8443
.pdf171
rλ s + rλАЧТ × s × (1 - aλ ) = rλАЧТ × s
Баланс энергии для первого и второго тела даёт:
rλ |
= |
rλачт |
= r |
= f (T ) , |
(5) |
|
|
||||
aλ |
1 |
λачт |
|
|
|
|
|
|
Это равенство выражает закон Кирхгофа для равновесного теплового излучения. Отношение спектральной плотности излучаетльной способности к коэфициенту поглощению тела есть величина универсальная функция тепературы и определяющая спектральную плотность излучения абсолютно чёрного тела
Следствие: при данной температуре сильнее излучают те тела, которые имеют больший коэффициент поглощения.
2.3.Классическая теория излучения. Закон Джинса-Релея**
Рассмотрим замкнутую равновесную систему в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами Lx , Ly , Lz , Если стенки полностью
отражающие, в системе могут существовать стоячие ЭМ волны с волновыми числами
k x Lx = π nx , k y Ly = π ny , k z Lz = π nz ; nx , ny , nz - целые
Каждый набор целых чисел определяет состояние системы . Определим число состояний если ограничена величина волнового вектора заключена в пределах между
k = k x 2 + k y2 + k z2 и k + dk
В пространстве волновых чисел это определяется объёмом первого квадранта шарового слоя 4π k 2 dk / 8 , делённом на объём ячейки, занимаемой
|
π |
|
× |
|
π |
|
× |
|
π |
= |
π 3 |
|
|
|||
одним состоянием ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) то есть: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Lx |
|
|
|
Ly |
|
Lz |
|
V |
|
|
|||||
dN = g π k 2 dk × |
|
V |
|
|
= |
k 2 dkV |
= |
8πν 2 × dν |
×V |
(6) |
||||||
π 3 |
|
c3 |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
Вэтой формуле учтено k=2πν/c и что число возможных поляризаций ЭМ поля равно g=2, что увеличивает число состояний.
Вклассической теории принимается принцип равнораспределения энергии по степеням свободы. Здесь мы имеем дело с осцилятором, которому приписывают 2 степени свободы, на каждую из которых приходится энергия kT/2 . Таким образом получим для спектральной плотности энергии единицы
объёма uν : |
|
|
8πν 2 kT |
|
|
|
u = kT × |
dN |
= |
Дж/(м3Гц) |
(7) |
||
|
|
|||||
V × dν |
c3 |
|||||
ν |
|
|
|
172
Поскольку энергия распространяется в пространстве со скоростью с, вытекающая через единичную площадку
r |
= cu / 4 = |
2πν 2 kT |
Дж/(c м2Гц) |
(8) |
|
c 2 |
|||||
ν |
ν |
|
|
Эта формула соответствует Закону ДжинсаРелея для спектральной плотности излучательной способности тела. Для получения полной энергии, излучаемой телом, эта величина должна быть проинтегрирована по частоте от 0 до бесконечности. Поскольку функция (7) возрастает с частотой, интеграл даёт бесконечное выражение в области малых частот. Этот результат парадоксальный, поскольку тело не имеет бесконечной энергии. Эта особенность классической теории теплового излучения была названа ультрафиолетовой катастрофой, поскольку подрывала все устои физики.
2.4.Формула Планка*
Тупиковую ситуацию разрешил в 1890 г. немецкий физик-теоретик Макс Планк, предположивший, что электромагнитные колебания излучаются атомами не непрерывно, а дискретными порциями (квантами), энергия которых
ε пропорциональна частоте ν |
|
ε1 = hν , |
(8) |
где h = 6,63 ×10−34 Дж × с – постоянная Планка. |
|
Поэтому энергия осцилятора ε n = nε1 квантуется.
Средняя энергия должна вычислятся с помощью распределения Больцмана:
|
∞ |
|
|
|
|
|
< ε (ν ) >= |
∑ nε1 exp[-nε1 |
/ kT ] |
hν |
|||
n=0 |
|
|
= |
|||
|
|
|
(9) |
|||
|
∞ |
|
|
|||
|
∑exp[-nε1 / kT ] |
exp(hν / kT ) -1 |
||||
|
|
|
n=0
Заметим что средняя энергия равна kT только для малых частот. Для больших частот эта величина экспоненциально уменьшается. Теперь, заменяя в формуле (7) kT выражение средней энергии, полученной в (9) для величины uν будем иметь:
u = kT × |
dN |
= |
8πhν 3 |
× |
1 |
(10) |
V × dν |
c3 |
|
||||
ν |
|
|
exp(hν / kT ) -1 |
Это известная формула Планка, которая даёт корректный спектр теплового излучения. Для излучательной способности абсолютно чёрного тела получаются соотношения:
r |
= |
2πhν3 |
× |
1 |
|
или |
r |
= |
2πhc2 |
× |
1 |
|
exp[hνkT ]-1 |
|
exp[hc λkT ]-1 |
||||||||
ν,T |
|
c2 |
|
|
λ,T |
|
λ5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
173
Графики первой из двух функций приведены на рисунке для двух температур, отличающихся в два раза (единицы измерения по осям условные).
2.5.Закон Стефана-Больцмана. Законы Вина
Из рисунка видно, что спектр абсолютно черного тела всегда является сплошным, то есть в спектре представлен непрерывный ряд длин волн.
Поскольку энергетическая светимость АЧТ
Rэ = ∞∫ rλdλ, площадь под |
кривого Кирхгофа пропорциональна |
0 |
|
излучательной способности АЧТ. С |
увеличением температуры излучательная |
способность АЧТ растет. |
|
Закон Стефана – Больцмана: |
энергетическая светимость абсолютно |
черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры
R = σТ4 , |
(11) |
э
где σ = 5,67 ×10−8 Вт× м−2К−4 – постоянная Стефана-Больцмана.
Для реальных тепловых излучателей R = kσТ4 |
, где k – коэффициент |
э |
|
серости.
Закон (11) был получен экспериментально ранее формулы Планка. Интегрированием распределения Планка, можно получить этот закон, а
кроме того показать, что постоянная Стефана-Больцмана выражается через фундаментальные постоянные:
174
σ = 2π 5 k 4
15c 2 h3
Из рис. следует, что для каждой температуры кривые Планка имеют максимум rλm , и что с ростом температуры максимум смещается в сторону более коротких длин волн, то есть больших частот. Немецкий физик Вин установил, что длина волны λm , соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости АЧТ обратно пропорциональна его термодинамической температуре Т:
|
λm |
= |
C1 |
, |
(12) |
|
|
||||
где C = 2,9 ×10−3 |
|
|
T |
|
|
м× К . |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Это первый закон Вина, или закон смещения Вина.
Второй закон Вина позволяет определить само значение максимальной спектральной плотности энергетической светимости rλm АЧТ при данной температуре Т:
r |
= C |
2 |
T 5 |
, |
(12а) |
λm |
|
|
|
|
где C2 = 1,29 ×10−5 Втм−3К−5 .
Законы Вина также могут быть получены из формулы Планка. Для этого нужно выразить точку максимума распределения и найти зависимость максимальной излучательной способности от температуры.
Вычисляя производную получим
drλ |
= const ×[5(1 - exp(-x)) - x] = 0, где x = |
hc |
. |
dλ |
|
||
|
λkT |
Уравнение 5(1 - e− x ) = x может быть решено приближенно (итерациями). Возьмём x0=0 и подставим его в левую часть, тогда в правая часть даст следующее приближение x1=5, подставляя его в левую часть получим x2=5(1-е-5)= 4,97. Видим, что второе приближение мало отличается от первого, следовательно можно его принять в качестве приближённого решения. В результате для первого закона Вина получим:
hc = 4,97
λkT
Что даёт коэфициенты, совпадающие с приведённой выше эмпирической формулой (12).
Приведем связь между интенсивностью I излучения абсолютно чёрного тела и равновесной плотностью энергии излучения u в окружающем пространстве. Для простоты вывода рассмотрим тело в виде сферической полости, радиусом R, а величину u вычислим в центре этой полости. По определению [ I ]=Дж/(c м2ср), то есть даёт мощность, выходящую из единичной площади тела в
175
определённом направлении в расчёте на единичный телесный угол (в стерадианах ср).
