8446

100

dϕ = dA = E × d r . Q'

Суммируя (интегрируя), получим значение потенциала в точке с координатой

R

r , если за начало отсчета принять потенциал точки r0 :

r0

ϕ(r) = ∫ Edr r .

r

Мы получили уравнение связи дополнительной характеристики – потенциала с основной характеристикой – напряженностью.

Задача: получить уравнение обратной связи, т.е. Е через j. Используем выражение для dj dj = E × dr и получим

E = dϕ ®Производная по координатам (быстрота изменения в пространстве). dr

Но остается вопрос о направлении поля в пространстве.

Для более точной записи связи потенциала и напряженности используем

переменных j(x,y,z).

Производные от функции нескольких переменных называются частными производными. Для потенциала:

напряженности по трем осям координат{Ex , Ey , Ez }. В векторном виде это

запишется в виде E = -Ñ`j gradj уравнение связи E и j (grad читается как «градиент»).

По определению потенциал связан с работой по перемещению единичного заряда, следовательно, умножив потенциал на величину пробного заряда, мы получим работу по перемещению этого заряда, т.е. получим потенциальную

энергию данного заряда в данной точке электрического поля:

ЕПОТ = j×QПР.

Разность потенциалов.

Как использовать потенциал при решении задач?

Удобнее использовать не сам потенциал, а его приращение или изменение, а

102

точки r0 (бесконечности), в которой потенциал принят за 0 .

Например, потенциал шара радиуса R имеющего заряд Q равен:

Эта формула следует из определения потенциала и из того факта, что электрическое поле вне заряженного шара совпадает с полем точечного заряда такой же величины, помещенного в центре шара.

В электростатике заряженный проводник может иметь избыточный заряд. Поскольку электрическое поле внутри проводника равно нулю, заряд может располагаться только на поверхности (это следует из теоремы ОстроградскогоГаусса).

В вакууме на поверхность проводника можно поместить заряд любой величины. При этом электрическое поле вне проводника и его потенциал возрастают пропорционально заряду. В воздухе превышение потенциалом некоторой величины сопровождается электрическим пробоем газа, в результате которого заряд стекает с проводника. Поэтому величиной, характеризующей заряд, который можно разместить на проводнике, является электрическая емкость:

Электрическая емкость численно равна заряду, который нужно поместить на проводник, чтобы изменить его потенциал на единицу.

В системе СИ емкость измеряется в Кл/В=Ф (фарада). Вычислим электрическую емкость шара:

Видим, что электрическая емкость зависит только от размеров проводника и среды где он находится. Поэтому электрическая емкость является характеристикой проводника и не зависит от того заряжен он или нет.

1.8.Электрическая емкость конденсатора

Конденсатор – устройство для накопления электрических зарядов при минимальном электрическом поле вне конденсатора.

В качестве конденсатора можно использовать два проводящих тела, имеющих такую форму и расположенных так, что при заряжении этих тел одинаковым по величине и противоположным по знаку зарядами электрическое поле будет сосредоточено в основном между телами.

Под емкостью конденсатора понимают заряд который нужно поместить на один из проводников, чтобы разность потенциалов изменилась на единицу:

C = q ,

U12

где U12 – разность потенциалов между пластинами.

103

Нетрудно получить формулу для электрической емкости плоского конденсатора, состоящего из двух проводящих плоскостей, площадью S, между которыми находится слой диэлектрика толщиной d, имеющий проницаемость

С = εε 0 S . d

Аналогично можно получить формулы для емкости сферического или цилиндрического конденсаторов.

При соединении двух конденсаторов параллельно, то есть когда разных конденсаторов пластины соединены попарно, емкость батареи равна сумме емкостей конденсаторов С = С1 + С2 . Для плоских конденсаторов с одинаковым расстоянием между обкладками это непосредственно следует из формулы для емкости, поскольку такое соединение эквивалентно сложению площадей пластин. Попробуйте доказать эту формулу в общем случае.

