логистика / 0807155_B5569_tihomirova_a_n_sidorenko_e_v_matematicheskie_modeli_i_metody

№4: 1 2 3 6 4 5

№5: 1 2 3 6 5 4 делаем замену 1 2 4 6 5 3 и после сортировки получим:

№5: 1 2 4 3 5 6

№6: 1 2 4 3 6 5 делаем замену 1 2 4 5 6 3 и после сортировки получим:

№7: 1 2 4 5 3 6 №8: 1 2 4 5 6 3

и т.д. в ходе перебора получим лучший результат для подстановки

1 2 6 5 4 3 с весом 36.

Вывод: best_res = 36;

best_p[i]= {1,2,6,5,4,3}.

Итак, как осуществлять перебор, ясно. Интуитивно также понятно, что если в матрице весов дуг (расстояний) есть явно большой по сравнению с прочими элемент, допустим c[i,j], то рассматривать маршрут коммивояжера, который включает в себя поездку из i-го города в j-й, явно неразумно. При обращении к полному перебору очевидно, что даже за счет исключения одного такого элемента можно избежать рассмотрения (N-2)! циклов, содержащих комбинацию (i, j). Развивая эту идею дальше, многие исследователи приходили к идеям разделения перебираемых подстановок на группы и отсечения не единичных неперспективных вариантов, а целых подгрупп. Основанные на этой логике методы получили общее название «методы ветвей и границ» и отличаются критериями, по которым подстановки делятся на группы, и признаками, по которым группа признается неперспективной. Рассмотрим версию Литтла, первым использовавшим подобные идеи для решения задачи коммивояжера.

Алгоритм 4. Метод ветвей и границ Литтла

Основная идея Разделить огромное число перебираемых вариантов на

классы и получить оценки (снизу – в задаче минимизации, сверху –

281

в задаче максимизации) для этих классов, чтобы иметь возможность отбрасывать варианты не по одному, а целыми классами.

Возможные сложности Трудность состоит в том, чтобы найти такое разделение на

классы (ветви) и такие оценки (границы), чтобы процедура была эффективной.

Способы преодоления

В принципе можно трактовать c[i,j] как стоимость проезда из города i в город j. Допустим, что добрый мэр города j издал указ выплачивать каждому въехавшему в город коммивояжеру 100 рублей. Это означает, что любой тур подешевеет на 100 рублей, поскольку в любом туре нужно въехать в город j. Но поскольку все туры равномерно подешевели, то прежний минимальный тур будет и теперь стоить меньше всех (на те же 100 рублей). Добрый же поступок мэра можно представить как уменьшение всех чисел j-го столбца матрицы C на 100. Если бы мэр хотел спровадить коммивояжеров из j-го города и установил награду за выезд в размере 500 рублей, это можно было бы выразить вычитанием 500 из всех элементов j-й строки. Это снова изменило бы стоимость тура, но минимальный тур остался бы минимальным. Таким образом, вполне логичным представляется следующее утверждение.

Утверждение 3. Вычитание любой константы из всех элементов любой строки или столбца матрицы C не изменяет минимального тура.

Отсюда рождается идея получить побольше нулей в матрице C, не получая там, однако, отрицательных чисел.

Для этого необходимо вычесть из каждой строки ее минимальный элемент (это называется приведением по строкам), а затем из каждого столбца матрицы, приведенной по строкам, его минимальный элемент, получив матрицу, приведенную по столбцам. Теперь надо выбрать такие N элементов в матрице С,

282

чтобы каждый столбец содержал ровно один элемент из выбранных (в каждый город коммивояжер въехал один раз), и каждая строка содержала ровно один элемент (из каждого города коммивояжер выехал один раз), и, кроме того, элементы описывали один тур, а не несколько независимых циклов. Если удастся выбирать только элементы, равные в приведенной матрице нулям, мы точно получим минимальный тур, так как для этой (приведенной) матрицы его вес будет равен нулю. Этот же тур будет минимальным и для исходной матрицы, причем его стоимость (вес) будет равна сумме констант приведения по строкам плюс сумма констант приведения по столбцам. Если нулевой тур в приведенной матрице построить не удастся, то, по крайней мере, мы будем иметь оценку снизу для всех туров, равную сумме всех констант приведения, пусть это Cost_Min.

