логистика / 0555951_78386_plotkin_b_k_delyukin_l_a_ekonomiko_matematicheskie_metody_i

61

Пример 5.3: В магазине обслуживание покупателей осуществляют два продавца. Магазин работает с 10 ч. до 19 ч. с часовым обеденным перерывом. В среднем за день магазин посещают 120 человек, среднее время обслуживания одного покупателя 5 минут. Необходимо определить характеристики обслуживания.

Решение:

Поток заявок – простейший, его плотность

На основании полученных данных определяется вероятность наличия очереди:

Р = 1 – (Р0 + Р1+ Р2) или Р = 1 – (0,233 + 0,293 + 0,182) = 0,292.

Пор формуле (3) определяется средняя длина очереди: S = 0,7 чел.

Таким образом, в рассматриваемом примере вероятность образования очереди сравнительно высока, однако если покупатель и застает очередь, то в среднем не более одного человека.

Методы теории массового обслуживания применяются в некоторых задачах управления запасами. С точки зрения теории массового обслуживания запас – это «очередь» товаров, ожидающих «обслуживание», т. е. спрос со стороны потребителей. Если товары поступают на склад и уходят со склада по пуассоновскому закону с плотностями соответственно λ и μ, то вероятность наличия на складе n единиц товара - Рn, а вероятность отсутствия товара – Pо определяются соответственно следующими формулами:

Затраты на содержание аппаратов обслуживания, так же как и величина убытков от отказов в обслуживании, определяются методом прямой калькуляции для данной системы обслуживания или для данной логистической системы.

62

Упражнения для самоконтроля:

1. Продовольственный магазин самообслуживания имеет два расчетнокассовых узла, в которые в течение одного часа приходят в среднем 30 покупателей, время обслуживания – 2 минуты.

Определить:

-вероятность образования очереди покупателей в расчетно-кассовые узлы;

-вероятность застать расчетно-кассовые узлы свободными.

2. На базу в течение 12 часов приходят под погрузку товаров 24 автомашины. Обслуживание автомашин осуществляется с 4 погрузочных площадок, время погрузки – 30 мин. Содержание одной погрузочной площадки – 25 тыс. руб./год, убытки от отказов в обслуживании автомашины – 5 тыс. руб. в сутки.

Определить:

-вероятности занятости 0, 1, 2, 3 и 4 погрузочных площадок;

-количество погрузочных площадок при детерминированном потоке автомашин;

-оптимальное количество погрузочных площадок при стохастическом потоке автомашин

3. Имеется склад с годовым грузооборотом 182,5 тыс. тонн, период прохождения груза – 365 суток. Средний срок хранения – 5 суток. Груз поступает партиями в 250 тонн и в этом количестве хранится в соответствующих секциях, нагрузка на склад – 1 т/м2. Эксплуатационные расходы по содержанию складской площади – 10 руб./м2 – год; убытки от отказа склада в приемке груза на хранение – 200 руб./сут.

Определить оптимальную величину складской площади при стохастическом потоке грузов, поступающих на склад.

63

Глава 6. МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ВЛОГИСТИКЕ

Влогистике имеется ряд ситуаций, которые описываются моделями линейного программирования. Эти ситуации формулируются в виде задач.

Ктаким задачам в логистике относятся:

транспортная задача;

задача на раскрой материалов;

задача размещения баз снабжения;

задача по оптимизации ассортиментной загрузки производства.

6.1. Транспортная задача

Наиболее распространенной является транспортная задача линейного программирования. Эта задача формируется следующим образом:

товары, сосредоточенные в m пунктах отправления в количествах а1, а2, …, аm, необходимо доставить в каждый из n пунктов назначения в количествах b1, b2, …, bn. Стоимость перевозки товара из i пункта отправления в j пункт назначения равна сij. Следует определить оптимальный план развозки, т. е. найти хij для этого оптимального плана.

В общем виде модель линейного программирования состоит из целевой функции и ограничений (условий). Для транспортной задачи целевая функция имеет следующий вид:

m n

LCij Xij min . i 1 j 1

Целевая функция предусматривает минимизацию перевозки всех товаров из пункта i в пункт j.

Ограничения:

Ограничения показывают, что все имеющиеся товары, сосредоточенные во всех i-х пунктах отправления, должны быть полностью доставлены в требуемых количествах в пункты потребления j.