При последовательном соединении конденсаторов емкость батареи можно найти из соотношения:

1 = 1 + 1 .

СС1 С2

1.9.Энергия электрического поля

Пластины заряженного плоского конденсатора притягивются друг к другу. Сила притяжения равна напряженности электрического поля, создаваемого одной из пластин, умноженной на заряд другой пластины (F=qE/2, где E – полное поле конденсатора). Если дать возможность пластинам свободно перемещаться, то они будут двигаться навстречу друг другу, совершая работу, и в момент касания пластин произойдет нейтрализация заряда. Полная работа электрических сил при таком процессе будет равна потенциальной энергии электростатического поля конденсатора. Эту энергию нетрудно вычислить, принимая во внимание, что E, а значит и сила, не зависит от расстояния между пластинами:

Последние две формулы справедливы не только для плоских конденсаторов, но и в общем случае, для конденсаторов с любой геометрией пластин.

Для плоского конденсатора полученную формулу можно преобразовать, используя выражение для электрической емкости и связь между U и E (U=Ed):

Принимая во внимание, что электрическое поле сосредоточено исключительно внутри конденсатора, видим что энергия, связанная с

104

электрическим полем, пропорциональна объему, то есть распределена в пространстве. Можно ввести плотность энергии электрического поля, т.е. энергию , содержащуюся в единичном объеме: w=W эл /V. Для этой величины

получим следующее выражение:

wE = ee0 E 2 . 2

Полученная формула справедлива не только для поля плоского конденсатора, но во всех случаях, когда имеется электрическое поле в пространстве.

2. Постоянный электрический ток

Здесь обсуждаются основные законы, связывающие характеристики электрических полей с движением электрических зарядов и явлениями, связанными с этим движением. Эти законы сохраняют силу и в случае квазистационарной цепи, т. е. во всех случаях, когда можно пренебречь временем распространения электромагнитных возмущений в электрических проводах. Поскольку скорость распространения этих возмущений порядка скорости света, время их распространения часто бывает много меньшим всех прочих интервалов времени, присутствующих в той или иной задаче.

2.1.Сила и плотность тока

Электрический ток – направленное движение заряженных частиц.

В металле свободные электроны обеспечивают электронную проводимость.

Сила тока есть физическая характеристика, численно равная заряду, который переносится через поперечное сечение проводника за единицу времени.

Из определения величины тока dq = I×dt можно получить выражение для заряда, переносимого током через поперечное сечение провода за время t:

Q(за t) = t∫ I ×dt¢. 0

В системе СИ единица измерения силы тока – Ампер (А) принята за основную единицу. Она связана с магнитным взаимодействием проводников с током. Единица измерения электрического заряда – Кулон, является производной и связана с величиной силы тока соотношением: 1 Кл=1А×1 с.

105

Можно сказать, что Кулон – это заряд, который протекает за секунду через поперечное сечение проводника при токе один Ампер.

Сила тока является интегральной характеристикой (через полное сечение проводника) переноса заряда. В тех случаях, когда заряд переносится с разной скоростью в разных точках сечения проводника, необходима локальная характеристика переноса заряда.

Рассмотрим элементарную площадку dS на поперечном сечении провода. Определим величину элементарного тока dI, протекающего через эту площадку. Считая площадку dS достаточно малой, найдем локальную характеристику тока

| j | = dI – плотность тока. dS

Определение:

Плотность тока j – есть локальная (в точке) характеристика электрического тока, численно равная отношению элементарного тока dI , к элементарной плошадке dS, через которую этот ток протекает, причем направление j совпадает с направлением движения положительных

зарядов, а вектор dS считается направленным по нормали к поперечному

сечению.

Задача: найти выражение для величины тока через плотность тока.

Используя единичный вектор нормали к поперечному сечению провода n ,

Частный случай:

R

Если d S || j и j = const на всей поверхности S, тогда ток вычисляется совсем просто I = j×S.

