8556

Наконец получаем: x* 3,629 .

Получили одну из эффективных точек для оптимизационной задачи.

Прием 2.

Может применяться при условии fi 0 . Вводятся в рассмотрение вспомогательные функции:

i ( x ) f i ( xf)* f i* ,

i

которые можно рассматривать как относительное отклонение частного критерия от его наименьшего значения.

Важность i -го критерия определяется через неравенство:

i ( x ) i 0 , где i задает постановщик задачи:

чем важнее критерий, тем меньше i . Затем для каждого критерия вычисляется ра-

диус шара R*i , имеющего центром x*i , являющуюся решением задачи:

При таком подходе важность критерия определяется двумя факторами:

выбором величины i ;

видом функции fi ( x ) .

Это является бесспорным достоинством метода. Проиллюстрируем на нашем при-

мере 1:

Назначим 1 2 0,1 .

На этом этапе мы не даем ни одному из двух критериев никакого предпочтения.

21

В результате получили, что 1-й критерий оказался важнее 2-го.

Замечание.

Приемы 1, 2 имеют довольно ограниченное применение, так как в силу необходимо-

сти решения целой серии однокритериальных задач, кроме того определяющим яв-

ляется вид функции f1 ( x ), ..., fk ( x ) .

Прием 3. Использование попарных приоритетов.

В продолжение последнего замечания следует отметить, что часто не вид функции f1 ( x ), ..., fk ( x ) является решающим в определении важности критериев, а

сама сущность проблемы, то есть степень важности одного критерия по сравнению с другим определяется не из математической постановки задачи, а путем привлечения

дополнительной информации.

Наиболее приемлемым подходом является попарное сравнение критериев по

важности в количественном выражении.

Попарное сравнивание критериев по предпочтению между собой должно быть выражено числовыми оценками mi j в виде обыкновенной дроби. Например, m23 75

Si j 1, i, j 1,k

k

Si, k + 1 Si, j j 1

Например, имеем трехкритериальную задачу, причем выяснили, что первый критерий важнее второго, третий критерий важнее второго, первый важнее третьего.

22

В нашем случае первый критерий важнее третьего и второго, то есть следует ожи-

дать, что наибольшим будет a1 .

Зададимся конкретными данными:

Вопреки ожиданиям, наибольшим получили 3 .

Дело в том, что здесь сыграли роль именно количественные показатели: тре-

тий критерий важнее второго в 7 раз. При определении mi j надо быть очень внима-

тельным. Например, для k 3 , если мы четко знаем, что самым важным является первый критерий, затем второй, и, наконец, третий, то для определения i данным приемом можно воспользоваться, но mi j должны в этом случае удовлетворять усло-

виям: m12 1; m2 3 > 1; m1 3 > max{ m1 2 , m2 3 } .

Прием 4. Использование интервальной информации.

Одним из подходов, наиболее отвечающим практике, является интервальное задание весовых коэффициентов i , то есть задание i ' , i '' , i 1,k , где i ' , i '' - со-

ответственно нижняя и верхняя граница для i : i' i i'' .

С постановочной точки зрения этот подход предпочтительнее предыдущих.

Математически он приводит к решению следующей однокритериальной зада-

чи с ( n + k) переменными:

k

i * fi ( x ) min i 1

k

i 0, i = 1, G(x) 0

i 1

i' i i''

Вкачестве примера снова рассмотрим задачу Ошибка! Источник ссылки не найден. при условиях:

23

0,1 < 1 0,4

0,8 < 2 0,9

Для этого необходимо решить такую задачу:

1 * [ 2* ( x 3 )2 1] 2 * [( x 5 )2 2 ] min

1 x 7

Замечание. Как и в предыдущих приемах , в общем случае, гарантий того, что полу-

чено эффективное решение, нет.

Прием 5. Определение весовых коэффициентов по разности максимального и мини-

мального элемента матрицы предпочтений :

Значения j таким образом вычисляют по формуле:

24

.

Вернемся к примеру 1Ошибка! Источник ссылки не найден. и применим к нему

прием 5:

Матрица C принимает вид:

0 2

8 0

d1 max ci j 8

i 1,k

d2 2

1 min ci 1 0

i 1,k

2 0

Далее:

1 8

2 2

Следовательно:

Прием 6. Определение весовых коэффициентов при одинаковом приоритете част-

ных критериев.

В этом способе выбора весовых коэффициентов i определяется по формуле:

i k1

критерии равноправны.

Решение оптимизационных задач при наличии дополнительной информации о

важности частных критериев оптимальности.

Если среди частных критериев оптимальности f1 ( x ), ..., fk ( x ) можно выделить один наиболее предпочтительный из всех остальных, то в этом случае свёртывание

25

векторного критерия может быть осуществлено с помощью метода выделения глав-

ного критерия.

Метод выделения главного критерия.