Теперь надо разделить все возможные варианты на классы. Для этого производится так называемая «оценка нулей». Рассмотрим нуль в клетке (i,j) приведенной матрицы. Он означает, что стоимость перехода из города i в город j равна 0. Ну, а если не идти из города i в город j? Тогда все равно нужно войти в город j из другого города, причем стоимость этого процесса указана в j-м столбце и варьируется в зависимости от того, из какого города в него входить. Допустим, дешевле всего войти из города k1 за x рублей. Далее, все равно надо будет выехать из города i, причем стоимость этого процесса указана во i-й строке и варьируется в зависимости от того, в какой город идти из i-го. Допустим, дешевле всего идти в город k2 за y рублей. Суммируя эти два минимума (x+y=z), имеем стоимость удорожания тура, если не ехать «по нулю» из города i в город j. Это и есть оценка нуля. Далее выбираем максимальную из этих оценок. Пусть это оценка нуля, находящегося в клетке [l, m]. Со смысловой точки зрения ребро [l, m] самое (или одно из самых) желательное для включения в тур, потому как его замена на альтернативные пути входа в город m и выхода из города l обойдется дороже всего.

Итак, выбрано нулевое ребро [l, m] c оценкой zlm. Разобьем все туры на два класса – включающие ребро [l, m] и не включающее ребро [l, m]. Про второй класс можно сказать, что придется приплатить еще минимум z, так что туры этого класса

283

"стоят" Cost_Min+zlm или больше. Что касается первого класса, то в нем надо рассмотреть приведенную матрицу с вычеркнутой l-й строкой и m-м столбцом. Дополнительно в уменьшенной матрице следует поставить запрет в клетке [m, l], ибо выбрано ребро [l, m], и замыкать преждевременно тур ребром [m, l] нельзя. Уменьшенную матрицу (назовем ее Сlm) вероятно можно привести по строкам и (или) по столбцам суммарно на величину zlm*, так что каждый тур, ей отвечающий, стоит не меньше Cost_Min+zlm*.

Схематичное представление результатов ветвлений и получения оценок показано на рис. 2.56. Кружки представляют классы: верхний кружок – класс всех туров; левый – класс всех туров, включающих ребро [l, m], нижний правый – класс всех туров, не включающих ребро [l, m]. Числа рядом с кружками – оценки снизу.

Рис.2.56. Первые два уровня дерева Литтла

Продолжим ветвление в положительную сторону: влево – вниз. Для этого оцениваются нули в матрице Сlm. Выбирается нуль с наибольшей оценкой, пусть это оценка нуля, находящегося в клетке [o, p] и она равна zop . Итак, выбрано нулевое ребро [o, p]. Теперь класс туров, содержащих ребро [l, m], можно разбить на два подкласса: содержащий ребро [o, p] и несодержащий ребра [o, p.

284

Для них производятся аналогичные оценки снизу. Для второго подкласса (правая подветвь) оценка равна (Cost_Min+zlm) + zop. Для первого – необходимо повторить процедуру с удалением из матрицы Сlm o-й строки и p-го столбца, а также поставить запрет на элемент, образующий цикл с уже выбранными ветками [o, p] и [l, m]. После чего снова попробовать привести матрицу по строкам и/или столбцам допустим суммарно на величину zop*. Таким

образом, каждый тур в этой ветке будет стоить не меньше

(Cost_Min+zlm*)+ zop*.

Процесс продолжается до тех пор, пока не кончится самая левая ветвь. При достижении низа по дереву перебора класс туров сузится до одного тура, а оценка снизу превратится в точную стоимость, пусть это Cost. Все классы (ветви), имеющие в качестве нижней оценки Cost или большее число, лучшего тура однозначно не содержат. Поэтому соответствующие вершины вычеркиваются, также вычеркиваются вершины, оба потомка которых вычеркнуты. Остальные ветки доводятся до конца. Таким образом, полный перебор значительно сокращается. Удовлетворительных теоретических оценок быстродействия алгоритма Литтла и родственных алгоритмов нет, но практика показывает, что даже 5 лет назад на существующих тогда машинах они часто позволяли решать задачу коммивояжера с N~100. Это огромный прогресс по сравнению с полным перебором. Кроме того, алгоритмы типа ветвей и границ являются, если нет возможности доводить их до конца, эффективными эвристическими процедурами.

Формальное описание алгоритма

Ввод:

C[i,j]-массив с весами ребер графа.

Инициализация:

Min[i] – рабочий массив, хранящий минимальные элементы по строкам (столбцам) матрицы;

dob – рабочая переменная, хранящая сумму коэффициентов приведения по строкам и столбцам; сost_min – нижняя граница стоимости тура;

285

value, min_i, min_j – рабочие переменные для хранения минимальной стоимости замены выбранного ребра тура, изначально приравнять чему-нибудь большому.

Общий шаг:

1 (Привести массив C[i,j])

вцикле по i от 1 до N (по строкам):

вцикле по j от 1 до N найти мин. элемент

Min[i];

вцикле по j от 1 до N c[i,j]:=c[i,j]- Min[i]; dob:=dob + Min[i];

вцикле по j от 1 до N (по столбцам):

вцикле по i от 1 до N найти мин. элемент

Min[j];

в цикле по i от 1 до N c[i,j]:=c[i,j]- Min[j]; dob:=dob + Min[j]

Cost_Min:= dob;

2. (оценить нули)

вцикле по i от 1 до N:

вцикле по j от 1 до N: если c[i,j] = 0 то

вцикле по i1 от 1 до N: в цикле по j1 от 1 до N:

если (i1≠i)and (j1≠j)and c[i1,j1]< Min_i то Min_i:= c[i1,j1];

если (i1≠i)and (j1≠j)and c[i1,j1]< Min_j то Min_j:= c[i1,j1];

value[i,j]:= Min_i+ Min_j (заполнен массив value содержащий оценки всех нулей).

Max_value=0.

3.в цикле по i от 1 до N:

вцикле по j от 1 до N:

если value[i,j]> Max_value то

Max_value:= value[i,j], i_value:=i; j_value:=j;

(таким образом найден элемент, имеющий максимальную оценку нуля).

286

Берем элемент, для которого c(i,j)=0

В строке, содержащей этот элемент, найти минимум (за исключением самого этого элемента): min_i

Оценка

нулей

В столбце, содержащем этот элемент, найти минимум (за исключением самого этого элемента): min_j

Оценка нуля=min_i+min_j

Среди всех оценок нулей найти максимум

Удалить из матрицы строку и столбец, которым принадлежит элемент с максимальной оценкой нуля

Оценка туров, не содержащих это ребро = cost_min+оценка нуля

Тур с минимальной стоимостью

Рис.2.57.Схема работы алгоритма для метода ветвей и границ Литтла (окончание)

288

Итак выбрано ребро [i_value, j_value], по принадлежности которого к турам производится первое ветвление. Автоматически получим оценку для туров, это ребро не содержащих, она равна Cost_Min

+ Max_value.

4.Оценим туры, содержащие выбранное ребро[i_value, j_value]. Удаляем из матрицы на i_value-ую строку и j_value. Полученная матрица приводится по столбцам и строкам суммарно на величину dob. Так получается нижняя оценка: Cost_Min+ Dob.

Далее аналогично. Очевидно, что подобные программы на алгоритмических языках пишутся с использованием функций или процедур. Полностью листинг здесь приводить не будем, поскольку смысл уже ясен, а искусство программирования остается за рамками данного учебного пособия.

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРА Ввод:

C[i, j]-массив с весами ребер графа;

Таблица 2.42. Матрица C[i,j]

Инициализация:

Dob: =0.

Общий шаг:

1. Привести массив C[i, j]

по строкам (табл. 2.43, а) Dob:=4+6+3+4+3+7=27; по столбцам (табл. 2.43, б) Dob:=27+(2+1+4)=34;

Cost_Min:=34;

289

Таблица 2.43. Приведение массива по строкам и столбцам

б)

2. Оценить нули, оценка приведена в скобках на табл.2.44.

3. Найти элемент, имеющий максимальную оценку

Max_value:= 1, i_value:=1, j_value:=2.

Таким образом, выбрано ребро [1,2], по принадлежности которого к турам произведем первое ветвление. Автоматически получим

290