2.2.Закон Ома для участка цепи

Основополагающий закон, связывающий разность потенциалов U на концах проводника и силу тока в нем имеет вид:

106

I = U .

R

Данное соотношение получило название закон Ома для участка цепи и является обобщением экспериментальных данных. Здесь R – характеристика электрических свойств провода, называемая электрическим сопротивлением.

Согласно данной формуле, сопротивление в системе СИ должно измеряться в единицах В/А (Вольт делить на Ампер), которые имеют специальное название Ом.

Более универсальной величиной (определяющейся только веществом) является удельное сопротивление. Для однородного провода длиной L и площадью поперечного сечения S получим связь между сопротивлением проводника R и его удельным сопротивлением ρ дается соотношением:

R = ρL . Удельное сопротивление проводников растет с увеличением

S

температуры по закону: ρt = ρ0 ×[1+α R ×(t - t0 )], позволяющему вычислить удельное сопротивление при температуре t ( ρt ) по известному удельному

сопротивлению при t=0 Со ( ρ0 ,α - табличные величины, определяющиеся

R

материалом провода).

Для однородного провода, в разных точках поперечного сечения которого скорость переноса заряда одинакова, можно получить связь плотности тока с электрическим полем. Поделим формулу закона Ома на S :

тока совпадает с направленным движения положительных зарядов, а они движутся в направлении напряженности приложенного электрического поля, то

можно записать закон Ома в локальной (дифференциальной) форме: Читается закон так: плотность тока в веществе пропорциональна напряженности электрического поля.

2.3.Закон Джоуля-Ленца

Какая энергия выделяется в проводящем веществе при протекании по нему электрического тока? Ответ на этот вопрос можно получить из анализа закона Ома для участка цепи.

Предположим, по проводнику с сопротивлением R протекает ток I. Какая

тепловая мощность выделяется в проводнике? Запишем закон Ома в виде:

U = I × R .

Здесь U – работа электрических сил, которую они совершают над зарядом 1 Кулон, протекающим по проводнику. Совершение работы, как известно, из механики, приводит к увеличению энергии. Но заряды в проводнике не увеличивают скорость движения, иначе бы сила тока возрастала со временем.

107

На что же тратится работа электрических сил? На нагревание проводника. Следовательно при протекании по проводнику заряда в 1 Кулон в проводнике выделяется в количество тепла Q1 = Q / q = U = I × R . Чтобы получить тепловую мощность надо умножить величину Q1 на заряд, протекающий за 1 секунду, т.е.

на силу тока I : P= Q1 I. Проделав эти несложные вычисления получим:

P = U × I = I 2 × R .

Это выражение – закон Джоуля – Ленца для участка цепи.

Тепловая мощность выделяется в каждой точке проводника. Величина мощности, выделяющейся в единице объема проводника называется объемной плотностью тепловой мощности ωT :

ωT = dP dV .

Поделив полученное уравнения Джоуля – Ленца для участка цепи на объем проводника LS и, используя закон Ома в локальной форме, для объемной плотности тепловой мощности, получим

wT = ρ × j 2 .

Данное соотношение получило название закон Джоуля-Ленца в локальной (дифференциальной) форме. Эта формула позволяет вычислить энергию, выделяющуюся в единицу времени в единичном объеме проводника (в системе СИ в Дж/(м3 с)).

2.4.Источники тока Закон Ома для замкнутой неразветвленной цепи

Источниками электрической энергии называют устройства, поддерживающие разность потенциалов в проводнике и обеспечивающие электрический ток в присоединенных к ним потребителях (нагрузке).

Электрической цепью (полной) называется совокупность источника электрической энергии, потребителя электрической энергии, соединительных проводов и управляющих элементов (включатели, регуляторы, предохранители и т.д.). Электрическая цепь должна быть замкнутой.

