логистика / 0807155_B5569_tihomirova_a_n_sidorenko_e_v_matematicheskie_modeli_i_metody

Рис. 2.26.Построение паросочетаний

3. В цикле по i от 1 до 5, если nas_I[i]=false [F], применяем алгоритм перечисления вершин орграфа, достижимых из вершины i. Входные данные – массив u и вершина i=3.

Инициализация:

P [11] – массив, в котором записаны номера предыдущих вершин на пути достижения

Q [11] – рабочий массив с элементами типа byte R [11] – рабочий массив с элементами типа boolean

a:=z:=1 (a и z – указатели, задающие начало и конец рабочей зоны

Q) q[1]:=3

В цикле по i от 1 до 11 r[i]:=false, p[i]:=-1

Таблица 2.14.Инициализация данных

Общий шаг:

До тех пор пока a ≤ z

В цикле по k от 1 до 11 проверяем условие: u[3,k]=1 (ищем вершины, непосредственно следующие за q[a], на первой итерации за q[1], т.е. за вершиной 3). Оно выполняется для

201

k=6: если r[6]=false (выполняется) то z:=z+1=2; q[2]:=6; p[6]:=q[1]=3; r[6]:=true [T]. k=8: если r[8]=false (выполняется) то z:=z+1=3; q[3]:=8; p[8]:=q[1]=3; r[8]:=true. a:=a+1=1+1=2

Получим (значения указателей a и z подчеркнуты):

Таблица 2.15. Первый шаг решения задачи

В цикле по k от 1 до 11 проверяем условие: u[6,k]=1 (ищем вершины, непосредственно следующие за q[a], на второй итерации за q[2], т.е. за вершиной 6). Оно выполняется для

k=1: если r[1]=false (выполняется) то z:=3+1=4; q[4]:=1; p[1]:=q[2]=6; r[1]:=true; a:=a+1=2+1=3.

Получим:

Таблица 2.16. Второй шаг решения задачи

В цикле по k от 1 до 11 проверяем условие: u[8,k]=1 (ищем вершины, непосредственно следующие за q[a], на этой итерации за q[3], т.е. за вершиной 8). Оно выполняется для

202

k=2: если r[2]=false (выполняется) то z:=4+1=5; q[5]:=2; p[2]:=q[3]=8; r[2]:=true; a:=a+1=3+1=4.

Получим:

Таблица 2.17. Третий шаг решения задачи

В цикле по k от 1 до 11 проверяем условие: u[1,k]=1 (ищем вершины, непосредственно следующие за q[a], на этой итерации за q[4], т.е. за вершиной 1). Оно выполняется для

k=7: если r[7]=false (выполняется) то z:=5+1=6; q[6]:=7; p[7]:=q[4]=1; r[7]:=true; k=9: если r[9]=false (выполняется) то z:=6+1=7; q[7]:=9; p[9]:=q[4]=1; r[9]:=true; a:=a+1=4+1=5.

Получим:

Таблица 2.18. Четвертый шаг решения задачи

В цикле по k от 1 до 11 проверяем условие: u[2,k]=1 (ищем вершины, непосредственно следующие за q[a], на этой итерации за q[5], т.е. за вершиной 2). Оно выполняется для

203

В цикле по k от 1 до 11 проверяем условие: u[7,k]=1 (ищем вершины, непосредственно следующие за q[a], на этой итерации за q[6], т.е. за вершиной 7). Оно ни для каких k не выполняется

a:=a+1=6+1=7.

Получим:

Таблица 2.20. Щестой шаг решения задачи

В цикле по k от 1 до 11 проверяем условие: u[9,k]=1 (ищем вершины, непосредственно следующие за q[a], на этой итерации за q[7], т.е. за вершиной 9). Оно выполняется для.

k=4: если r[4]=false (выполняется) то z:=8+1=9; q[9]:=4; p[4]:=q[7]=9; r[10]:=true. a:=a+1=7+1=8

204

Получим:

Таблица 2.21. Седьмой шаг решения задачи

В цикле по k от 1 до 11 проверяем условие: u[10,k]=1 (ищем вершины, непосредственно следующие за q[a], на этой итерации за q[8], т.е. за вершиной 10). Оно ни для каких k не выполняется

a:=a+1=8+1=9.

Получим:

Таблица 2.22. Восьмой шаг решения задачи

В цикле по k от 1 до 11 проверяем условие: u[4,k]=1 (ищем вершины, непосредственно следующие за q[a], на этой итерации за q[9], т.е. за вершиной 4). Оно выполняется для

k=6: если r[6]=false (не выполняется) …

k=10: если r[10]=false (не выполняется) … k=11: если r[11]=false (выполняется) то z:=9+1=10; q[10]:=11; p[11]:=q[9]=4; r[11]:=true; a:=a+1=9+1=10.

205

Получим:

Таблица 2.23. Девятый шаг решения задачи

В цикле по k от 1 до 11 проверяем условие: u[11,k]=1 (ищем вершины, непосредственно следующие за q[a], на этой итерации за q[10], т.е. за вершиной 11). Оно выполняется для

k=5: если r[11]=false (выполняется) то z:=10+1=11; q[11]:=5; p[5]:=q[10]=11; r[5]:=true; a:=a+1=10+1=11.

Получим:

Таблица 2.24. Десятый шаг решения задачи

В цикле по k от 1 до 11 проверяем условие: u[5,k]=1 (ищем вершины, непосредственно следующие за q[a], на этой итерации за q[11], т.е. за вершиной 5). Оно выполняется для k=8: если r[8]=false (не выполняется).

a:=a+1=11+1=12.

206

Получим:

Таблица 2.25. Одиннадцатый шаг решения задачи

Указатель а обогнал указатель z, на этом алгоритм завершается. Как видно из содержимого массива P, из вершины №3 достижимы все вершины графа, кроме нее самой. Причем такая запись позволяет не только определить собственно достижимость, но и проследить весь путь до соответствующей вершины.

Вывод:

P [k]:={6, 8,-1,9,11,3,1,3,1,1,4}

4.Если среди p[k] (достижимых вершин) найдется вершина k такая, что (p[k]≠-1 и nas_J[k-5]=false), то надо увеличить M*, при этом p[i..k] будет увеличивающей относительно M* цепью в графе G. Таких вершин две: 7-я и 10-я. Первой будет найдена 7-я. Соответствующая цепь получается из массива P [k]:=[3-6-1-7]. Перекрашиваем ее:

u[3,6]:=1, u [6,1]:=0, u [1,7]:=1, nas_I[3]:= true, nas_J[7-5]= nas_J [2]:=true,

nas_u[3]=6-5:=1, nas_u [6-1]= nas_u [5]:=6, nas_u [1]:=-1, nas_u [1]=7-5:=2 и переходим к п.3.

5.В цикле по i от 1 до 5 если nas_I[i]=false то.., но таких элементов уже нет, поэтому работа алгоритма завершается (рис.2.27.).

Вывод: Nas_u={2,3,1,4,5}

207

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Среди 12 работников есть 6 мужчин: 2 инженера, 2 технолога и 2 прораба и 6 женщин тех же специальностей. Нужно сформировать максимальное число групп по 2 человека (1 мужчина и 1 женщина, разных специальностей), с учетом их психологической совместимости. Известно, что инженер Иванов и прораб Федоров смогут работать только с кем-то из технологов, технолог Сидоров – только с кем-то из прорабов, а технолог Петров – напротив, с прорабами работать не может. Подразумевается, что остальные работники не имеют предпочтений.

2.2.2. Оптимальные назначения

Обращаясь к сформулированной в предыдущей задаче проблеме, ребрам двудольного графа можно поставить в соответствие веса, обозначающие степень полезности или вредности данного кандидата на этой должности. Такая ситуация будет больше соответствовать прикладным целям, когда рассматривается проблема получения оптимальных назначений с точки зрения их итоговой эффективности.

Возможные типы задач

•Максисуммная постановка. Даны M кандидатов на N должностей, и матрица A[i,j], которая характеризует степень полезности i-го кандидата при назначении его на j-ю должность. Найти назначение, максимизирующее суммарную полезность.

208

•Минисуммная постановка. Даны M кандидатов на N должностей, и матрица A[i,j], которая характеризует степень вредности i-го кандидата при назначении его на j-ю должность. Найти назначение, минимизирующее суммарную вредность.

Ясно, что обе задачи решаются одним алгоритмом. В

Изменим матрицу A на A' следующим образом: найдем в ней максимальный элемент (обозначим его r) и вычтем из него каждый элемент: a'[i,j] = r - a[i,j]. Если A состояло из неотрицательных чисел, то A' сохраняет это свойство.

=const−f.

Ясно, что максимизируя f, мы минимизируем f' и наоборот. Поэтому рассмотрим одну из задач, например минисуммную.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Дан двудольный граф GM,N с взвешенными ребрами и матрицей весов A[i,j]. Найти паросочетание M* такое, что ∑a[i, j] будет

uij M *

минимальна.

ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА

Основная идея Суть алгоритма в том, чтобы привести матрицу по строкам

и столбцам с целью получения наибольшего числа нулей. Ясно, что если в задаче минимизации с неотрицательной матрицей удается провести «нулевое» назначение (только по тем клеткам, где b[i,j]=0), то будет достигнуто значение функционала f=0, и меньше

209

быть не может. Если нет, то надо построить двудольный граф, где ребра соответствуют нулям приведенной матрицы. Затем найти наибольшее паросочетание, используя метод чередующихся цепей. Если оно оставляет некоторые вершины ненасыщенными, то его следует увеличить. Для этого преобразовать матрицу и затем повторно пытаться строить наибольшее паросочетание. И так до тех пор, пока все вершины не станут насыщенными.

Возможные сложности Как преобразовать матрицу, чтобы стало возможным

увеличение полученного паросочетания?

Способы преодоления Ранее было показано, что минимум в задаче, где из всех

элементов строки (или столбца) вычитается некоторое число, достигается на той же перестановке, что и в исходной задаче. Это свойство остается верным, если заменить вычитание сложением. Введем так называемую операцию Егервари. Пусть I' I, J' J и δ – число. Будем говорить, что к матрице применяется операция Егервари E(I',J',δ), если из каждой строки i I' вычитается δ, а к каждому столбцу j J' прибавляется δ. Эта операция не меняет оптимальной перестановки. Кроме того, элементы матрицы на пересечении строк из I' и столбцов J' не меняются, так как из них вычитается и к ним прибавляется одно и то же число δ.

Найдем множества вершин, достижимых из ненасыщенных вершин, принадлежащих множеству I. Пусть I' и J' – такие множества вершин, входящие соответственно в I и J. Среди элементов b[i,j], где i I', а j J"=J\J', найдем элемент минимального веса, пусть это b[i,j]=δ. Проведем над матрицей операцию Егервари E(I',J',δ), после чего станет возможно повторное приведение матрицы по строками и/или столбцам, а полученное на основе такой матрицы паросочетание окажется больше предыдущего.

Описанный ниже алгоритм решения задачи о назначениях называется венгерским, потому что он основан на идеях работы венгра Егервари, написанной еще в 1931 г.

210