Выделим в ценре полости небольшой шаровой объём, радиуса r. Этот объём виден из какой то точки полости под телесным углом P=πr2/R2. C с каждого квадратного сантиметра поверхности тела в 1 секунду на рассматриваемый объём падает энергия I P .
Поскольку энергия протекает через площадь πr2, вытекающая за секунду энергия равна должна иметь плотность u1: u1πr2c= I P или
u1 = |
I |
. |
|
cR 2 |
|||
|
|
Полная плотность энергии u складывается из излучения всей
поверхности полости, площадью 4πR2 в
результате получим окончательную формулу:
u = |
4π I |
. |
(13) |
|
|||
|
c |
|
Заметим, что если в сферической полости проделать небольшое отверстие, то энергетическая светимость этого отверстия RЭ будет определятся формулой (11), а через плотность энергии внутри полости выразится следующим образом:
= с × u
R . (14)
Э |
4 |
|
Подробности вычислений можно найти в учебниках.
3.Законы квантовой механики
3.1.Спектр водорода. Постулаты Бора
Простейшим атомом является атом водорода, состоящий из одного протона в ядре и одного электрона, движущегося в кулоновском электрическом поле
ядра. Водородоподобными ионами (изоэлектронными водороду) называют ионы Не+, Li++, Be+++ и т.д., имеющие ядро с зарядом Ze и один электрон.
176
Среди оптических свойств атома важнейшим является его спектр излучения. Частоты линий ν в дискретном линейчатом спектре атома водорода описываются формулой Бальмера – Ридберга
|
1 |
|
1 |
|
|
||
|
- |
|
(15) |
||||
|
2 |
2 |
|||||
ν = сR |
|
, |
|||||
n |
|
|
n1 |
|
|
||
где с – скорость света в вакууме; n и n1 – |
положительные целые числа, причем |
n1>n. Величина R называется постоянной Ридберга ( R = 1,0973731×107 м−1 ). Целые числа n и n1 называются главными квантовыми числами, причем
n1 = n + 1,n + 2 |
и т.д. Группа линий с одинаковым числом n называется серией. |
|
Серии линий |
водородного спектра: n = 1 – серия Лаймана, |
n = 2 – серия |
Бальмера, n = 3 – серия Пашена, n = 4 – серия Брэкета, n = 5 – |
серия Пфунда, |
|
n = 6 – серия Хэмфри. |
|
Для водородоподобных ионов формула Бальмера-Ридберга имеет вид
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
ν = Z |
2 R |
|
|
- |
|
|
, |
(16) |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
n1 |
|
|
|
где Z – порядковый номер элемента в периодической системе Менделеева. Спектр и энергетические уровни атома водорода были объяснены
впервые с помощью постулатов Бора.
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме существует набор стационарных состояний, находясь в которых атом не излучает электромагнитные волны. Стационарным состояниям соответствуют стационарные орбиты, по которым электроны движутся с ускорением, но излучение света при этом не происходит.
Правило квантования орбит: в стационарном состоянии атома электрон, движущийся по круговой орбите, имеет квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию:
Lk = mυr = kH |
( k = 1,2,3,...). |
(17) |
Здесь m – масса электрона, υ – |
его скорость, r – |
радиус k − й орбиты, |
H = h / 2π . |
|
|
Второй постулат Бора (правило частот): при переходе атома из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается один фотон. Излучение фотона происходит при переходе атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией. При обратном переходе происходит поглощение фотона. Энергия hν фотона равна модулю разности энергий в двух состояниях атома:
|
Wn - Wm |
|
= hν. |
(18) |
|
|
|||
|
||||
|
|
|
|
|
При Wn > Wm происходит излучение фотона, при Wn < Wm – его поглощение.
177
3.2.Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц вещества. Волны де Бройля
Физика атомов, молекул и их комплексов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Объекты микромира, изучаемые квантовой механикой, имеют линейные размеры порядка 10-6 ÷ 10-12 см. Если частицы движутся со скоростями υ << c , где с – скорость света в вакууме, то применяется нерелятивистская квантовая механика.
Основополагающей в квантовой механике служит идея о том, что корпускулярно-волновая двойственность свойств, установленная для света, имеет универсальный характер. Все движущиеся частицы обладают волновыми свойствами.
Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса р частицы
λ = |
h |
= |
h |
, |
(19) |
|
|
||||
|
p |
mυ |
|
где m – масса частицы, υ – ее скорость, h – постоянная Планка. Волны, о которых идет речь, называются волнами де Бройля.
H = h = 1,05 ×10−34 Дж × с. 2π
Длина волны де Бройля для частицы с массой m , имеющей кинетическую энергию Wk ,
λ = |
h |
(20) |
. |
2mWk
Формула де Бройля экспериментально подтверждается опытами по рассеянию электронов и других частиц на кристаллах и по прохождению частиц сквозь вещество. Признаком волнового процесса во всех таких опытах служит дифракционная картина распределения электронов (или других частиц) в приемниках частиц.
Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным.
3.3.Соотношения неопределенностей Гейзенберга
Волновые свойства микрочастиц вносят ограничения в возможность применять к таким частицам понятия координаты и импульса в их классическом смысле.
В классической физике также существуют ограничения в применении некоторых понятий к определенным объектам. Так, понятие температуры не имеет смысла применять для одной молекулы, понятие о точной локализации (пребывание в одной точке) неприменимо к определению положения в
178
пространстве волны и т.д. Однако в классической механике определенному значению координаты частицы соответствуют точные значения ее скорости и импульса. В квантовой механике существуют ограничения в возможности одновременного точного определения координаты частицы и величины ее
импульса. |
Эти |
ограничения |
связаны |
с |
корпускулярно-волновой |
|
двойственностью свойств микрочастиц. |
|
|
|
|||
Соотношениями неопределенностей Гейзенберга называются неравенства |
||||||
|
|
Dx × Dp x ³ h, Dy × Dp y ³ h, Dz × Dpz ³ h . |
(21) |
|||
Здесь |
x , y и |
z означают интервалы координат, в которых может быть |
локализована частица, описываемая волной де Бройля, если проекции ее импульса по осям координат заключены в интервалах px , p y и pz
соответственно.
Соотношения Гейзенберга показывают, что координаты частицы x, y, z и проекции px , p y , pz ее импульса на соответствующие оси не могут одновременно иметь значения в точности равные x и px , y и p y , z и pz . Эти
физические величины могут иметь значения, заданные с точностью, определяемой соотношениями Гейзенберга. Чем более точно определено положение частицы, т.е. чем меньше x , y и z , тем менее точно определены
значения проекций ее импульса (т.е. тем больше px , p y |
и |
pz ). Если |
положение частицы на оси ОХ определено точно и x = 0 , |
то |
px = ∞ и |
значение проекции импульса px становится совершенно неопределенным. Соотношения неопределенностей накладывают в квантовой механике
определенные ограничения на возможности описания движения частицы по некоторой траектории.
В классической теории в каждой точке траектории частица имеет определенные координаты x, y,z и определенный импульс p с проекциями по осям px , p y , pz . В квантовой механике это реализуется только в тех случаях,
когда частица движется в макроскопической области пространства (например, оставляет след на фотопластинке или экране осциллографа). Если, например, положение электрона зафиксировано с точностью, определяемой линейными размерами зерна фотоэмульсии, испытывающего воздействие электрона, то
Dx ~ 10−6 м . |
|
Этому |
|
соответствует |
неопределенность |
импульса |
||||||||
Dpx ³ |
h |
−27 |
кг × м / |
|
|
|
Dυx |
= |
px |
|
3 |
|
|
|
|
~ 10 |
|
с |
и |
скорости |
|
~ 10 |
|
м / с. |
Эта |
||||
|
|
m |
|
|||||||||||
|
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенность при скоростях электронов порядка (106 ¸107 )м / с позволяет считать, что электрон движется по определенной траектории с точно заданной в каждой точке скоростью.
Если частица движется в макроскопической области пространства, то соотношения неопределенностей существенно сказываются на характере движения частицы. Например, положение электрона, движущегося в атоме,