Источник, потребитель и провода на данной схеме соединены последовательно, поэтому ток через все элементы одинаковый. В противном случае заряд в каком-то сечении цепи накаливался, что привело бы к изменению потенциала, а вслед за ним и тока.

Источник имеет две основные характеристики электродвижущая сила

108

(ЭДС) и внутреннее сопротивление r.

ЭДС (на схемах обозначается ε ) численно равна работе “ сторонних” сил по перемещению единичного заряда. Сторонние силы могут быть силами различной природы (химическими, магнитными). Они необходимы для поддержания постоянной разности потенциала на клеммах источника, т.е. для переноса положительного заряда внутри источника от отрицательной клеммы к положительной. Действие сторонних сил эквивалентно наличию поля сторонних сил с эффективной напряженностью EСТ , действующей внутри источника и направленной к положительной клемме:

ε = ∫ EСТ × dl . Интегрирование производится от отрицательной до положительной клеммы, а вне источника сторонние силы обращаются в ноль.

ЕСТ

Q + + – Е

I R

Сказанное иллюстрирует рисунок, на котором изображены направления стороннего и электрического поля. Видим, что сторонние силы направлены внутри источника против электрического поля.

Сопротивление нагрузки на схемах часто обозначается R (заглавной, иногда

синдексами).

Взамкнутой цепи, изображенной рисунке, при протекании тока совершают работу как сторонние, так и электрические силы. Будем обходить эту цепь от положительной клеммы источника и подсчитаем работу всех сил при

перемещении по цепи заряда в 1 Кл (за какое-то время t ).

На внешнем участке цепи работу , равную разности потенциалов между

отрицательной к положительной клемме, а работа совершается и электрическими и сторонними силами. Поэтому работа на внутреннем участке цепи равна АВНУТР = ϕ− − ϕ+ + ε . ЭДС имеет знак «плюс» потому, что движение происходит в направлении сторонних сил. Полная работа А по перемещению единичного заряда по замкнутой цепи равна А = ε . Работа электрических сил

равна нулю, потому что эти силы потенциальны.

Согласно закону Ома, работа по перемещению единичного заряда на участке цепи равна произведению тока на сопротивление. Полное сопротивление рассмотренного участка равно R+r. Таким образом можно записать соотношение:

которое является законом Ома для полной неразветвленной цепи.

В литературе встречается подразделение источников электрической энергии постоянного тока на два класса: источники напряжения и источники тока.

Источник напряжения – источник электроэнергии, имеющий малое внутреннее сопротивление ( r << R ). Закон Ома для такой цепи имеет вид

ε ≈ IR .

В этом случае напряжение на нагрузке равно ЭДС, т.е. постоянно, а величина тока обратно пропорциональна сопротивлению нагрузки.

пропорционально ее сопротивлению.

Короткое замыкание это такое подключение источника, когда сопротивление проводов и нагрузки равно 0. Формула тока короткого замыкания I КЗ имеет вид:

I КЗ = ε .

r

Чем ближе реальный источник к модели источника напряжения, тем меньше для него r и тем более для него опасно короткое замыкание. Для источников тока короткое замыкание не опасно.

2.5.Энергетические характеристики замкнутой цепи. КПД источника

Коэффициентом полезного действия источника (КПД) называют отношение мощности, выделяющейся в нагрузке к полной мощности источника.

Для цепи, рассмотренной в предыдущем параграфе полная мощность источника может быть найдена если работу источника над единичным зарядом (равнуюε ) умножить на заряд, протекающий через источник в единицу времени (равный I):

PИСТ = ε × I .

Очевидно, что полная мощность источника не является постоянной для данного источника величиной, а зависит также от параметров цепи.

Поскольку источник предназначен для создания тока в нагрузке, полезной мощностью называют мощность, выделяющуюся в нагрузке:

PН = I 2 × R .

Таким образом, для КПД (η ) источника можно получить следующее