8509

перемещению точки приложения второй единичной силы по ее направлению, вызванному первой единичной силой.

9.4. Общая формула для определения перемещения от внешней нагрузки

(метод Мора-Максвелла)

Формула Мора-Максвелла, как и теоремы о взаимности возможных работ и о взаимности удельных перемещений, выведена в предположении, что сооружения состоят из идеально упругих и линейно деформируемых тел.

Для определения перемещения любой точки системы при действии заданных сил рассмотрим два состояния системы: первое – действительное состояние (a) при действии заданных сил; второе – вспомогательное состояние (b) при действии единичной силы, приложенной в исследуемой точке по заданному направлению (см. рисунок).

Обозначая перемещение точки k при действии сил состояния (a) через ka и применяя к со-

стояниям (a) и (b) теорему о взаимности возможных работ, получим:

1 ka Aab ,

где Aab - работа внешних сил состояния (a)

на перемещениях состояния (b).

Принимая во внимание, что для деформируемых систем в соответствии с принципом воз-

можных перемещений суммарная возможная работа внешних и внутренних сил на малых возможных перемещениях равна нулю запи-

шем: Aab Wab , откуда : ka Wab . Тогда, на основании формулы (в) – см. п. 9.2. получим:

Полученная формула является для определения перемещений в стержневых системах от нагрузки. Заметим, что единичное воздействие прикладывается к системе в том направлении, в котором определяется перемещение. Если после вычислений получим результат со знаком минус, то это значит, что предположение о направлении перемещения оказалось ошибочным. Истинное перемещение в этом случае происходит в сторону, противоположную действию единичной силы.

41

Таким образом, для определения линейных перемещений во втором состоянии надо в точке, для которой ищется перемещение, приложить силу, равную единице, в направлении искомого перемещения. Если необходимо определить угол поворота сечения, то во втором состоянии прикладывается момент, равный единице.

Формула Мора-Максвелла в частных случаях принимает более простой вид, а именно:

А) при расчете ферм, где имеют место лишь осевые усилия N:

__

где l – длина стержня фермы, а суммирование выполняется по всем стержням сис-

темы.

Например, пусть требуется определить перемещение узла i по направлению i от действующей на ферму нагрузки. Для этого:

-определяем усилия во всех стержнях фермы от действующей на нее нагрузки – усилия Np ;

-прикладываем в узел i по направлению i силу P = 1 и определяем от этой силы усилия во

___

всех стержнях фермы – усилия Ni ;

- вычисляем для каждого стержня фермы про-

всем “m” стержням получаем искомое пере-

Б) при расчете рам влияние продольных и поперечных сил незначительно и ими можно пренебречь; в этом случае:

При этом, если жесткость EI каждого элемента системы постоянна, то ее можно вынести за знак интеграла

Например, пусть требуется определить перемещение точки i по направлению i от действующей нагрузки. С этой целью:

42

- строим эпюру изгибающих моментов в раме от заданной нагрузки; - строим эпюру изгибающих момен-

тов в заданной системе от единичной силы Pi = 1, приложенной в той точке, перемещение которой определяем и в том направлении, в котором определяем перемещение;

получим искомое перемещение.

9.5. Определение перемещений под действием изменения температуры

Перемещение, вызванное изменением температуры, можно получить на основании

выведенной для случая действия внешних сил, если принять за состояние (a) состояние, соответствующее действию изменения температуры. С этой целью в формуле необходимо сделать следующие преобразования: в первом члене заменить деформацию при удлинении

N

элемента a dS удлинением элемента под действием изменения температуры, т.е. dSt ;

EA

во втором члене заменить деформацию при повороте сечения Ma dS взаимным поворо-

EI

том сечения d i , вызванным изменением температуры; исключить третий член уравне-

43

ния, поскольку при удлинении волокон, вызванном изменением температуры, не имеет

Рассмотрим случай неравномерного нагрева, когда внизу элемент нагрет на t1 градусов, а вверху на t2 градусов, и примем изменение температуры по высоте сечения элемента по прямой. Обозначая коэффициент линейного расширения через , получим:

-удлинение нижнего волокна . . . . . . . t2 dS ;

-удлинение верхнего волокна . . . . . . . t1 dS

При симметричном изменении температурного режима по длине стержня, т.е. когда t1 = t2 t t2 t1 0 и искомое перемещение выразится одночленной формулой

kt tO N . Аналогично, при обратно симметричном изменении температур-

44

9.6. Определение перемещений, вызываемых осадкой опор

Рассмотрим решение этой задачи на примере рамы при перемещении опорного стержня А на величину C. Определим перемещение iC произвольной точки k по задан-

ному направлению i – i .

