8460
.pdf
|
z |
|
dMz+dz |
|
|||
dMx |
|
|
|
|
dMy |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dMx+dx |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
dMy+dy |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
dMz |
|
|||
|
|
Рис. 2.1 |
|
||||
В направлении оси Ox в объем Втекает масса жидкости |
|
||||||
dM x dJ dτ jx dy dz dτ ρ w x dy dz dτ . |
(а) |
||||||
Через противоположную грань объема вытекает масса жидкости |
|
||||||
dM x dx ρ w x dx dy dz dτ . |
|
Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд
получаем, что масса M x+dx, вытекающая из элементарного направлении оси Ox, равна
|
ρ w |
x |
|
|
|
|
dM x dx ρ w x |
|
|
|
dx |
dy dz dτ . |
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Тейлора, объема в
(б)
Вычитая (а) из (б), получаем излишек массы жидкости, вытекающий из элементарного объема в направлении оси Ox:
dM x dx dM x ρ w x dV τ , (в)
x
где dV=dx dy dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичным образом для направлений по осям Oy и Oz имеем: |
|
|||||||||
dM y dy dM y |
ρ w y |
dV dτ , |
(г) |
|||||||
|
|
|
||||||||
y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dM |
z dz |
dM |
|
|
ρ w z |
|
dV dτ . |
(д) |
||
z |
|
|||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммируя равенства (в), (г) и (д), получаем полный избыток массы жидкости, вытекающей по всем трем направлениям из элементарного объема. Этот избыток обусловливается изменением плотности жидкости в объеме dV и
равен изменению массы данного объема во времени |
ρ |
dV dτ . Производя |
|
τ |
|
сокращение dV и d и перенеся все члены в левую часть равенства, окончательно получим дифференциальное уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности или сплошности) для сжимаемых жидкостей
11
ρ |
|
ρ w |
x |
|
|
ρ w y |
|
ρ w |
z |
|
0. |
(2.1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
τ |
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для несжимаемых жидкостей, плотность которых постоянна, =const, |
|||||||||||||||||||||
получаем следующее уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
w |
x |
|
|
w y |
|
w |
z |
0. |
|
|
|
|
(2.2) |
|||||
|
|
|
x |
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Как видно, уравнение (2.1) или (2.2) не позволяет определить поле |
|||||||||||||||||||||
скоростей, так как в одно уравнение входят три неизвестные функции: |
|
||||||||||||||||||||
w x=w x(x, y, z, ); |
w y=w y(x, y, z, ); |
w z=w z(x, y, z, ). |
|
Необходимо добавить еще уравнения. Таким уравнением может быть уравнение закона сохранения энергии.
2.2. Дифференциальное уравнение сохранения энергии
При выводе уравнения будем полагать, что движущаяся жидкость однородна и изотропна, ее физические свойства постоянны, энергия деформации мала по сравнению с изменением внутренней тепловой энергии. Выделим в потоке жидкости неподвижный относительно координатной системы элементарный объем, с ребрами dx, dy, dz (рис. 2.2).
|
z |
|
dQz+dz |
|||
|
|
|
|
|
|
dQy |
dQx |
|
|
|
dQx+dx |
||
|
|
|
||||
dQy+dy |
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
x |
|
y |
|
dQz |
Рис. 2.2
Через грани этого объема теплота переносится конвекцией и теплопроводностью, так как суммарный вектор плотности теплового потока с учетом уравнений (1.4) и (1.9) равен
|
|
|
|
|
q q K qT ρ w cp T λ qrad T . |
(2.3) |
Вобщем случае в рассматриваемом объеме может выделяться (или
поглощаться) теплота внутренними источниками (теплота химических реакций, Джоулево тепло при прохождении электрического тока) плотностью qV Вт/м3.
Внаправлении оси Ox в элементарный объем вносится теплота
dQx q x dy dz dτ . |
(а) |
Через противоположную грань отводится теплота |
|
12 |
|
dQx dx q x dx dy dz dτ .
Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора,
получаем для отводимой теплоты |
|
|
|
|
|
|
||
dQ x dx |
|
|
q |
x |
|
|
|
|
q x |
|
|
dx |
dy dz dτ . |
(б) |
|||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Вычитая (б) из (а), получим результирующий подвод тепла в направлении оси Ox
|
dQx dQx dx |
q x |
|
dV dτ . |
|
(в) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Аналогичным образом для направлений по осям Oy и Oz имеем: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dQ y dQ y dy |
q y |
dV dτ ; |
|
(г) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q z |
dV dτ . |
|
(д) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
dQz dQz dz |
|
|
z |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Суммируя равенства (в), (г) и (д), получим результирующий подвод тепла |
||||||||||||||||||||||||||||||
к элементарному объему по всем трем направлениям |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
q x |
|
|
|
q |
y |
|
|
|
|
q z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV dτ . |
(е) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
За счет внутренних источников тепла в элементарном объеме выделится |
||||||||||||||||||||||||||||||
теплота |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q V dV |
dτ . |
|
|
|
|
(ж) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
dQ2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Суммируя (е) и (ж), получим общее количество тепла, подведенное к |
||||||||||||||||||||||||||||||
элементарному объему dV за промежуток времени d |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q |
x |
|
|
|
q y |
|
|
|
|
|
q |
z |
|
|
|
|
||||||||
dQ dQ |
dQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
dV dτ . |
(з) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
V |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это подведенное тепло обусловливает изменение температуры жидкости в объеме dV и равно изменению энтальпии данного объема во времени
|
|
|
|
|
dQ ρ cp T |
dV dτ . |
|
|
|
|
|
(и) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравнивая (з) и (и), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
T |
|
q x |
|
q |
y |
|
q z |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ρ с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
. |
(к) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
||||||||||||
|
|
|
τ |
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Спроектируем на оси декартовой системы координат уравнение (2.3) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
q x ρ w x c p T λ |
T |
|
; q y |
ρ w y c p T λ |
T |
; q z |
ρ w z c p T λ |
T |
. |
||||||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
Подставим эти проекции плотности теплового потока в формулу (к)
ρ c |
|
|
T |
λ 2 T ρ c |
|
|
|
T |
w |
|
T |
w |
|
T |
|
p |
|
p |
w |
x |
|
y |
|
z |
|
||||||
|
|
τ |
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
x |
|
w y |
|
w |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ c |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
q |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
V |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где 2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
оператор Лапласа. |
|
|
|
|
|
|
|||||
x 2 |
y 2 |
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в этой формуле учесть соотношение (2.2) и разделить левую и правую части на cp, то получим окончательно дифференциальное уравнение сохранения энергии
|
|
T |
w |
T |
w |
T |
w |
T |
a 2 T |
q V |
|
, |
(2.4) |
|
|
τ |
x x |
y y |
z z |
ρ c |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где a |
λ |
коэффициент температуропроводности, м2/сек. |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
ρ cp |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнений сохранения массы и энергии недостаточно для определения полей проекций скоростей движения жидкости wx=wx(x, y, z, ); wy=wy(x, y, z, ); wz=wz(x, y, z, ) и поля температуры T=T(x, y, z, ). Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали изменение скорости во времени и пространстве. Такие уравнения дает закон сохранения количества движения.
2.3. Дифференциальные уравнения движения жидкости
Это уравнение векторное и в проекциях на оси выбранной системы координат дает три уравнения. Вывод дифференциального уравнения движения в общем случае требует громоздких математических выкладок. Поэтому для упрощения вывода рассмотрим одномерное течение жидкости. Выделим в потоке вязкой жидкости, как показано на рис. 2.3, элементарный объем с размерами ребер dx, dy и dz.
dx x
y |
dy |
y |
|
|
p
s |
pg |
S ds dy |
|
|
dy |
p dp dx
dx |
wx |
|
x
Рис. 2.3
14
Скорость в потоке изменяется только в направлении оси Оу. Силы, действующие на элемент жидкости, можно разделить на массовые (или объемные) и поверхностные. К массовым силам относятся сила тяжести, центробежная сила и электромагнитные силы. Мы в дальнейшем будем учитывать только силу тяжести. К поверхностным силам относятся силы давления и силы трения. Найдем проекции этих сил на ось Ох.
Сила тяжести равна произведению массы элемента на проекцию ускорения свободного падения на ось Ох
df1 ρ g x dV .
Равнодействующая сил давления в проекции на ось Ох равна
df 2 |
|
p dy dz p |
|
|
|
p |
|
dy dz |
p |
dV. |
x |
dx |
x |
||
|
|
|
Равнодействующая сил трения с учетом уравнения (1.11) в проекции на ось Ох составляет
|
|
|
s |
|
|
s |
|
2 w |
x |
|
df |
|
s |
|
dy |
dx dz s dx dz |
|
dV μ |
|
. |
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
y |
|
|
y |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммируя df1, df 2 и df3 , получим проекцию равнодействующей всех сил на ось Ох, приложенных к объему
|
|
|
p |
|
|
2 |
w x |
|
|
|
|
df |
ρ g |
|
μ |
|
|
dV. |
(а) |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
x |
|
y |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно Второму закону механики эта равнодействующая равна произведению массы элемента на проекцию ее ускорения на ось Ох и учитывает силы инерции
df ρ |
dw x |
dV. |
(б) |
|
dτ |
||||
|
|
|
||
Приравнивая правые части (а) и (б) и производя сокращения, получим |
||||
уравнение движения вдоль оси Ох |
|
|
ρ |
dw |
x |
ρ g |
|
|
p |
μ |
2 w |
x |
. |
|
|
x |
x |
y2 |
|
|||||
|
dτ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости уравнение движения в проекциях на оси Ox, Oy и Oz соответственно имеет вид:
ρ dw x dτ ρ dw y
dτ
ρ dw z dτ
Или в векторном виде
ρ g |
x |
p μ 2 w |
x |
; |
(2.5) |
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ρ g |
y |
p μ 2 w |
y |
; |
(2.6) |
|
|
|
y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ρ g |
z |
p μ 2 w |
z |
. |
(2.7) |
|
z |
|
|
||
|
|
|
|
|
15
|
|
|
|
|
|
|
dw |
|
|||
ρ |
|
ρ g grad p μ 2 w. |
(2.8) |
||
dτ |
|||||
|
|
|
|
Уравнения (2.5) – (2.8) называют уравнениями Навье-Стокса. Член, стоящий в левой части уравнений, представляет собой полную производную от скорости по времени
dw i |
|
w i |
w |
|
|
w i |
w |
|
|
w i |
w |
|
|
w i |
, |
(2.9) |
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|||||||||
dτ |
τ |
|
x |
|
y |
|
z |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
где i соответственно x, y, z.
Первые слагаемые в правой части (2.9) характеризуют локальное изменение скорости во времени в какой-либо точке жидкости. Остальные три слагаемых в правой части характеризуют изменение скорости при переходе от точки к точке. Такая полная производная называется субстанциональной производной. Уравнения движения получены при постоянных теплофизических свойствах жидкости. В то же время свободное движение жидкости (естественная конвекция) определяется разностью плотностей холодных и нагретых частиц жидкости. В общем случае при const необходимо учитывать и энергию деформации жидкости. Поэтому ограничимся приближенным учетом переменности плотности в слагаемом, связанным с силой тяжести в уравнениях
движения. Пусть плотность линейно зависит от температуры
ρ ρo 1 β ,
где и 0 – плотности, соответствующие температурам t и t0;
=t-t0; t0 – некоторая фиксированная температура (точка отсчета). Подставляя это значение плотности в первое слагаемое правой части (2.8),
получим приближенно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
|
|
|
|
|
|
||
ρ |
|
ρ |
0 |
1 |
β g grad p μ 2 w. |
|
|||
dτ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первое слагаемое |
правой |
|
части |
ρ0 1 β g ρ0 g ρ0 gβ можно |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трактовать как сумму силы тяжести |
ρ 0 g , взятой при определенной плотности, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и подъемной (архимедовой) силы |
ρ0β g . |
Член ρ 0 g |
можно представить как |
градиент гидростатического давления р0 в покоящейся жидкости с плотностью |
|
0. Тогда вместо |
|
grad p ρ0 g можно написать grad p1, где p1=p-p0. При |
такой замене приближенное векторное уравнение движения будет описывать и
естественное движение жидкости (естественную конвекцию) |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dw |
|
|
|||
|
|
β g |
|
grad p1 |
ν 2 w. |
(2.10) |
|
dτ |
ρ |
||||
|
|
|
|
|
Таким образом, для задач теплообмена система дифференциальных уравнений сохранения массы (уравнение неразрывности или сплошности), энергии и движения в проекциях на координатные оси оказывается замкнутой. Эта система уравнений в принципе позволяет определить в движущейся жидкости поле температуры T=T(x, y, z, ), поле давлений p=p(x, y, z, ) и поля проекций скоростей wx=wx(x, y, z, ), wy=wy(x, y, z, ), wz=wz(x, y, z, ).
16
Для задач массообмена, не осложненных теплообменом (в изотермических условиях), уравнение энергии в этой системе заменяется уравнением сохранения массы i-го компонента смеси. Вывод этого уравнения, которое называют уравнением массообмена, аналогичен выводу дифференциального уравнения сохранения энергии при qV=0 и имеет вид
mi |
w |
|
mi |
w |
|
mi |
w |
|
mi |
D 2 m |
, |
(2.11) |
|
|
|
z z |
|||||||||
τ |
x x |
y y |
i |
|
|
где mi=Ci/ – относительная массовая концентрация i-го компонента.
В случаях, когда массообмен осложнен теплообменом (в неизотермических условиях), кроме уравнения (2.11), необходимо уравнение сохранения энергии. Однако вывод этого уравнения с учетом (1.13) усложняется. Для двух компонентной (бинарной) смеси оно имеет вид
T |
w |
|
T |
w |
|
T |
w |
T |
a 2 T D |
cp1 |
cp2 |
|
|
||||||||||||||||||||
τ |
x |
x |
y |
y |
z z |
|
|
|
c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
i |
|
|
|
|
|
m |
i |
|
|
|
m |
i |
|
|
|
q |
V |
|
|
|||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
. |
(2.12) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
ρ cp |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
Из этого уравнения видно, что, если удельные изобарные теплоемкости компонентов смеси равны ср1=ср2, то результирующий перенос энтальпии отсутствует, и это уравнение переходит в ранее полученное уравнение (2.4).
3.Теплопроводность при стационарном режиме
3.1.Дифференциальное уравнение теплопроводности
Если в дифференциальном уравнении энергии (2.4) скорость и ее проекции на координатные оси приравнять нулю, то уравнение будет описывать только микроскопический перенос тепловой энергии, который мы назвали ранее теплопроводностью. Тогда дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности можно записать в виде
T |
|
|
q |
V |
|
2 T |
|
2 T |
|
2 T |
|
|
q |
V |
|
|
|||
|
a 2 T |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3.1) |
|||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||
τ |
|
|
ρ cp |
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
ρ cp |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При отсутствии внутренних источников тепла qV = 0 дифференциальное |
|||||||||||||||||||
уравнение нестационарной теплопроводности имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
2 T |
|
2 T |
|
2 T |
|
|
|
|
|
(3.2) |
|||
|
|
a 2 T a |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
. |
|
|
|
|||||||
|
τ |
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если имеются внутренние источники тепла, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, то дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности превращается в уравнение Пуассона
2T qV
λ
|
2T |
2T |
2T |
|
q |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
0. |
(3.3) |
|
|
||||||||
|
|
|
V |
||||||
x |
y |
z |
|
|
λ |
|
|
||
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
Наконец, при стационарной теплопроводности и отсутствии внутренних источников тепла выражение (3.3) принимает вид уравнения Лапласа
|
2 |
|
2 T |
2 T |
2 T |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
0. |
(3.4) |
|
T |
x |
y |
z |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждое из дифференциальных уравнений теплопроводности (3.1) – (3.4) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить конкретное решение, необходимо к дифференциальному уравнению присоединить дополнительные условия. Эти условия получили название краевых условий, или условий однозначности.
3.2. Краевые условия для процессов теплопроводности
Частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, включают в себя:
1)геометрические условия, по которым задаются в конкретной задаче форма и размеры тела, в котором протекает процесс теплопроводности;
2)физические условия, по которым задаются физические свойства материала (плотность, коэффициент теплопроводности и т.п.) тела, а также закон распределения внутренних источников теплоты;
3)начальные условия состоят в задании для нестационарных процессов теплопроводности поля температуры внутри тела в начальный момент времени
T=f (x, y, z) при =0;
4) граничные условия могут быть заданы несколькими способами. Граничные условия первого рода состоят в задании значений температуры
в точках границы тела, внутри которого разыскивается поле температуры
TC=f (xГ, yГ, zГ),
где TC – температура на поверхности тела;
xГ, yГ, zГ – координаты точек поверхности тела.
В частном случае температура в точках границы тела может быть постоянной TC = const в течение всего процесса теплопроводности.
Граничные условия Второго рода состоят в задании значений плотности теплового потока в точках границы тела, внутри которого разыскивается поле температуры
qC=f (xГ, yГ, zГ).