Если среди частных критериев можно выделить один «главный», пусть

для определенности это будет f1 ( x ) , а остальные не столь значимы, то вместо ис-

ходной задачи можно рассмотреть следующую задачу:

f1 ( x ) min

G( x ) 0

Это задача математического программирования, которая может быть решена

одним из существующих методов. Полученное при этом решение будет близко к

ожидаемому в том случае, если по существу дела критерий важнее всех ос-

тальных и пороговые значения f i0 соответствуют реальности. Можно, например, fi0

найти как решение соответствующей однокритериальной задачи:

fi0 max fk ( x )

G( x ) 0

но в этом случае ограничения на fi ( x ) будут слабыми и решение исходной задачи будет близко к решению задачи:

f1 ( x ) min

G( x ) 0

то есть критерии f2 ( x ), ..., fk ( x ) слабо влияют на результат.

Довольно распространенным является следующий подход . Выбирается неко-

торый относительный порог i (часто он бывает одинаков для различных критериев,

так как является безразмерной величиной) отклонения критерия fi ( x ) от своего ми-

нимума:

fi min fi ( x )

x D

fi max fi ( x )

x D

Как и в предыдущем случае нахождение fi , fi - , либо их оценок является от-

дельной задачей.

Вернемся к примеру 1:

f1 ( x ) 2* ( x 3 )2 1 min

f2 ( x ) ( x 5 )2 2 min, x R1

D {x : 1 x 7}

Применим метод выделения главного критерия, используя пороговые значе-

ния.

Пусть главным критерием будет f1 ( x ) , а величину порога будем задавать различной:

0,1; 0,2; 0,3 .

Решаем геометрически однокритериальную задачу:

Проанализируем полученные результаты и попробуем сделать выводы. Чем большее пороговое значение назначается, тем большее отклонение от своего мини-

мума по неглавному критерию допускается, в результате имеем однокритериальную

27

задачу со слабыми ограничениями на не основные критерии, решение такой задачи будет близко к точке минимума главного критерия на D .

В нашем примере, при 2 0,3 получили решение, которое совпало с решени-

ем однокритериальной задачи (ограничение на f2 ( x ) не сыграло роли).

Уменьшением пороговых значений мы ужесточаем требования по близости решения к точкам минимума не основных критериев, что может привести, как в на-

шем случае при 2 0,1 , к приближению полученного решения к точке минимума других критериев, либо может получиться решение, не являющееся эффективным,

либо можно получить несовместные условия, не позволяющие получить решения.

Метод выделения главного критерия, как и все последующие рассматривае-

мые методы, состоит в замене постановки исходной задачи некоторой другой, и в решении этой задачи. При этом возможны два подхода:

1)замена постановки производится затем, чтобы работать с этой новой постановкой,

не возвращаясь к старой;

2)замена постановки производится только для облегчения процедуры получения ре-

шения, которое анализируется с позиций исходной постановки.

В первую очередь полученное решение исследуется на эффективность. Наиболее распространенным условием проверки на эффективность служит следующая теоре-

ма:

Теорема. Решение x* является эффективной точкой тогда и только тогда, когда оно

( x 5 )2 2 ( 4,051 5 )2 2 1 x 7

28

или f1 ( x1 ) f1 ( x2 ) , f2 ( x1 ) f2 ( x2 )

или f1 ( x1 ) f1 ( x2 ) , ..., fk 1( x1 ) fk 1( x2 ) , fk ( x1 ) fk ( x2 )

это означает, что лучшим решением считается решение, для которого критерий

f1 ( x ) меньше; если значения критерия f1 ( x ) равны для решений x1 и x2 , то предпоч-

тение отдается тому решению, для которого критерий f2 ( x ) меньше и так далее.

Процедура решения многошаговая, причем число шагов может быть от 1 до K . 1-ый шаг.

Решается задача:

f1 ( x ) min

x Rn : G( x ) 0 (1)

Пусть D1 - множество решений этой задачи.

Если D1 - пусто, то принимается, что исходная многокритериальная задача решения не имеет. Если D1 - состоит из одного элемента, то этот элемент признает-

ся решением исходной задачи. Если D1 - содержит более одного элемента , то осу-

ществляется переход к шагу 2.

2-й шаг.

Решается задача:

f2 (x) min

D2 - множество решений задачи (2).

Пошаговая процедура продолжается до тех пор, пока либо на каком-то шаге

произойдет прерывание процесса вследствие получения единственного решения,

либо до получения множества решений.

В том случае, когда подмножества D1 , D2 , ..., Ds могут выродиться в точку, то есть будет решена задача минимизации только по наиболее важному критерию f1 ( x ) , а все остальные частные критерии будут проигнорированы.

Таким образом, этот метод не позволяет справедливо учесть интересы менее важных критериев, так как не допускает уменьшение менее важных критериев, если

30