логистика / 0807155_B5569_tihomirova_a_n_sidorenko_e_v_matematicheskie_modeli_i_metody

размещение школ, детских садов или кинотеатров, поликлиник, пожарных депо и станций скорой помощи.

Однако, несмотря на схожесть подобных задач, критерии оптимальности чаще всего бывают двух типов. В соответствии с ними разделяют и постановки задачи на размещение пунктов обслуживания.

Минисуммная задача размещения. Дана сеть с обслуживаемыми объектами. Разместить пункт регулярного обслуживания так, чтобы сумма кратчайших расстояний от этого пункта до вершин графа была минимально возможной.

Минимаксная задача размещения. Дана сеть с обслуживаемыми объектами. Разместить пункт экстренного обслуживания так, чтобы расстояние до самого удаленного объекта было минимально возможным.

Рассмотрим минисуммную постановку задачи. Подобная формулировка подходит для размещения автобазы, обслуживающей ряд объектов, центрального склада, с которого осуществляется доставка продукции, школы, коммутатора в телефонной сети и т.д. Однако в реальности вряд ли все обслуживаемые объекты имеют одинаковый приоритет. Например, в случае с размещением склада, очевидно, что объекты с наибольшей потребностью в продукции должны размещаться ближе к складу, поскольку ездить туда придется чаще, а в целом речь идет о минимизации транспортных расходов. Если говорить о размещении школы, то вполне очевидно, что стоит учитывать количество детей, проживающих в каждом из населенных пунктов с тем, чтобы минимизировать суммарное пройденное ими всеми расстояние. Обобщая эти рассуждения, каждому объекту можно сопоставить некоторое число, называемое весом.

НЕОБХОДИМЫЕ УТОЧНЕНИЯ

Дан граф G=<V,U>. Пусть D[i,j] – матрица кратчайших расстояний от i-й до j-й вершины, wj –вес вершины. Тогда можно определить понятие передаточного числа.

231

внешнее передаточное число:

δo (vi ) = ∑wj d (vi , vj ) , v j V

внутреннее передаточное число:

δt (vi ) = ∑ wj d (vj , vi ) . v j V

Далее введем понятие медиан:

внешняя медиана графа – вершина vo, для которой

σo (vo ) = min v j V [δo (vi )] ,

внутренняя медиана графа – вершина vt, для которой

σt (vt ) = min vi V [δt (vi )] .

Очевидно, что в случае неориентированного графа внешнее передаточное число равно внутреннему передаточному числу, и внешняя медиана совпадает с внутренней медианой.

Теперь, исходя из конкретной прикладной задачи, можно искать вершину, являющуюся внутренней или внешней медианой графа. Однако чаще всего смысл имеет поиск так называемой внешне-внутренней медианы графа, т.е. вершины, для которой сумма внутренних и внешних передаточных чисел будет наименьшей.

Возникает естественный вопрос: а что, если на какомнибудь ребре графа (иными словами, на дороге между двумя обслуживаемыми объектами) существует точка y* такая, что искомое суммарное расстояние от нее до всех объектов и обратно будет меньше, чем для внешне-внутренней медианы? Это очень важный вопрос, поэтому рассмотрим его подробно.

Утверждение: Какова бы ни была точка у* графа G=<V,U>, в нем найдется, по крайней мере, одна вершина x*, для которой

σ(x*)≤σ(y*).

С целью упрощения, приведем доказательство этого утверждения для случая неориентированных графов (очевидно, что данное утверждение и доказательство его правильности можно обобщить и на случай ориентированных графов).

232

Пусть y* – точка ребра (va, vb), расположенная на расстоянии ξ от va. Тогда кратчайший путь от точки y* до произвольной вершины vj будет исчисляться как минимальное значение из двух возможных: либо надо идти через вершину va и далее по кратчайшему пути от va к vj, либо через вершину vb и далее по кратчайшему пути от vb к vj. Обозначив длину ребра (va, vb) через cab, получим:

d ( y*,v j ) = min[ξ +d (va ,v j ), cab −ξ +d (vb ,v j )] .

В общем случае среди вершин vj найдутся как те, для которых первый член в этом выражении не больше второго (т.е. к ним удобнее идти через вершину va или все равно через какую) – обозначим множество таких вершин через Va, так и те, для которых второй член меньше первого (т.е. к ним удобнее идти через вершину vb) – обозначим множество таких вершин через Vb. Теперь вычислим передаточное число точки y*:

δ( y*) = ∑wjd( y*,v j ) = ∑wj[(ξ + d(va ,v j )] + ∑wj[cab −ξ + d(vb ,v j )] .

превратив равенство в неравенство:

δ( y*) ≥ ∑wj [(ξ +d (va ,v j )] + ∑wj [d (va ,v j ) −ξ].

v j Va v j Vb

Так как Va Vb = V, то, сделав перегруппировку, получим:

δ( y*) ≥ ∑wj d(va ,v j ) +ξ[ ∑wj − ∑wj ] .

v j V v j Vа v j Vb

Поскольку для каждого ребра (va, vb) мы сами вправе

для вершины va величина δ(va ) не превышаетδ( y*) , что является

233

доказательством утверждения о том, что оптимальная точка расположения пункта массового обслуживания обязательно совпадет с одним из обслуживаемых объектов.

Итак, в двухмерной сети для решения задачи размещения необходимо выбирать из N точек, что делает полный перебор легко осуществимым.

ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА

Основная идея На основе исходных данных построить матрицу смежности.

Пользуясь алгоритмом Флойда-Уоршелла или несколько раз алгоритмом Дейкстры, найти кратчайшие пути (выраженные явно или их приведенные эквивалентные характеристики) из каждой вершины в каждую. Затем, по очереди предполагая размещение пункта обслуживания в каждом объекте, рассчитать сумму произведений элементов соответствующей ему строки и столбца на вектор весов. Из найденных результатов отобрать минимальный.

Возможные сложности Если моделью системы является ориентированный граф,

рассматриваются пути до пункта обслуживания и обратно, и в качестве целевой функции используется минимизация стоимости обслуживания, то вполне возможна ситуация, когда затраты на проезд 1 км по пути к пункту обслуживания отличаются от затрат на проезд 1 км по пути обратно. В этом случае матрица кратчайших путей не будет отражать реальных финансовых затрат.

Способы преодоления В таких случаях после нахождения матрицы кратчайших

путей нужно последовательно для каждой вершины рассчитывать:

•сумму произведений элементов соответствующей ей строки на вектор весов с коэффициентом стоимости затрат на проезд из пункта обслуживания;

234

•сумму произведений элементов соответствующего столбца на вектор весов с коэффициентом стоимости затрат на проезд к пункту обслуживания.

Формальное описание алгоритма

Ввод:

S[i,j] – массив, содержащий значения из матрицы

P[k] – массив с весами (или иными относительными характеристиками) объектов с1, с2 – стоимость (или иная относительная

характеристика) 1 единицы пути по направлению к пункту обслуживания и обратно.

Инициализация:

D[i,j] – массив содержащий найденные кратчайшие пути от i-й вершины к j-й, изначально совпадает с массивом S[i,j]

Cost [k] – массив содержащий значение целевой функции при расположении пункта обслуживания в к- ом объекте, первоначально заполненный нулями

Общий шаг:

1.При помощи алгоритма Флойда-Уоршелла заполнить матрицу D[i,j]

2.Цикл по i от 1 до N Цикл по j от 1 до N:

cost[i]:=сost[i]+D[i,j]*p[j]*c2 + d[j,i]*p[j]*c1

3.Ищем минимум в массиве cost[i] min:=cost[1]

result:=1

Цикл по j от 1 до N: если cost[i]< min тогда min:= cost[i]

result:=i

Вывод:

result (вершина, в которой надо расположить пункт обслуживания)

min (размер транспортных расходов)

235

Схема работы алгоритма показана на рис.2.41.

Ввод массивов S(i,j), P[k] и стоимостей с1, с2

Массив cost[i]

min:=cost[1]

Рис. 2.41. Схема работы алгоритма для размещения регулярных пунктов обслуживания

ПРИМЕР

Семь деревень расположены так, как показано на рис. 2.42. Найти место для оптимального размещения школы, если в

236

деревнях соответственно проживают 80, 100, 140, 90, 60, 50 и 40 детей школьного возраста. Критерий оптимальности – минимизация суммарного расстояния, проходимого всеми школьниками по пути в школу и обратно.

14

7

Рис. 2.42. Схема расположения объектов

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРА

Ввод:

S[i,j] (матрица смежности)

Таблица 2.28. Матрица смежности

P[k] = [80,100,140,90,60,50,40] массив с весами вершин (количество учеников)

237

Инициализация:

Вдвойном цикле по i от 1 до 7 и по j от 1 до 7 присвоить d[i,j]: = s[i,j]

Вцикле по i от 1 до cost [k] – массив, содержащий значение целевой функции при расположении пункта обслуживания в k-м объекте, заполнить нулями

Общий шаг:

6.При помощи алгоритма Флойда-Уоршелла заполняем матрицу D[i,j]- получим:

2. Цикл по i от 1 до 7

i=1: Цикл по j от 1 до 7:

j=1: cost [1]:=0+ D[1,1]*p[1]=0+0*80=0

j=2: cost [1]:= cost [1]+D[1,2]*p[2]=0+9*100=900 j=3: cost [1]:= cost [1]+D[1,3]*p[3]=900+10*140=2300 j=4: cost [1]:= cost [1]+D[1,4]*p[4]=2300+15*90=3650 j=5: cost [1]:= cost [1]+D[1,5]*p[5]=3650+11*60=4310 j=6: cost [1]:= cost [1]+D[1,6]*p[6]=4310+17*50=5160 j=7: cost [1]:= cost [1]+D[1,7]*p[7]=5160+24*40=6120 i=2: Цикл по j от 1 до 7 (аналогично) cost [2]: = 3440 i=3: Цикл по j от 1 до 7 (аналогично) cost [3]: = 3640 i=4: Цикл по j от 1 до 7 (аналогично) cost [4]: = 3900 i=5: Цикл по j от 1 до 7 (аналогично) cost [5]: = 4660 i=6: Цикл по j от 1 до 7 (аналогично) cost [6]:= 5140 i=7: Цикл по j от 1 до 7 (аналогично) cost [7]: = 8360

238

3. Ищем минимум в массиве cost [i] min:=cost[1]=6120

result:=1

Цикл по j от 1 до 7: если cost [i]< min тогда min:= cost [i]

result:=i

на выходе из цикла min:= cost [2]=3440 result:=2

Вывод:

2 (вершина, в которой надо расположить школу)

3440 (количество ученико-километров по дороге в школу)

ПРИМЕЧАНИЕ

Задачу можно обобщить на случай, если необходимо размещать не один, а P пунктов обслуживания. В этом случае постановка задачи выглядит так: разместить P пунктов обслуживания сети из N объектов так, чтобы сумма расстояний от каждого из объектов до ближайшего пункта обслуживания и обратно была минимальной. Соответствующее множество вершин называют P -медианой графа.

В этом случае простой перебор уже не дает эффективного решения. Для поиска P -медиан применяют методы целочисленного программирования, алгоритм направленного древовидного поиска, а также эвристический алгоритм Тэйца и Барта.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

В городе имеются пять крупных супермаркетов – постоянных покупателей импортных мясных полуфабрикатов. Для того, чтобы проехать от i-го супермаркета в j-й, необходимо преодолеть расстояние в d[i,j] км. С учетом дорожной разметки и наличия улиц с односторонним движением d[i, j] ≠ d[j, i]. Значения d[i,j] для всех пар (i,j) приведены в таблице. Потребность супермаркетов в продукции равна 2, 5, 3, 8 и 6 грузовиков в месяц

239

соответственно. Доставкой занимается сам мясокомбинат. Найти оптимальное расположение центрального склада с целью минимизации транспортных расходов на доставку продукции, если стоимость километрового прогона груженого а/м составляет 8 руб., а порожнего (при возврате на базу) – 6 руб. Рассчитать ежемесячные затраты на транспортировку продукции (стоимость доставки продукции от комбината до центрального склада не учитывается).

Таблица 2.30. Матрица расстояний между объектами задачи

2.3.2. Размещение экстренных пунктов обслуживания

Согласно обычной логике, ясно, что размещение экстренных пунктов обслуживания, к которым обычно относят станции скорой помощи, пожарные депо, пункты милиции, должно основываться несколько на иной логике, чем размещение школ или кинотеатров. Предположим, мы хотим разместить участок спецподразделения милиции, задача которого выезжать по вызову, когда сработает сигнализация на охраняемом объекте. Считается, что срабатывание сигнализации – событие редкое, и главной целью является не постановка участка поблизости от сгущения охраняемых объектов (тогда к большинству охраняемых объектов милиция будет прибывать быстро, а в некоторые отдаленные – с недопустимым опозданием), а так, чтобы самый дальний охраняемый объект достигался в минимальное время. В этом случае, видимо, можно будет говорить о соответствии этого минимального времени принятым нормам. Такая постановка задачи называется минимаксной.

240