логистика / 0555951_78386_plotkin_b_k_delyukin_l_a_ekonomiko_matematicheskie_metody_i

41

5)вид экспоненциального закона:

у0,041 е 0,041х .

Таблица 3.3

Расчет средней реализации и среднеквадратического отклонения

Далее следует установить интервалы значений и вычислить фактические частоты двумя способами:

а) через нормальное распределение (табл. 3.4, рис. 3.4)

Таблица 3.4

43

На основании полученного выражения для экспоненциального закона определяются его теоретические значения (табл. 3.6)

Таблица 3.6

Построение теоретического распределения реализации продукции по экспоненциальному закону

Примечание: для определения теоретических частот (строка 5) значение суммы 0,038 (строка 4) принимается за единицу.

Вероятности по гипотезе нормального закона для каждого интервала определяются с помощью функции Лапласа:

Тогда:

P(a x b) [Ф( ) Ф( )].

Функция Лапласа табулирована и при вычислении вероятностей конкретных значений интервалов используются ее табличные значения.

Для того чтобы проверить, насколько соответствует теоретическое распределение фактическому, необходимо использовать критерий согласия. Рассчитаем значение χ 2 для экспоненциального и нормального распределений. Значение χ2, которое будет меньше, говорит о более высоком уровне соответствия данного теоретического распределения фактическо-

му (табл. 3.7).

44

Таблица 3.7

Расчеты экспоненциального распределения

Х 2 (nф nт)2 3,21 4,65 7,86. nт

Расчеты для нормального распределения:

а) рассчитываются вероятности для каждого из интервалов (с помощью табличных значений функции Лапласа):

б) рассчитываются nт для каждого интервала:

1)0,12 · 30 = 3,6;

2)0,20 · 30 = 6,0;

3)0,41 · 30 = 12,3;

4)0,19 · 30 = 5,7;

5)0,08 · 30 = 2,4;

6)0,02 · 30 = 0,6.

45

(пф пт)2

(1 0,6)2 6) 2,4 0,26.

Отсюда значение χ2:

Х2 (nф nт)2 1,6 0,67 1,5 1,28 0,15 0,26 5,46. nт

При вычислении значения χ2 в качестве фактических частот (пф) принято количество случаев (табл. 3.4, строка 1).

Производится сравнение полученных результатов:

1)Х2 = 7,86 – при экспоненциальном распределении;

2)Х2 = 5,46 – при нормальном распределении; 5,46 < 7,86 – следовательно, теоретическое нормальное распределе-

ние в большей степени соответствует фактическому, чем экспоненциальное.

В общем случае ряд логистических процессов, а именно: продажи, отгрузка продукции с оптово-торговых предприятий, движение запасов, оказание услуг при поставках продукции, расходование материальных ресурсов и т.п. описывается нормальным законом распределения вероятностей. Отличительным признаком такого распределения является наличие выраженной симметрии случайных величин относительно их среднего значения. Для указанных процессов нормальный закон применим для всей продукции, определенных ассортиментных групп или отдельных наименований товаров.

При АВС – анализе структуры логистических процессов, получаемые характеристики в стоимостном или натуральном выражениях подчинены экспоненциальному распределению.

46

Тот факт, что реализация продукции соответствует нормальному закону, имеет важное значение для логистики, поскольку позволяет определять величину товарного запаса, для чего рекомендуется следующая формула:

V G 3 ,

где V – необходимая величина товарного запаса на определенный период;

G– средняя реализация в единицу времени (день, неделя, месяц);

– среднеквадратическое отклонение.

Для рассматриваемого примера товарный запас равен: V = 24,1 + 3·14,9 = 68,8 тыс. руб.

Данная модель показывает, что любое требование покупателя на то или иное количество товара должно быть удовлетворено с вероятностью близкой к 1. В этой модели используется правило «трех сигм»: в нормальном законе 3σ соответствует вероятности 0,99.

В современных условиях компьютерные технологии позволяют отслеживать в текущем режиме времени среднюю реализацию и среднеквадратические отклонения и, соответственно, корректировать величину товарного запаса.

Предоставленная модель определения товарного запаса может быть использована как для розничной, так и для оптовой торговли.

Упражнения для самоконтроля:

1. Дано:

Сведения о реализации продукции (табл. 3.8).

Таблица 3.8

Определить:

а) вычислить параметры закона распределения вероятностей; б) построить график закона распределения вероятностей.

2. Дано:

- время погрузки одной автомашины, час-мин:

2-40, 1-25, 1-10, 1-45, 0-30, 0-35, 0-35, 0-40, 0-40, 1-45, 1-20, 0-56, 0-50, 0- 45, 0-40, 0-40, 4-10, 3-10, 3-15, 3-25.

Сгруппировать ряд времени погрузки автомашин, вычислить параметры Закона распределения вероятностей, построить график.

47

3. Дано:

-база снабжает 10 магазинов, вероятность поступления заявки от одного магазина – 0,4.

Определить:

-наивероятнейшее число заявок;

-вероятность поступления наивероятнейшего числа заявок;

-вероятность поступления заявок от 5 магазинов.

4. Дано:

-время работы базы с 800 до 2000 ежедневно;

-ежедневное поступление заявок – 36 автомашин.

Определить вероятности поступления на базу в течение одного часа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 автомашин.

5. Дано:

- среднее число заявок, поступающих в систему в течение одного часа – 5. Вычислить распределение вероятностей поступления в систему в те-

чение одного часа от 0 до 10 заявок, построить график.

Глава 4. МЕТОДЫ И МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В ЛОГИСТИКЕ

Методы математической статистики позволяют выявлять характер действия факторов – причин на следствия. Эти методы дают возможность по одним величинам вычислять другие, недоступные или малодоступные.

Методы математической статистики позволяют предвидеть течение и развитие логистических процессов. При помощи методов математической статистики решаются такие вопросы, как построение кривых распределения вероятностей и оценка степени согласия фактических характеристик с теоретическими, позволяют определять эмпирические зависимости, оценивать тесноту связи между изучаемыми величинами.

В логистике наиболее часто применяется корреляционнорегрессионный анализ, с помощью которого выявляются качественные и количественные влияния различных факторов на показатели логистической деятельности.

Этот анализ позволяет измерять тесноту связи между величинами и строить теоретические зависимости влияния одной величины на другую, т. е. уравнения регрессии. Вычисленное уравнение товарооборота на издержки есть не что иное, как уравнение регрессии.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется коэффициентом корреляции r, а теснота связи при нелинейной зависимости измеряется корреляционным отношением h. Для нужд логистики целесообразно

49

Другой составляющей корреляционно-регрессионного анализа является определение уравнения, связывающего исследуемые величины, т. е. установление вида уравнения регрессии. С этой целью в математической статистике используется метод «наименьших квадратов». Согласно этому методу, сумма квадратов отклонений фактических данных от теоретических значений соответствующих величин, полученных по уравнению регрессии, должна быть наименьшей.

Сущность метода «наименьших квадратов» иллюстрируется графи-

ком (рис. 4.2).

у

уi

i

~уi

у1 ~у2

2

~у1

х

Рис. 4.2. График метода «наименьших квадратов»

На графике фактическое значение величины обозначено yi , а теоре-

тическое значение, полученное из уравнения регрессии - ~yi . Отсюда раз-

ность отклонений (yi ~yi ). Уравнение регрессии должно удовлетворять условию:

2 (yi ~yi)2 min.

50

Для использования метода «наименьших квадратов» решаются системы нормальных уравнений.

Для линейной зависимости у = а0 + ах система нормальных уравнений имеет вид:

a0n a1 x y

a0 x a1 x2 xy,

nb a nx yn b nx a xn2 ,

При вычислении параметров уравнения регрессии исходными данными являются попарно упорядоченные фактические значения исследуемых величин х и у. В нормальных уравнениях неизвестными являются параметры ао и а1.

Пример: Имеются данные о товарообороте торгового предприятия за определенный период в млн руб. и соответствующих издержках обращения (табл. 4.3).

Подготовка данных для составления системы нормальных уравнений ведется в табличной форме (табл. 4.4).