скорость ω2 его вращения. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Краткие выводы

∙Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

∙Момент инерции тела относительно оси вращения – это физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек тела на

квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

n

J z = ∑mi ri 2 .

i=1

∙Момент инерции тела Jz относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

J z = J c + ma2 .

∙При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:

относительно оси вращения z.

∙Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z (аналог второго закона Ньютона) имеет вид:

M z = J z ε = dLz , dt

где Lz – момент импульса твердого тела относительно оси z.

∙ В замкнутой механической системе момент внешних сил относительно

неподвижной оси Mz=0 и dLz = 0 , откуда Lz=const – закон сохранения dt

момента импульса. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

47

Вопросы для самоконтроля и повторения

1.Что называется моментом инерции тела? Какова роль момента инерции во вращательном движении?

2.Сформулируйте теорему Штейнера. От чего зависит момент инерции тела?

3.Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?

4.Что такое момент импульса твердого тела? Как определяется направление момента импульса?

5.Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Как определяется работа при вращении тела?

6.Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

7.Сформулируйте закон сохранения момента импульса. В каких системах он выполняется?

8.Сопоставьте основные величины и уравнения динамики поступательного и вращательного движений.

Примеры решения задач

Пример 1

Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид х = А + Bt + Ct3, где А=2 м, В=1 м/с, С = - 0,5 м/с'. Найти координату х, скорость υx и ускорение аx точки в момент времени t = 2с.

Решение

Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

х 3 м О

= (2 + 1 · 2 - 0,5 · 2 ) = .

Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная от координаты по времени:

υx = dx = B + 3Ct 2 dt

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

48

a x = dυx = 6Ct dt

В момент времени t = 2с

υx=(1 – 3 · 0,5 · 22) м/с = - 5 м/с; ax= 6(– 0,5) · 2 м/с2 = - 6 м/с;

Пример 2

Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью υ1, столкнулся с неподвижным шаром массой m1. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение (см рис.19)

Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

где Т1 — кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и T2 — скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения а надо найти u2. Согласно условию задачи, импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

49

Пример 3

Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m = 80 г., перекинута тонкая гибкая нить , к концам которой подвешены грузы массой m1 = 100 г. и m2 = 200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

m2g – T 2 = m2a (2)

Под действием моментов силы T1′ и T2′ относительно оси z,

перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение ε. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

относительно оси z.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити T1′ = T1, T2′ = T2. Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо T1′ и T2′ выражение T1 и T2, получив их представление из уравнений (1) и (2):

(m2g – m 2a)r – (m 1g + m1a)r = mr2a/(2r)

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

Формула (4) позволяет массы m1, m2 и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим