логистика / 0807155_B5569_tihomirova_a_n_sidorenko_e_v_matematicheskie_modeli_i_metody

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задача о переналадках. На химическом комбинате в одной из установок производится 8 типов реагентов. Ежемесячно необходимо выпускать и отправлять потребителям по определенному количеству каждого реагента. Учитывая их срок хранения и график реализации, запасаться реагентами впрок нельзя. К сожалению, не все реагенты можно производить друг за другом без капитальной очистки установки. Определить, существует ли циклическая последовательность производства, не требующая очистки установки. Очистка не требуется в следующих случаях (A→B С означает, что после А можно производить реагент В или С, A ↔ B означает, что после А можно производить В и наоборот):

1→4 6 8; 2→1 3 6; 3→2 5; 4→2 5; 5→4 7; 6→3 5; 7→1 | 8; 8→ 1 | 7.

2.3.5. Транспортная задача

Расширением задачи обслуживания является более реалистичная постановка, когда помимо N потребителей продукции существует и несколько ее производителей, с неодинаковым в общем случае количеством выпускаемой продукции. Естественно, что стоимость доставки продукции неодинакова для различных пар «производитель-потребитель». Если при этом предположить, что эти производители входят в одну компанию (холдинг), то сразу встает вопрос о минимизации суммарных расходов на транспортировку при условии обеспечения всех потребителей нужным количеством товара.

Будем считать, что компания производителей выпускает ровно столько продукции, сколько требуется всем N потребителям. Такая задача обычно называется транспортной.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Имеются M поставщиков одного товара, которые производят a[1],...,a[i],...,a[M] единиц, и N потребителей, которым нужно

295

b[1],...,b[j],...,b[N] единиц этого товара. Пусть производство и

стоимости c[i,j]>0 перевозок единицы товара от i-го производителя к j-му потребителю. Считается, что перевозка k единиц товара в k раз дороже, чем перевозка единицы. Найти, сколько товара каждый производитель должен направлять каждому потребителю, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной.

НЕОБХОДИМЫЕ УТОЧНЕНИЯ

Это – весьма реалистическая постановка задачи. Единственная натяжка - линейная зависимость цены перевозки от ее величины. Ну, скажем, если производители – это пекарни, а потребители – булочные, то нелепо утверждать, что перевозка одной булки в два раза дешевле, чем перевозка двух булок. Однако, если считать товар не в булках, а в грузовиках, то линейность становится вполне реалистическим предположением.

Вообще говоря, это типичная задача линейного программирования, когда дан функционал который необходимо минимизировать или максимизировать при заданных линейных ограничениях. В терминах линейного программирования транспортная задача ставится так: найти такие перевозки x[i, j]>0, чтобы минимизировать общую стоимость

N

∑x[i, j] =b[ j] (каждый потребитель получит по потребности).

j=1

Эта задача может быть решена стандартными методами, например симплекс-методом, но в результате вполне могут получиться не целые значения x[i, j]. Однако, очевидно, что

296

применение в логистических задачах о доставке таких методов не может быть оправдано, хотя бы потому, что везти полгрузовика продукции вовсе не в два раза дешевле, чем полный грузовик. Такиом образом, оптимальное математическое решение задачи не будет соответствовать оптимальной практической реализации. Итак, явно необходимо ограничение на целочисленность результата.

Для этого применим специальный алгоритм решения транспортной задачи, в котором не будет делений, так что, если входные данные a, b, c – целочисленные, то и ответ x будет целочисленным.

ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА

Необходимая теоретическая информация

Рассмотрим квадратную решетку, образованную M горизонтальными прутьями и N вертикальными прутьями. Некоторые узлы решетки помечены крестами. Цепью между крестами называется ломаная, такая что:

•все ее звенья горизонтальны или вертикальны;

•все узлы излома – в точках, помеченных крестами.

Циклом называется замкнутая цепь. Нас будет интересовать, каково максимальное количество крестов, которые можно разместить на решетке, чтобы через них нельзя было провести цикл.

На рис. 2.59, а приведен пример цикла, а на рис. 2.59, б – пример цепи.

