8531

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Кафедра информационных систем в экономике

В. В. Носков, Т. В. Юрченко

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В

ЭКОНОМИКЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Учебное пособие

Нижний Новгород

ННГАСУ

2012

3

Введение

Методы сетевого планирования и управления (СПУ) являются эффективным способом планирования сложных процессов. Применение системы методов СПУ позволяет решить такие задачи как разработка крупных народно-хозяйственных комплексов, организация и проведение научных исследований, конструкторская и технологическая подготовка производства новых видов изделий, строительство, реконструкция и капитальный ремонт основных фондов.

СПУ основано на моделировании процесса с помощью сетевого графика и представляет собой совокупность расчетных рядов,

организационных и контрольных мероприятий по планированию и управлению проектами.

Наглядность и логическая обоснованность методов сетевого анализа позволяет выбрать довольно естественный подход к решению задач экономики. Сетевые модели для людей, занимающихся непосредственной работой на местах (то есть не связанных с научной деятельностью),

являются более понятными и легко воспринимаемыми, чем другие модели.

4

1. Методы и модели сетевого планирования

Проект - это ограниченное во времени целенаправленное изменение отдельной системы с установленными требованиями к качеству результатов, возможными рамками расходов средств и ресурсов и специфической организацией.

Сетевой анализ – это метод планирования работ проектного характера, то есть работ, операции в которых, как правило, не повторяются

(например, строительство зданий, разработка новых продуктов, ремонт оборудования, проектирование новых работ). Работа – это любые действия, трудовые процессы, сопровождающиеся затратами ресурсов или времени и приводящие к определенным результатам. В дальнейшем, имея в виду проекты, будем считать синонимами термины «работа», «операция» и «задача».

Методы сетевого анализа позволяют осуществить анализ проекта,

который включает в себя большое число взаимосвязанных операций. Эти операции могут быть использованы при составлении календарного плана выполнения работ, удовлетворяющих существующим ограничениям на обеспечение ресурсами.

Первым шагом в анализе любого проекта является составление списка входящих в него операций. Детали такого списка зависят от спецификации конкретного проекта. Тем не менее во всех случаях необходимо выделить для каждой задачи ее непосредственного предшественника (или предшественников).

Непосредственно предшествующими называются операции,

выполнение которых должно быть закончено прежде, чем может начаться данная операция.

5

1.1.Элементы теории графов. Использование графов в сетевом планировании

После того, как составлен список операций (задач или работ)

логическая последовательность их выполнения может быть проиллюстрирована с помощью графа.

В значительной степени методы сетевого анализа основаны на теории графов. Теория графов – это область математики, началом развития которой явилась задача о кенигсбергских мостах,

сформулированная швейцарским ученым Л.Эйлером в 1736 году. Через реку Прегель, на которой стоял город Кенигсберг, построено 7 мостов,

которые связывали берега или 2 острова друг с другом. Задача заключалась в том, чтобы пройти по всем мостам только один раз и вернуться обратно к началу маршрута. Эйлер нашел необходимое и достаточное условие, когда такая задача имеет решение.

Позже Д.К.Максвелл и Г.Р.Кирхгоф на основе исследования электрических цепей сформулировали некоторые принципы сетевого анализа. Были разработаны методы расчета наибольшей пропускной способности телефонных линий. В 40-х годах ХХ века в результате развития теории исследования операций был разработан ряд математических методов, необходимых для анализа больших систем. В 50- 60-х годах ХХ века были проведены работы по построению новых сетевых моделей и разработке алгоритмов их решения на основе элементов теории графов [3].

Граф задается двумя множествами: непустым множеством вершин

(узлов) X и множеством ребер U , содержащим пары элементов на множестве X . При этом элементы множества U могут повторяться, также могут повторяться элементы в парах. Граф, заданный на множествах X ,

U , обозначается G ( X ,U ) . Если элементы в парах множества U

6

неупорядочены, то граф называется неориентированным, а если упорядочены, то – ориентированным, или орграфом. В ориентированных графах ребра называют ещѐ дугами.

На плоскости граф задается в виде точек (вершин или узлов) и линий

(ребер или дуг), соединяющих некоторые из них. На рис. 1 и 2 изображены соответственно неориентированный и ориентированный графы.

Рис. 1. Неориентированный граф

Рис. 2. Ориентированный граф

Если две вершины соединены ребром (или дугой), то они называются смежными, а по отношению к ребру, их соединяющему,

инцидентными.

Приведем еще несколько основных понятий теории графов,

графическая иллюстрация которых изображена на рис. 3. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей (. Ребра с одинаковыми концевыми вершинами называются кратными ().

Графы с кратными ребрами называют мультиграфами. Если вершина не соединена с другими вершинами, она называется изолированной вершиной

().

7

данного события операция не может начаться до окончания всех операций,

входящих в это событие. Операция обозначается буквой или словом, а

событие числом, причем предшествующее событие имеет меньшее число по сравнению с последующим событием.

А

Рис. 4. Определение стрелочного графа

Следующий пример иллюстрирует ситуацию, когда начальное событие для операции С является конечным событием для операций A и B (рис. 5).

А

1

С

2 В

Рис. 5. Иллюстрация стрелочного графа

Существенно, что в стрелочном графе сохраняется логическая зависимость операций. Иногда, чтобы достичь этого, необходимо включить в граф одну или более фиктивных операций.

Фиктивная логическая стрелка вводится в граф, если необходимо отразить, что некоторое событие не может появиться раньше другого

9

события, а с помощью обычных стрелок, соответствующих операциям,

этого сделать нельзя. Функция фиктивной логической операции состоит в том, чтобы показать последовательность появления событий. У фиктивных операций нулевая продолжительность. Фиктивные операции изображаются пунктирными стрелками.

Рассмотрим пример.

Здесь невозможно построить стрелочный граф без использования фиктивной операции, не нарушая условия задачи (рис. 6).

Фиктивная операция

Рис. 6. Использование фиктивной операции

Для избежания неоднозначности используются фиктивные операции идентификации. Если две или более операций выполняются одновременно

10