В простейшем случае плотность теплового потока на поверхности тела и во времени остается постоянной qC = const.
Граничные условия третьего рода состоят в задании в точках границы тела связи между значениями плотности теплового потока и температуры. Эта связь представляет собой закон теплоотдачи Ньютона-Рихмана
qC = (TC – ТЖ). (3.5)
При этом задаются температура окружающей тело жидкости ТЖ вдали от него и коэффициент теплоотдачи на границе тела и омывающей его жидкости. Величины qC и TC при этом не заданы, являясь искомыми
18
величинами. По закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени, вследствие теплоотдачи должно равняться количеству теплоты, подводимому к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутреннего объема тела, т.е. по закону Фурье
|
T |
|
|
α Tc Tж λ |
|
, |
(3.6) |
|
n c |
|
где n – нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент температуры относятся к поверхности тела (при n=0).
3.3. Стационарная теплопроводность через плоскую стенку
Пусть имеем плоскую стенку толщиной с постоянным коэффициентом теплопроводности . На наружных поверхностях стенки поддерживают постоянными температуры ТС1 и ТС2. Если ось Ох направить, как показано на рис. 3.1, то при заданных условиях температура в направлении осей Оу и Oz будет оставаться постоянной
T T 2 T 2 T 0.y z y 2 z 2
T
Tc1
q |
Tc2 |
0 x
Рис. 3.1
Всвязи с этим температура будет зависеть только от одной координаты x,
идифференциальное уравнение теплопроводности (3.4) будет иметь вид
2 T |
|
d 2 T |
0. |
|
x 2 |
dx 2 |
|||
|
|
Граничные условия первого рода зададим следующим образом:
при x=0 T=TC1,
при x= T=TC2.
Первое интегрирование (3.7) дает
dTdx C1.
После Второго интегрирования получим
19
(3.7)
(3.8)
(3.9)
T=C1x+C2. |
(3.10) |
Из уравнения (3.10) следует, что при |
постоянном коэффициенте |
теплопроводности поле температуры в стенке в зависимости от x изменяется по
линейному закону. Постоянные С1 |
и С2 |
определяются из граничных условий |
||||
(3.8) после их подстановки в (3.10) |
|
C TC1 TC2 . |
|
|||
C |
2 |
T , |
|
|
||
|
C1 |
|
1 |
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя значения этих постоянных в уравнение (3.10), получим поле |
||||||
температуры в плоской стенке |
|
TC1 |
TC2 x. |
|
||
|
T T |
|
(3.11) |
|||
|
|
C1 |
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
Так как коэффициент теплопроводности и градиент температуры, в соответствии с (3.9), постоянны, то плотность теплового потока в любой точке
стенки постоянна и по закону Фурье равна |
TC1 TC2 . |
|
|||
q λ |
dT |
λ C |
λ |
(3.12) |
|
|
|||||
|
dx |
1 |
|
δ |
|
|
|
|
|
Отношение / называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина / = RC – термическим сопротивлением теплопроводности стенки. Таким образом, плотность теплового потока прямо пропорциональна разности температур (температурному напору) и обратно пропорциональна термическому сопротивлению теплопроводности стенки. Поток тепла определяется по формуле
Q q F dF q F. |
(3.13) |
|
|
F |
|
Количество тепла, перенесенное через плоскую стенку за время , |
||
определяется соотношением |
|
|
τ |
|
|
Q dτ q F dF q F τ. |
(3.14) |
|
0 |
F |
|
Рассмотрим случай, когда |
коэффициент теплопроводности |
зависит от |
температуры = (t). Для многих материалов эта зависимость близка к линейной = О(1+bT), где О – значение коэффициента теплопроводности при 0оС. Подставляя это значение коэффициента теплопроводности в закон Фурье, имеем
q λ T |
dT |
λ |
|
1 bT |
dT |
. |
(а) |
|
0 |
|
|||||
|
dx |
|
dx |
|
|||
|
|
|
|
Разделяя переменные и интегрируя выражение (а)
x = и в интервале температур от TC1 |
до TC2, получаем |
|||||
q δ λ 0 |
|
|
T |
T |
|
TC1 |
1 |
b |
C1 |
C2 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
В выражении (б) множитель
в пределах от x = 0 до
TC2 . |
(б) |
20