Сущность транспортной задачи иллюстрируется следующим примером (числа условные):

Имеются следующие количества товаров, находящихся в трех пунктах отправления: а1 = 6, а2 = 8, а3 = 10, потребность в этих товарах в следующих четырех пунктах назначения b1 = 4, b2 = 6, b3 = 8, b4 = 6.

Стоимость перевозок из пункта i в пункт j единицы товара представлена в табл. 6.1.

64

Для решения транспортной задачи предварительно составляется исходный план перевозки по правилу «Северо-западного угла» (табл. 6.2).

Далее определяется стоимость перевозки по исходному плану: 4 · 4 = 16; 2 · 2 = 4; 4 · 3 = 12; 4 · 2 = 8; 4 · 2 = 8; 6 · 1 = 6.

Итого: 54.

Исходный план с помощью специальных алгоритмов улучшается до оптимального, т. е. когда стоимость перевозки будет минимальна. С этой целью используются такие алгоритмы, как симплекс-метод, метод потенциалов и др.

Используя указанные алгоритмы, получаем оптимальный план развозки продукции (табл. 6.3).

65

Определяется стоимость перевозки по оптимальному плану: 4 · 1 = 4; 6 · 2 = 12; 2 · 2 = 4; 6 · 1 = 6; 6 · 2 = 12.

Итого: 38.

Алгоритмы решения задач линейного программирования предусматривают перебор возможных вариантов, ориентируясь на целевую функцию и ограничения. Стоимость перевозки по оптимальному варианту – 38 стоимостных единиц, экономия составила 16 стоимостных единиц или

29,6%.

Вреальных условиях транспортная задача линейного программирования применяется в сетевой торговле при развозке товаров с распределительных центров каждому магазину сети, в соответствии с потребностями каждого магазина.

Вусловиях рыночной экономики, когда действует рынок транспортных услуг, грузоотправители выбирают себе подходящего перевозчика согласно своим критериям оптимальности по Парето и независимо друг от друга. Однако за определенный период времени (например, за год) суммарный объем транспортной работы для совокупности грузоотправителей

игрузополучателей установится на оптимальном уровне согласно модели транспортной задачи линейного программирования

6.2. Раскройная задача линейного программирования

При раскрое материалов образуется два вида отходов:

1)концевые отходы, обусловленные некратностью исходного материала и нарезаемых заготовок;

2)отходы, обусловленные требованиями комплектности.

Целевая функция:

n

L Cj xj min.

j 1

Целевая функция предусматривает минимум отходов, при соблюдении требований комплектности, отсюда

Ограничения:

n

Кijxj a1, j 1

66

где виды заготовок по размерам:

1, 2, …. j … n – варианты раскроя материала; 1, 2, …. i … m – виды заготовок;

аi – количество заготовок в комплекте;

кij – количество заготовок i вида в варианте раскроя j; сj – концевые отходы в варианте раскроя j.

Требуется определить хj, количество исходного материала (прутков, листов), раскраиваемых по каждому варианту, которое удовлетворяет требованию комплектности и обеспечивает минимум отходов.

Для решения задачи предварительно составляется таблица возможных вариантов раскроя, абстрагируясь на этом этапе от требований комплектности.

Пример: Требуется изготовить 100 комплектов заготовок длиной 1,5 м; 2,1 м; 2,9 м. Из прутков металлопроката длиной 7,4 м.

Простейший способ раскроя – изготовления из каждого прутка по комплекту: 7,4 = 1,5 + 2,1 + 2,9 + 0,9, где 0,9 – концевые отходы.

Для решения данной задачи методом линейного программирования предварительно составляется таблица возможных вариантов раскроя

(табл. 6.4).

Целевая функция: L = 0х1 + 0,1х2 + 0,2х3 … = min

Ограничения:

3х1 + 1х2 + 2х3 + 0х4 + 3х5 + 1х6 = 100 0х1 + 0х2 + 2х3 + 2х4 + 1х5 + 1х6 = 100 1х1 + 2х2 + 0х3 + 1х4 + 0х5 + 1х6 = 100

Для решения раскройной задачи используются либо общие методы (общие алгоритмы), либо специальные алгоритмы решения раскройной задачи. В настоящее время непосредственно решение задач линейного программирования осуществляется с помощью компьютерных технологий. В результате решения данной задачи получаем:

67

х1 = 30, х2 = 10, х4 = 50.

