логистика / 0555951_78386_plotkin_b_k_delyukin_l_a_ekonomiko_matematicheskie_metody_i

51

По итогам табл. 4.4 составляется система нормальных уравнений:

5ао +29а1 = 26

29ао +243а1 = 96.

Решение данной системы дает результат:

ао = 7,5 а1 = - 0,4,

отсюда получаем зависимость уровня издержек (у) от величины товарооборота (х):

у = 7,5 – 0,4х.

В корреляционно-регрессионном анализе уравнение регрессии целесообразно вычислять через коэффициент корреляции. Получаемое таким образом уравнение регрессии идентично уравнению, параметры которого определяются по методу «наименьших квадратов» с помощью нормальных уравнений.

Уравнение регрессии для величин, связанных прямой линейной зависимостью, определяется по следующей формуле:

уу r y (x x),

x

где σх и σу – соответственно среднеквадратические отклонения величин х и у, т.е.

где n – количество данных в исследуемом статистическом ряду.

увеличение одной величины х, увеличивается и зависимая от нее величина у и, наоборот, при отрицательном значении r с увеличением величины х, величина у уменьшается. Соответственно положительные и отрицательные коэффициенты могут принимать и коэффициенты регрессии.

В логистике корреляционно-регрессионному анализу подвергается совокупность пар величин, например:

х – доля производственных услуг при поставках продукции, у – общие издержки потребителя.

х – расходы на рекламу в процентах от общих издержек, у – объем продаж (млн. руб./мес.).

х – товарный запас (тыс. руб.), у – объем продаж (тыс. руб./день.).

52

х– надежность снабжения (поставок), у – величина производственного запаса.

х– доля поставок точно в срок (% от объема поставок), у – величина производственного запаса (млн руб.).

х– надежность снабжения (поставок), 0 R 1,

у – величина производственного запаса (млн руб.).

Возможны и другие варианты логистических величин для расчета парной корреляции и регрессии.

В логистике также применяется многофакторный корреляционнорегрессионный анализ. Например:

Исходные данные: у – издержки обращения;

х1 – среднее расстояние перемещения продукции, км; х2 – уровень механизации перегрузочных и складских работ, %%; х3 – доля складских поставок, %%; х4 – объем производственных услуг, тыс. руб.

Фактические данные перечисленных величин представлены в табл. 4.5.

После соответствующих вычислений получаем уравнение множественной регрессии:

у= 0,0088х1 + 0,589х2 – 0,274х3 + 0,386х4-6,441

Корреляционно-регрессионный анализ требует большой вычислительной работы. Поэтому математико-статистические расчеты осуществляются по специальным программам с помощью компьютерных технологий.

Результаты корреляционно-регрессионного анализа в логистике служат действенным инструментом планирования и прогнозирования производственно-коммерческой деятельности.

53

Упражнения для самоконтроля:

Выполнить корреляционно-регрессионный анализ по следующим данным:

54

Глава 5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В ЛОГИСТИКЕ

Теория массового обслуживания – это раздел математики, изучающий системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований (заявок) случайного характера. Все логистические системы функционируют как системы массового обслуживания.

Одним из определений логистической системы является следующее: логистическая система – это субъект интегрированного рынка, через который проходят экономические потоки, а также предприятия, обеспечивающие прохождение этого потока. В общем виде в состав экономического потока входят следующие потоки:

материальные (товарные);

финансовые;

информационный.

Влогистике теория массового обслуживания, как правило, исследует и определяет количественные параметры материального потока. Таким образом, логистическая система, а также система массового обслуживания, имеет «вход» и «выход», а также обладает внутренним состоянием.

Система имеет в своем составе аппараты или каналы обслуживания. Основополагающее значение в теории массового обслуживания имеют понятия потока. В логистике в основном рассматривается простейший или пуассоновский поток заявок. Этот поток обладает следующими признаками:

1. Стационарность – вероятность появления того или иного числа заявок на отрезке времени t зависит только от длины этого отрезка и не зависит от того, где именно располагается этот участок на оси времени;

2. Ординарность – в каждый момент времени в систему приходит только одна заявка;

3. Отсутствие последействия – все заявки приходят в систему независимо друг от друга.

Рассматриваемый поток называют «пуассоновским», так как количество заявок m, приходящееся на отрезок времени t, распределено по закону Пуассона:

Рт(t) ( t)m e t , m!

где λ – плотность потока заявок, т. е. количество заявок в единицу времени. Общая схема системы массового обслуживания представлена на

рис. 5.1.

55

Система массового обслуживания

Рис. 5.1. Схема системы массового обслуживания

Обозначения на схеме (рис. 5.1.):

λ– плотность входного потока (количество заявок в единицу времени), т. е.

N ,

T

где Ν – количество заявок, пришедшее в систему за время Т;

μ– плотность выходного потока, т. е.

1, t

где t – среднее время обслуживания одной заявки.

Плотность выходного потока μ есть величина, обратная среднему времени обслуживания одной заявки. Плотность входного потока - величина постоянная λ = const. Постоянство плотности входного потока выражает стационарный характер простейшего потока системы массового обслуживания.

Внутреннее состояние систем – это вероятности того, что занято то или иное количество каналов обслуживания. Состояние системы обслуживания с отказами описывается формулой Эрланга следующего вида:

где Рк – вероятности состояния системы (0 к п), т.е.

Р0 – вероятность того, что все каналы обслуживания свободны; Р1 – вероятность того, что занят 1 канал обслуживания; Р2 – вероятность того, что занято 2 канала обслуживания;

……………………………………………………….

Рк – вероятность того, что занято k каналов обслуживания;

………………………………………………………..

Рn – вероятность того, что заняты все n каналов обслуживания или вероятность отказа в обслуживании.

57

Поток заявок – машины, прибывающие на склад за грузом;

Обслуживание – погрузка автомашины.

Поток заявок принимается простейшим (пуассоновским), тогда:

24 2

12– автомашины/час;

1 2

склад прибудут 0, 1, 2, 3, … и т. д. автомашин. Исходные данные: λ = 2,

t = 1,

m = 0, 1, 2, 3, 4…

Результаты расчета по формуле Пуассона представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Как показывают данные табл. 5.1, наиболее вероятен приход на склад 1 и 2 заявок в течение одного часа, высока вероятность прихода 3 заявок, а вероятность прибытия на склад в течение одного часа 4 и более автомашин весьма низка; довольно часто вообще отсутствие заявок в течение одного часа.

2. По формуле Эрланга определяются вероятности состояния системы, т. е. склада. Результаты расчета представлены в табл. 5.2.

Как показывают данные табл. 5.2, вероятность того, что все площадки свободны, является относительно высокой – 37 %, такую же вероятность имеет занятость одной площадки, вероятность занятости двух площадок – 18%, вероятность занятости трех площадок относительно не велика – 6 % и, примерно, 1% – вероятность образования очереди.

60

Согласно данным табл. 5.4, при n = 13 полезная складская площадь в 5915 м2 является оптимальной, в этом случае суммарные издержки на содержание резервной складской площади и от убытков в приеме груза будут минимальными.

Вероятности состояния систем обслуживания с очередями определяются следующей формулой:

1 к Рк к! , (1)

А

где к изменяется от 0 до n, при к = 0 получаем вероятность того, что все аппараты обслуживания свободны, а при к = n – вероятность того, что все аппараты обслуживания заняты.

Вероятность застать все аппараты обслуживания занятыми и S заявок, стоящих в очереди равны:

Среднее число заявок в свою очередь, определяется формулой:

A

В формулах (1), (2) и (3) через А обозначено следующее выражение: