логистика / 0807155_B5569_tihomirova_a_n_sidorenko_e_v_matematicheskie_modeli_i_metody

ПРИМЕР

В задаче для самостоятельной работы к п. 2.2.2. найти назначение, при котором самый маленький размер оплаты труда окажется максимально возможным.

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРА Ввод:

A[i,j] (рис.2.35.)

Рис. 2.35. Матрица A[i,j]

Инициализация: f:=Б (большое число);

вцикле по i от 1 до 6 p[i]:=i;

если a[i,i]< f то f=a[i,i], i:=i+1;

получим: p[i]={12,8,14,8,6,10}; f=6;

Общий шаг: 1-я итерация

1.В цикле по i от 1 до 6

вцикле по j от 1 до 6

если a[i,j]> 6 то b[i,j]=1 иначе b[i,j]=0 (получим матрицу на рис. 2.36.).

221

2.Использовать алгоритм нахождения максимального паросочетания, ввод – матрица В, вывод – Nas_u.

Nas_u={2,1,5,3,6,4}, (рис. 2.37, б);

3.f_new:=Б (большое число);

Вцикле по i от 1 до 6

если nas_u [i]≠-1 то

если a[i, nas_u[i]]<f_new то f_new:= a[i, nas_u[i]]

при i=1 находится новый минимум: a[1,2]=11 иначе .. (не встречается по всем i)

f:=11;

В цикле по i от 1 до M p[i]:= nas_u [i] p[i]:={2,1,5,3,6,4}

3-я итерация

1. В цикле по i от 1 до 6 в цикле по j от 1 до 6

если a[i,j]> 11 то b[i,j]=1 иначе b[i,j]=0 (получим матрицу на рис. 2.38, а)

Рис. 2.38. Третья итерация

4. Использовать алгоритм нахождения максимального паросочетания, ввод – матрица В, вывод –Nas_u. Nas_u={5,1,3,- 1,2,4} (рис. 2.38, б)

223

3.f_new:=Б (большое число)

вцикле по i от 1 до 6

если nas_u [i]≠-1 то …(уже неважно) иначе выход (происходит при i=4)

Вывод: P={5,1,3,-1,2,4}; F=11.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

В задаче для самостоятельной работы п.2.2.2. найти назначение, при котором самый большой размер оплаты труда окажется минимально возможным.

2.2.4.Минимальное число покрывающих назначений

Впредыдущих задачах одним из ограничений при поиске оптимального назначения был тот факт, что каждый сотрудник занимает только одну (или не более одной) должность и, наоборот, на каждую должность может быть назначен только один (или не более одного) сотрудник. На самом деле это условие не всегда обязательно, совмещение должностей – вещь вполне обыденная. Гораздо чаще должности не имеют решающего значения, а речь идет о выполнении того или иного круга обязанностей. Причем требуется подобрать из имеющихся претендентов штат персонала таким образом, чтобы для каждой обязанности нашелся человек, способный ее исполнять.

НЕОБХОДИМЫЕ УТОЧНЕНИЯ

Для произвольного неориентированного графа можно вести понятие покрытия. При этом считается, что:

любая вершина покрывает

•саму себя,

•смежные вершины,

•инцидентные ребра; любое ребро покрывает

224

•само себя,

•смежные ребра,

•инцидентные вершины.

Внешне устойчивое множество вершин – множество вершин, покрывающих все вершины графа.

Вершинное число внешней устойчивости – минимальная мощность множества вершин, покрывающих все вершины графа.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Дан двудольный граф GM,N. Найти множество вершин минимальной мощности, покрывающее все вершины графа.

ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА

Необходимые уточнения В данном случае двудольность графа будет иметь значение

только при выборе способа задания его ребер. В общем случае приводимый ниже алгоритм вполне применим и для произвольных графов.

Основная идея

Построить матрицу А[i,j], задающую ребра графа:

•если граф двудольный: a[i,j]=1, если i-я вершина графа инцидентна j-й, и a[i,j]=0 в противном случае. Затем при помощи алгебры логики найти наименьшее число строк, покрывающих все столбцы этой матрицы;

•если граф обычный: a[i,j]=1, если i-я вершина смежна с j-й, a[i,i]=1 (вершина покрывает саму себя), все остальные a[i,j]=0. Выбрать строки, покрывающие все столбцы матрицы, т.е. такие, что хотя бы в одной из выбранных строк содержится «1» в каждом из существующих столбцов.

Возможные сложности Вопрос один: собственно как выбирать такие строки?

225

Способы преодоления По сути переборным способом, опирающимся на алгебру

логики. Составить логическое выражение в виде произведения сумм логических переменных, соответствующих строчкам матрицы. Каждая сумма представляет собой сложение переменных, которые в данной строке содержат «1».

Формальное описание алгоритма

Ввод:

А[M,N] (для двудольного графа);

А[N,N] (для обычного графа – это матрица смежности с единичками по главной диагонали).

Инициализация:

Получить логическое выражение.

Общий шаг:

Привести это выражение к ДНФ (дизъюнктивной нормальной форме), т.е. к сумме произведений переменных. Для этого раскрываются все скобки и выражение упрощается на основании правил алгебры логики.

Вывод:

Слагаемое минимальной мощности.

Анализ сложности Вообще говоря, данный алгоритм порождает все

существующие внешне устойчивые множества. В большинстве прикладных задач требуется найти наименьшее по мощности или по суммарному весу элементов. Для этого существуют более экономные алгоритмы, использующие дерево поиска, например метод Пирса, основанный на разбиении столбцов на динамические блоки с последующей их модификацией и удалением.

226

Схема работы алгоритма показана рис.2.39.

Ввод матрицы А

Сформировать логическое выражение

Упростить логическое выражение на основе правил алгебры логики

Выбрать слагаемое минимальной мощности

Рис. 2.39. Схема работы алгоритма для нахлждения минимального числа покрывающих назначений

ПРИМЕР

На предприятии имеется шесть отделов, обычно принимающих участие в разработке нового проекта. Анализ типов выполняемых в этих отделах работ показал, что сотрудники отделов №1,2,3 могут справляться с обязанностями друг друга. То же самое относится к группам из отделов №4,2,5 и №3,5,6. Перед менеджером по логистике поставлена задача выяснить, не является ли подобное количество отделов избыточным, и если да – определить, какое минимальное количество и каких именно отделов способны выполнить весь проект.

227

Покрытие=1•5+(1•2•3)+(1•2•6)+(1•4•3)+1•4•6+2•5+(2•2•3)+ +(2•2•6))+(2•4•3)+(2•4•6)+3•5+(3•2•3)+ +(3•2•6)+(3•4•3+3•4•6)= =2•6+2•3+2•3+4•3+1•5 +1•4•6+2•5+3•5 = =2•6+2•3+4•3+1•5+1•4•6+2•5+3•5

Вывод:

Получили ДНФ, выбираем самое короткое слагаемое, например 2•6. Значит, отделов № 2 и 6 вполне достаточно для ведения работ по проекту.

ПРИМЕЧАНИЕ

Даже в случае классической постановки задачи о переводчиках одинаковое качество перевода и одинаковая зарплата специалистов, знающих неодинаковое количество различных языков, безусловная идеализация. В общем случае матрица А[i,j] может также характеризоваться весом часовой зарплаты i-го переводчика или качественной оценки его работы. Тогда в первом случае речь может идти о минимизации суммарных затрат работодателя на поддержание штата сотрудников (ведь вполне может оказаться, что нанять двух не слишком дорогих переводчиков дешевле чем одного), а во втором случае задача сводится к поиску минимального внешне устойчивого множества с максимальным весом.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задача о переводчиках. На должность переводчика в небольшую фирму претендуют пять человек. Первый способен переводить с французского, немецкого и итальянского, второй – с немецкого, греческого и английского, третий – с французского, испанского и английского, четвертый – с французского, итальянского и китайского, пятый – только с английского и китайского. Каких переводчиков следует взять на работу, чтобы иметь возможность переводить со всех семи языков при минимальном штате сотрудников.

229

2.3. Задачи обслуживания

Условно такие задачи могут быть разбиты на три класса. К первому классу относят вопросы об оптимальном

размещении различных пунктов обслуживания, как регулярного плана (школы, кинотеатры, парки), так и экстренного характера (больницы, пункты милиции, пожарные депо). Типичные проблемы и соответствующие алгоритмы изложены в рамках задачи о размещении регулярных пунктов обслуживания (минисуммная постановка, алгоритм поиска медианы графа) и задачи о размещении экстренных пунктов обслуживания (минимаксная постановка, алгоритм поиска центра графа).

Ко второму классу относят ряд задач, связанных с обслуживанием группы объектов, причем целью является составление графика проезда по всем участкам сети или посещения всех объектов, характеризуемого минимальными суммарными затратами. К этой группе относят знаменитую задачу о маршруте китайского почтальона (алгоритм поиска кратчайших эйлеровых циклов) и задачу о маршруте коммивояжера (алгоритм поиска кратчайших гамильтоновых циклов, на основе метода ветвей и границ Литтла).

К третьему классу можно отнести задачи планирования доставки при условии наличия группы поставщиков (более одного) и группы потребителей. Чаще всего к ней сводится проблема закрепления региональных потребителей за существующими складами. Это типичная проблема, метод ее решения при условии получения целочисленного результата рассмотрен в транспортной задаче (алгоритм на основе метода потенциалов).

2.3.1. Размещение регулярных пунктов обслуживания

Задача о размещении пунктов массового обслуживания для некоторого множества объектов возникает в логистике достаточно часто. Это может быть поиск оптимального места для склада, с которого осуществляется доставка продукции потребителям, или

230