логистика / 0807155_B5569_tihomirova_a_n_sidorenko_e_v_matematicheskie_modeli_i_metody

Поскольку, нам нужен максимум, мы берем верхнюю огибающую (показана жирными линиями на рис. 2.46.). Поскольку нужен минимум максимума этой функции, то берем min на огибающей.

Запоминаем результат:

minmax_new:=7; ξ_new:=1; obj_new[1]:=2; obj_new[2]:=5; minmax_old:= minmax_new; ξ_old:= ξ_new.

obj_old[1]:= obj_new[1]; obj_old[2]:= obj_new[2].

7. Теперь возвращаемся к нижним оценкам и проверяем, есть ли надежда на лучшее значение

v*[i,j]= mini,j(v[i,j])= 7, но результат 7 не может быть улучшен, так как у нас всего одно «перспективное» ребро.

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ξ

Рис. 2.46. Метод Хакими

251

Вывод:

minmax_old =7; obj_old[1]=2; obj_old[2]= ξ_old=1.

Ответ:

Отделение милиции нужно разместить на ребре (2,5) в 1 км от пункта 2. Тогда расстояние до самого удаленного населенного пункта будет равно 7.

ПРИМЕЧАНИЕ

Очень часто имеет место ситуация, когда одного пункта экстренного обслуживания недостаточно, поскольку он не в состоянии обслужить все поступающие вызовы. В этом случае возникает задача о наилучшем размещении нескольких таких пунктов обслуживания. Эту задачу можно сформулировать так. Найти наименьшее число пунктов экстренного обслуживания (например пожарных депо) и такое их размещение, чтобы расстояние от каждого жилого района до ближайшего к нему пункта экстренного обслуживания не превышало некоторой заданной величины. Если же число таких пунктов известно, то обычно требуется их разместить так, чтобы было минимально возможным расстояние от любого района до ближайшего к нему пункта. Таким образом, обе эти постановки относятся к нахождению множества абсолютных центров графа. Метод Хакими не может быть обобщен для решения задачи о поиске нескольких центров. Для этого существуют итерационный алгоритм Сингера.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

В городе есть пять жилых районов. Необходимо разместить пожарное депо так, чтобы время приезда по вызову в самый отдаленный район было минимально. Время, затрачиваемое на проезд из i-го города в j-й, приведено в таблице.

252

Таблица 2.36. Матрица затрачиваемого времени

2.3.3. Маршрут китайского почтальона

Решение задач, которые связаны с нахождением оптимального способа объезда определенных объектов, расположенных вдоль дорог, как правило, относят едва ли не к основным функциям отдела логистики предприятий. Эти задачи могут возникать в разнообразных областях, например: при доставке молока или почты, сборе домашнего мусора, проверке электрических, телефонных или железнодорожных линий (и вообще, инспектировании любых распределенных систем), разбрасывании соли и песка во время гололеда, уборке коридоров в больших зданиях.

Обычно такого рода задачи называют задачами китайского почтальона.

НЕОБХОДИМАЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Цикл, проходящий через все ребра графа ровно по одному разу, называется эйлеровым циклом. Эйлеров цикл не обязательно существует в графе. Известен очень простой критерий, по которому можно определить наличие в произвольном графе эйлерова цикла.

Утверждение 1. Для существования в связном неориентированном графе эйлерова цикла необходимо и достаточно, чтобы степени всех вершин графа были четные.

Утверждение 2. Для существования в связном ориентированном графе эйлерова цикла необходимо и достаточно, чтобы для каждой вершины графа полустепень захода была равна полустепени исхода.

253

Определить, существует ли эйлеров цикл, несложно. Вопрос в том, как его найти. Флёри дал очень простой алгоритм построения эйлерова цикла в неориентированном графе: начиная с некоторой вершины идти по графу, вычеркивая пройденные ребра. Не проходить по ребру, если его удаление приведет к разбиению графа на две связные компоненты (изолированные вершины не считаются). Этот алгоритм строит цикл, если он существует, но не может помочь в решении задачи, если такого цикла нет, а нужен способ оптимального обхода ребер графа, пусть и с некоторыми повторениями.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Ребрам графа приписаны положительные веса. Найти цикл, проходящий через каждое ребро графа по крайней мере, один раз и такой, что для него общий вес (∑Njc(aj), где число Nj

показывает, сколько раз проходилось ребро aj, а c(aj) – вес ребра), минимален.

НЕОБХОДИМЫЕ УТОЧНЕНИЯ

1. Очевидно, что если граф G содержит эйлеров цикл, то любой такой цикл будет оптимальным, так как каждое ребро проходится только один раз, и вес этого цикла будет равен ∑c(aj)

2. Если граф такого цикла не содержит, то в нем есть вершины нечетной степени. Однако поскольку вообще в графе сумма степеней всех вершин всегда четна (и равна удвоенному количеству ребер), то сумма степеней по всем вершинам, имеющим нечетную степень, тоже четна. Откуда напрямую следует, что количество вершин нечетной степени – четно.

ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА

Основная идея Глобальная цель – искусственным образом привести граф к

виду, когда эйлеров цикл существует, т.е. сделать все вершины нечетной степени вершинами со степенью четной: это возможно путем добавления парных ребер к уже существующим ребрам

254

графа. Тогда нахождение в новом графе эйлерова цикла даст и решение задачи.

Возможные сложности Возникает вопрос, а какие именно ребра удваивать?