Полученный результат означает, что по первому варианту следует раскроить 30 исходных прутков, по второму – 10, по четвертому – 50. Итого для данного раскроя требуется 90 исходных прутков.

Согласно полученным результатам имеем:

Таким образом, алгоритм решения задачи предусматривает перебор возможных вариантов раскроя, ориентируясь на целевую функцию и требования комплектности.

При простом раскрое необходимо иметь 100 исходных прутков при этом отходы составят 90 метров, т. е. 13,8%. При оптимальном раскрое потребуется 90 исходных прутков, а отходы составят 16 метров, т. е. 2,5%.

В некоторых случаях, например при массовом производстве комплектность задается в виде соотношения по каждому виду заготовок. Например, в данной задаче имеет место отношение 1 : 1 : 1.

6.3. Размещение баз оптово-торговых предприятий

Рассматриваемая модель предусматривает минимизацию суммарных затрат на доставку продукции от проектируемых баз снабжения до существующих предприятий-потребителей и затрат на эксплуатацию указанных баз.

Целевая функция:

L Cij xij f (xi ) min.

i 1 j 1 i 1

Ограничения:

где 1, 2, …. i … m – возможные пункты размещения баз;

1, 2, …. j … n – существующие пункты расположения потребителей; Сij – стоимость перевозки единицы продукции от i-й базы до j-го потре-

бителя;

bj – годовой объем потребления j-го потребителя; хij – объем поставок с i-ой базы j-му потребителю;

f(х) – затраты на эксплуатацию базы как функция от мощности базы хi.

68

Упражнения для самоконтроля:

1. Дано:

- ресурсы поставщиков, ед.: 120 110 70

Итого: 300 ед.

- потребности потребителей, ед.: 50 60 90 100

Итого: 300 ед.

- стоимость перевозки единицы груза из пункта i в пункт j (Сij):

Определить оптимальный план перевозки грузов.

2. Дано:

- ресурсы поставщиков, ед.: 300 300 400

Итого: 1000 ед.

- потребности потребителей, ед.: 50 150 500 300

Итого: 1000 ед.

- стоимость перевозки единицы груза из пункта i в пункт j (Сij):

Определить оптимальный план перевозки грузов.

69

3. Дано:

- ресурсы поставщиков, ед.: 1200 800 2000

Итого: 4000 ед.

- потребности потребителей, ед.: 320 280 600 1300 1000 500

Итого: 4000 ед.

- стоимость перевозки единицы груза из пункта i в пункт j (Сij):

Определить оптимальный план перевозки грузов.

4. Дано:

- ресурсы поставщиков, ед.: 1300 700 1000

Итого: 3000 ед.

- потребности потребителей, ед.: 300 400 800 500 300 700

Итого: 3000 ед.

- стоимость перевозки единицы груза из пункта i в пункт j (Сij):

Определить оптимальный план перевозки грузов.

70

В следующих упражнениях (5-8) требуется выполнить раскрой исходного материала на заготовки (по длинам) в указанном количестве – комплектности.

5. Дано:

-длина исходного материала: 4,5 м;

-заготовки икомплектность:0,8 м– 200шт.,1,2м –200 шт., 1,8 м– 300шт., Определить оптимальный план раскроя исходного материала.

6. Дано:

-длина исходного материала: 3,4 м;

-заготовки и комплектность: 0,8 м – 200 шт.,

1,5 м – 200 шт.,

1,8 м – 300 шт.,

Определить оптимальный план раскроя исходного материала.

7. Дано:

-длина исходного материала: 130 см;

-заготовки и комплектность: 40 см – 400 шт.,

50 см – 200 шт.,

70 см – 100 шт.,

Определить оптимальный план раскроя исходного материала.

8. Дано:

-длина исходного материала: 130 см;

-заготовки и комплектность: 40 см – 100 шт.,

50 см – 200 шт.,

70 см – 300 шт.,

Определить оптимальный план раскроя исходного материала.

Глава 7. МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ В ЛОГИСТИКЕ

Важное место в номенклатуре материальных ресурсов занимают запасные части, а также материалы для ремонтно-эксплуатационных нужд. Значение запасных частей в обеспечении ритмичной и эффективной работы оборудования всех отраслей хозяйства общеизвестно. Отсюда следует, насколько важна и ответственна работа по определению необходимого количества запасных частей.

Наличие необходимого комплекта запасных частей – существенный фактор надежности. В общем виде необходимое количество запасных частей определяется надежностью оборудования.