Рассмотрим два состояния рамы: за состояние

(a) примем заданное состояние рамы, за состояние (b) – состояние под действием силы P=1, приложенной в точке k по направлению i-i. Составим уравнение работы сил состояния (b), принимая перемещение состояния (a) за возможное.

Обозначая реакцию в опорном стержне A, вызванную силой P=1 через rci . За положительное направление для rci примем то, которое совпадает с положительным направлением перемещения, т.е. по приведенному рисунку rci должна считаться положительной. Принимая заданное перемещение за возможное, составляем уравнение работ для сил состояния P = 1:

1 iC rCi C 0,

откуда iC rCi C .

Если одновременно происходит несколько перемещений, то iC rCi C .

Согласно этой формуле перемещение iC численно равно работе реакций rci на перемещениях C , взятой с обратным знаком.

9.7.О вычислении интегралов, входящих в формулу перемещений.

Способ Верещагина

Пусть эпюра моментов Ma состояния (a) имеет криволинейное очертание, а эпюра моментов Mb состояния (b) прямолинейна. В этом случае можно применить преобразова-

ние интеграла Ma Mbdx, предложенное А. Н. Верещагиным.

45

Приняв за начало координат точку пересечения прямой, ограничивающей прямолинейную эпюру Mb с осью абсцисс, получим Mb = x.tg .

Следовательно:

Ma Mbdx Ma x tg dx tg x Madx.

Как известно, интеграл представ-

ляет собой статический момент S площади эпюры Ma относительно вертикальной оси.

Обозначая площадь эпюры Ma через a и абс-

циссу центра тяжести площади эпюры через xo, получим: S xo a , следовательно:

tg x Madx xo a tg yb a ,

где: yb – ордината эпюры Mb, расположенная под

Ma Mbdx yb a (1), т.е. в тех случаях,

когда одна из эпюр моментов прямолинейна, интеграл Мора равен произведению площади криволинейной эпюры моментов на расположенную под ее центром тяжести ординату прямолинейной эпюры.

Этот метод вычисления интеграла Ma Mbdx называют правилом Верещагина

или перемножения эпюр. Для часто встречающихся в расчетной практике эпюр имеются

таблицы, в которых даны значения Ma Mbdx. Направление перемещения, т.е. его знак,

зависит от знаков эпюр. Произведение эпюр (следовательно, и знак перемещения) положительно, если обе эпюры расположены по одну сторону оси стержня, и отрицательно, если эпюры расположены с разных сторон оси стержня (при условии, что обе эпюры построены со стороны растянутого волокна).

Для облегчения пользования формулой (1) полезно запомнить формулы для нахождения центра тяжести треугольника и параболы n – го порядка.

Для параболы, выражаемой уравнением

y a xn , участок от x=0 до x=l характери-

зуется величинами:

Формула трапеций. Формула Симпсона.

Рассматриваемые формулы удобны для определения перемещений в случае переменного момента инерции сечения и являются формулами приближенного определения интегралов.

Если представляется возможным определить значения подынтегральной функции

__

Ma Mb в ряде равноудаленных друг от друга сечений, то, полагая, что эта функция

EI

изменяется между смежными сечениями по линейному закону, вычисление такого интеграла с достаточной точностью можно выполнять численно по формуле трапеций:

Вычисление можно уточнить, если считать, что подынтегральная функция меж-

ду любыми двумя смежными сечениями изменяется по квадратной параболе. В этом случае, при четном количестве участков “n” проводя численное интегрирование по формуле Симпсона, вычисление интеграла примет следующий вид:

2 ( 2 4 ... n 2 ) n ]

Если длину стержня разделить только на два участка, т.е. принять n = 2 и d l ,

2

то формула Симпсона будет иметь упрощенный вид:

47

Задания для самостоятельной работы.

Литература: [1, гл. 1]; [4, гл. 1]; [2, гл. 1]; [3, гл. 6].

Вопросы для самопроверки

1.Понятие о действительном перемещении для силы P в статически определимых системах. Действительная работа внешних сил (теорема Клапейрона).

2.Возможное (виртуальное) перемещение для силы P в статически определимых системах.

3.Теорема Бетти о взаимности возможности работ внешних сил.

4.Работа внутренних сил (N, M и Q). Потенциальная энергия деформации системы.

5.Теорема о взаимности удельных перемещений (теорема Максвелла).