Способы преодоления Для этого рассмотрим множество вершин графа, имеющих

нечетные степени, обозначим его за V*. Пусть M – множество цепей Mij между вершинами vi и vj (vi и vj V*), таких, что никакие две цепи не имеют одинаковых конечных вершин (т.е. они соединяют различные пары вершин из V* и покрывают все вершины множества V*). Число цепей равно половине мощности множества вершин, а поскольку (как показано выше) это множество четно, то число цепей целое (если конечно оно определено). Предположим, что все ребра, образующие цепь, скажем Mij, добавлены к графу G в качестве искусственной параллельной цепи. Таким образом все ребра графа G, образующие цепь Mij, будут удвоены. Произведем такую процедуру для всех цепей Mij M и обозначим полученный граф через G*(M). Так как некоторые ребра из G могут входить более чем в одну цепь Mij, то некоторые ребра G*(M) утроятся, учетверятся и т.д.

Утверждение 3: Для любого цикла, проходящего по графу G, можно выбрать множество M, для которого граф G*(M) имеет эйлеров цикл, соответствующий первоначально взятому циклу в графе G. Это соответствие таково, что если цикл проходит по ребру (vi, vj) из графа G L раз, то в G*(M) существует L ребер (одно реальное и L-1 искусственных) между vi и vj, каждое из которых проходится ровно один раз эйлеровым циклом из G*(M).

Утверждение 4: Для минимального цепного паросочетания M* никакие две цепи Mij и Mpq не могут иметь общего ребра.

Этот факт вполне очевидно вытекает из требования минимальности паросочетания.

Если две цепи Mij и Mpq имеют общее ребро, допустим [a,b] (рис. 2.47.), то их общий вес составляет d[i,a]+d[q,a]+2*d[a,b]+d[p,b]+d[j,b]. Однако можно эти две цепи

255

заменить цепями Miq и Mpj с общим весом d[i,a]+d[q,a]+d[p,b]+d[j,b], что на 2*d[a,b] меньше.

j

Рис. 2.47. Цепи с общим ребром

Таким образом, требование минимальности нарушается, откуда следует ошибочность выдвинутого предположения о наличии общего ребра у двух цепей, входящих в минимальное цепное паросочетание. Значит граф G*(M) не может содержать более двух параллельных ребер между любыми двумя вершинами, т.е. оптимальный цикл в графе не проходит G ни по какому ребру более двух раз.

Формальное описание алгоритма

Ввод:

C[i,j]-матрица весов ребер графа G.

Инициализация:

Step[i] – массив, содержащий сведения о степенях вершин, заполнить нулями; Б - аналог машинной бесконечности, присвоить

значение заведомо большее всех весов ребер.

проще) или Дейкстры (что экономнее) сформировать матрицу d[i,j] – кратчайших расстояний между

256

вершинами vi, таких что step[i] нечетная (т.е. вершин с нечетной степенью).

3. Найти минимальное цепное паросочетание M (по матрице D).

Схема работы алгоритма дана на рис. 2.48.

Ввод матрицы С – весов ребер графа

Ввод числа Б (заведомо большее всех весов ребер)

Степень всех вершин=0 (step(i)=0)

c(i,j)<Б

step(i)=step(i)+1

Сформировать матрицу кратчайших расстояний D между вершинами, имеющими нечетную степень

Найти минимальное цепное паросочетание

Удвоить ребра, входящие в минимальное цепное паросочетание

Просуммировать веса всех ребер

Рис. 2.48. Схема работы алгоритма для нахождения "маршрута китайского почтальона"

257

4.Для всех цепей Mαβ добавить искусственные

ребра, соответствующие ребрам из Mαβ. В итоге получим некоторый s-граф G*(M).

5.Найти сумму весов всех ребер графа G*(M), используя для этого матрицу с[i,j] (вес искусственного ребра равен весу параллельного ему реального ребра). Согласно показанному выше утверждению эта сумма равна минимальному весу цикла, проходящему по G.

6.По алгоритму Флери найти эйлеров цикл графа

G*(M), записывая проходимые вершины в массив P[i] и соответствующий оптимальный цикл исходного графа

G.

Вывод:

Ves – вес оптимального цикла обхода ребер графа; P[i] – последовательность вершин, задающая оптимальный цикл.

ПРИМЕР

Допустим, определенный район города обслуживается единственной мусороуборочной машиной. Схема района приведена на рис. 2.49.

Рис. 2.49. Схема района

258

Найти оптимальный (характеризуемый минимальным километражом) способ объезда района для сбора мусора (предполагается, что мусорные контейнеры расположены вдоль всех дорог).

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРА Ввод:

C[i,j]-матрица весов ребер графа G

Инициализация:

Step[i] – массив, содержащий сведения о степенях вершин, заполнить нулями; Б – аналог машинной бесконечности, присвоить значение, заведомо

большее всех весов ребер.

Таблица 2.37. Матрица C[i,j]

Общий шаг:

1.В цикле по i от 1 до N

Вцикле по j от 1 до N

259

Если с[i,j] < Б, тогда step[i]:= step[i] +1 (считаем число ребер инцидентных этой вершине)

1.При помощи алгоритма Флойда-Уоршелла или Дейкстры сформировать матрицу d[i,j] – кратчайших расстояний между

вершинами vi, таких что step[i] нечетная (т.е. вершин с нечетной степенью).

Таблица 2.38. Матрица d[i,j]

3.Найти минимальное цепное паросочетание M (по матрице D). d[2,4]=6, d[5,8]=15, d[10,11]=7.

4.Для всех цепей M добавить искусственные ребра, соответствующие ребрам из M. В итоге получим некоторый s-граф

G*(M) (рис.2.50.).

Рис. 2.50. Граф G*(M)

260