Рис.2.59. Пример цикла и цепи на квадратной решетке

297

Утверждение 1: Максимальное число крестов, которое можно расположить в N:M-решетке, равно M+N-1. В качестве примера можно привести расположение M крестов вдоль левого прутка и N крестов вдоль нижнего: всего M+N-1, так как угловой крест засчитан дважды. Как видно на рис. 2.60, цикла в этом случае не получается.

х

х

х

х х х х х х

Рис.2.60. Размещение M+N-1 крестов на N:M-решетке

Теперь вернемся к транспортной задаче. Ее условия можно представить в виде табл.2.48.

Таблица 2.48. Внесение перевозок в таблицу

298

Строки соответствуют поставщикам, столбцы – потребителям, таким образом имеется M×N клеток, в верхней части каждой клетки указана цена перевозки, а процесс решения представляет собой заполнение нижних частей клеток положительными числами x[i,j]. Представим, что узлы рассмотренной ранее решетки стоят в центре каждой клетки, а положительные перевозки x[i,j]>0 играют роль крестов, так что наборы перевозок в таблице могут быть циклическими (кресты образовывают цикл) и нециклическими.

Утверждение 2: Оптимальное решение достигается на нециклических наборах.

Основная идея Выбрать некоторую начальную перевозку,

соответствующую максимальному ациклическому набору загруженных клеток, посчитать значение функционала. Затем среди оставшихся незагруженных клеток выбрать еще одну, получив цикл, после чего удалить из цикла одну из ранее выбранных перевозок, стремясь таким образом уменьшить значение функционала.

Возможные сложности 1.Выбор начальной перевозки.

2.Выбор новой перевозки для получения цикла.

3.Определение того, какую из имеющихся перевозок убирать для получения ациклического набора.

4.Выявление момента, когда пора прекращать процесс уменьшения функционала.

Способы преодоления

1.Выбор начальной перевозки.

Для инициализации проставляем перевозки жадным

алгоритмом по строкам. Принцип следующий: ищем j-го потребителя, к которому i-му поставщику дешевле всего везти продукцию (т.е. Minj c[i,j]). Полностью удовлетворяем его

299

потребность (записываем в нижней левой части клетки b[j]). Далее ищем следующего и т.д. до тех пор, пока полностью потребность удовлетворить уже не удастся, потому как закончится ресурс i-го поставщика. Тогда отдаем этому потребителю все, что есть. Важное дополнение: если при заполнении строки в какой-то клетке ставится перевозка, причем одновременно исчерпывается мощность поставщика и потребность покупателя, то жадный алгоритм продолжает работать, ставя фиктивную перевозку 0 в самую дешевую незанятую клетку. Это добавочное правило не относится к заполнению последней строки.

В ходе инициализации построен набор из N+M-1 загруженных клеток (включая фиктивные, загруженные нулем), причем этот набор – ациклический.

2.Выбор новой перевозки с целью получения циклического набора.

Для осуществления выбора служат флаги, которые

приписываются каждой строчке: u[1],...,u[M], и каждому столбцу: v[1],...,v[N]. Они считаются следующим образом: изначально назначается u[1]=0. Найдем в этой строке загруженные клетки и подпишем под столбцом для каждой из этих клеток числа v, такие, что для загруженной клетки (i,j) выполняется условие u[i] + v[j] = c[i,j]. Теперь, зная v[j], найдем в столбце j еще одну загруженную клетку (k,j) с c[k,j] и посчитаем u[k]=c[k,j]- v[j]. Далее, через загруженные клетки типа c[k,l] посчитаем v[l], так до тех пор, пока не посчитаем все u[i] и v[j]. Использование данного алгоритма всегда приводит к однозначному нахождению всех значений u[i] и v[j], что вполне очевидно вытекает из ацикличности имеющегося набора.

Теперь будем выбирать клетку (i, j), для которой u[i]+v[j]>c[i,j]. Это будет незагруженная клетка, потому что для всех загруженных, по построению, u[i]+v[j]=c[i,j]. Теперь, вместе с остальными загруженными клетками, весь набор образует цикл и, как легко видеть, только один. Величину p[i,j]=u[i]+v[j]-c[i,j] называют потенциалом клетки. Опыт расчетов показывает, что итераций часто бывает меньше, если выбирать новую клетку не просто, чтобы p[i,j] было положительным, а так, чтобы p[i,j] был максимальным.

300