6.Общая формула для определения перемещений от внешней нагрузки (формула МораМаксвелла).

7.Особенности в применении формулы Мора-Максвелла при определении перемещений в рамах, в шарнирно-стержневых системах (фермах).

8.Определение перемещений в статически определимых системах, вызванных изменением температуры.

9.Определение перемещений в статически определимых системах, вызванных кинематическими воздействиями (осадкой опор).

10.О вычислении интегралов, входящих в формулу перемещений: правило А. Н. Верещагина.

11.О вычислении интегралов, входящих в формулу перемещений: Формула трапеций, формула Симпсона.

10.Общие теоремы строительной механики.

К общим теоремам строительной механики относятся четыре теоремы:

1.Теорема о взаимности возможных работ - теорема Бетти;

2.Теорема о взаимности удельных перемещений – теорема Максвелла;

3.Первая теорема Релея о взаимности удельных реакций;

4.Вторая теорема Релея о взаимности удельных реакций и удельных перемещений.

Так как первые две теоремы были рассмотрены выше, в этом параграфе мы рассмотрим следующие две теоремы – первую и вторую теоремы Релея.

Первая теорема Релея о взаимности удельных реакций.

Вторая теорема Релея о взаимности удельных реакций и удельных перемещений.

Рассмотрим два состояния упругой системы при различных кинематических воздействиях. Примем силы первого состояния системы за первую группу сил, а силы второго состояния системы за вторую группу сил. Тогда, на основании теоремы Бетти о

48

взаимности возможных (виртуальных) работ внешних сил Aik Aki , можем записать:

rii 0 rki 1 rik 1 rkk 0 , или rik rki .

Это есть первая теорема Релея: удельная ре-

акция связи i первого состояния упругой системы, вызванная единичным перемещением связи k второго состояния упругой системы равна удельной реакции связи k второго состояния системы, вызванной единичным перемещением связи i первого состояния системы.

Аналогично, рассмотрим два состояния упругой системы при статическом и кинематическом воздействиях. Примем силы первого состояния системы за первую группу сил, а силы второго состояния системы – за вторую группу сил. Тогда, на основании тео-

ремы Бетти о взаимности возможных работ внешних сил Aik Aki , запишем:

Это есть вторая теорема Релея: удельная реак-

ция связи i, вызванная единичной силой приложенной в точке k первого состояния упругой системы, равна с обратным знаком удельному перемещению точки k, вызванному единичным перемещением связи i второго состояния упругой системы.

Задания для самостоятельной работы.

Литература: [1, гл. 1]; [4, гл. 1]; [2, гл. 1].

Вопросы для самопроверки

1.Первая теорема Релея о взаимности удельных реакций.

2.Вторая теорема Релея о взаимности удельных реакций и удельных перемещений.

49

Литература

1.Анохин, Н. Н. Строительная механика в примерах и задачах : учеб. пособие для студентов вузов по строит. спец. Ч.1 : Статически определимые системы / Н. Н. Анохин. - 2-е изд., доп. и перераб. - М. : АСВ, 2007. - 336 с.

2.Дарков, А. В. Строительная механика : учеб. для студентов строит. спец. вузов / А. В. Дарков, Н. Н. Шапошников. - 9-е изд., испр. - СПб. : Лань, 2004. - 655 с.

3.Сборник задач и упражнений по строительной механике : учеб. пособие. Ч.1 :

Статически определимые системы / Б. Б. Лампси [и др.] ; Нижегор. гос. архит.-строит. ун- т. - Н.Новгород : ННГАСУ, 2015. - 130 с. - В библиотеке также находится электронная версия издания - См. на заглавие. - 0-00.

4.Шеин, А. И. Краткий курс строительной механики : учеб. для студентов вузов по направлению 270100 "Стр-во" / А. И. Шеин. - М. : Изд. Дом "БАСТЕТ", 2011. - 272 с.

5.Саргсян, А. Е. Строительная механика : Основы теории с примерами расчетов: Учеб. для студентов вузов по техн. спец. / А. Е. Саргсян, Н. В. Дворянчиков, Г. А. Джинчвелашвили ; Под ред. А.Е.Саргсяна. - М. : АСВ, 1998. - 320 с.

6.Киселев, В.А. Строительная механика. Общий курс: Учеб. Для вузов. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Стройиздат, 1986. – 520 с.

7.Смирнов, А.Ф. Строительная механика. Стержневые системы. I ч.: М., 1981.

8.Леонтьев,Н.Н. . Основы строительной механики стержневых систем. 1998.

50