логистика / 0807155_B5569_tihomirova_a_n_sidorenko_e_v_matematicheskie_modeli_i_metody

максимальное число сотрудников. Это и есть суть задачи о максимальном числе назначений.

Стандартный способ формализации такого рода задач сводится к следующему. Обозначим возможные назначения матрицей A, где строки соответствуют сотрудникам, а столбцы – участкам работы.

1, если i-й сотрудник может выполнять j-ю работу

a[i,j] =

0, в противном случае Введем неизвестную величину

1, если i-му сотруднику поручена j-я работа

x[i,j] =

0, в противном случае

Следуя соображениям логики, величина x[i,j] должна удовлетворяет еще двум условиям:

M

∑ x[i, j] ≤ 1 (любому сотруднику поручается не более чем одна

i=1

N

работа) и ∑x[i, j] ≤1 (на любую работу назначен не более чем

j=1

один сотрудник). Чтобы было как можно больше назначений, надо

M N

максимизировать функционал ∑∑a[i, j] x[i, j] →max .

i=1 j=1

Таким образом запись задачи состоит из оптимизируемого линейного функционала и нескольких линейных условий, называемых ограничениями. Это типичная задача линейного программирования, которая в общем случае просто решается так называемым симплекс-методом. Однако добавление условия целочисленности результата x[i,j] обычно делает задачу очень трудно решаемой. Как можно было убедиться на примере транспортной задачи, имеется подкласс целочисленных задач линейного программирования, которые решаются вне рамок линейного программирования весьма остроумными алгоритмами.

191

Для рассматриваемой задачи такой алгоритм тоже есть и основан он на теории графов.

НЕОБХОДИМЫЕ УТОЧНЕНИЯ

Для того чтобы сформулировать эту задачу в терминах теории графов, сотрудникам и участкам работы ставятся в соответствие вершины графа, а возможность i-го сотрудника выполнять j-ю работу отображается наличием в графе ребра uij.

Если M – множество сотрудников, N – множество участков работы, то граф G[M,N], отражающий возможные назначения сотрудников на эти работы, называется двудольным (рис. 2.20). Паросочетанием в двудольном графе называется множество ребер, не имеющих общих вершин. На рис. 2.20,а показан пример паросочетания, на рис. 2.20,б – пример наибольшего паросочетания.

Введем понятие чередующихся цепей. Пусть M* – паросочетание в двудольном графе. Цепь, в которую поочередно входят ребра из M* (жирные) и из не-M* (тонкие), назовем чередующейся относительно М*. Например, цепь (1-2'-2-3'-5) (рис. 2.20, а) – чередующаяся. По определению, цепь, состоящая из одного ребра, тоже чередующаяся. Вершины, инцидентные ребрам из M*, назовем насыщенными, прочие – ненасыщенными. Очевидно, что если в графе существует чередующаяся относительно M* цепь с ненасыщенными концевыми вершинами (т.е. тонкими концевыми ребрами), то в ней тонких ребер на одно больше, чем жирных. Например, цепь (1-2`-2-3`-5-6`) (рис. 2.21, а) имеет три тонких ребра и два жирных.

192

Рис. 2.21. Примеры чередующихся цепей

Если цепь «перекрасить», т. е. сделать все жирные ребра тонкими, а тонкие – жирными, то число жирных ребер, а, следовательно, и паросочетание, увеличится на одно ребро (рис. 2.20,б). Чередующаяся относительно M* цепь с ненасыщенными концевыми вершинами называется увеличивающей относительно M* цепью.

Утверждение 1: Паросочетание M является наибольшим тогда и только тогда, когда нет увеличивающих относительно M цепей.

Заметим, что как на рис. 2.20, б, так и на рис. 2.21, б показаны наибольшие паросочетания для одного и того же двудольного графа, причем паросочетания различные.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Дан двудольный граф GM,N. Найти наибольшее паросочетание.

ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА Основная идея

Пусть I={1, 2, ..., M} – номера верхних вершин, а J={1, 2,..., N} – номера нижних. Вначале все вершины ненасыщенные. Построим какое-нибудь начальное паросочетание M*. Далее преобразуем двудольный граф G в орграф G`, введя ориентацию следующим образом: все ребра, вошедшие в M*, ориентируем снизу вверх, т.е. из J в I, а остальные ребра сверху вниз, т.е. из I в J. Пусть I = I- U I+ , J = J- U J+ , где минус означает подмножество ненасыщенных ребер, а плюс – насыщенных. Очевидно, что увеличивающая относительно паросочетания M* цепь существует в

193

графе G тогда и только тогда, когда в G` существует путь [s,...,t], где s I -, а t J- .

Схема работы алгоритма перечисления вершин орграфа, достижимых из s (рис.2.22)

Ввод вершины s=q(a) и массива u(i,j)

z=z+1

q(z)=k

p(k)=q(a)

R(k)=true

a=a+1

P(k)

Рис. 2.22. Схема работы алгоритма для нахождения масксимального числа назначений

194

Возможные сложности

1.Как построить начальное паросочетание?

2.Как определить, существует ли в орграфе путь между заданными вершинами, или в общем случае, как определить множество достижимых вершин из данной (с тем, чтобы поискать среди них нужную ненасыщенную вершину)?

Способы преодоления

1.Для построения начального паросочетания применим "жадный" алгоритм: будем просматривать по очереди вершины из I и, если из i (I) ведут ребра в ненасыщенные вершины из J, будем жадно хватать и вводить в паросочетание первое попавшееся ребро, не думая о последствиях.

2.Для определения достижимых вершин орграфа применяется очень простой алгоритм, который опишем привычным формальным образом и затем будем использовать в основном алгоритме в качестве вызываемой функции.

Формальное описание алгоритма перечисления вершин орграфа, достижимых из s

Ввод:

s – данная вершина;

u[i,j] – массив эквивалентный матрице смежности, задающей дуги в ориентированном графе;

Инициализация:

P [N] – массив, в котором записаны номера предыдущих вершин на пути достижения;

Q [N] – рабочий массив с элементами типа byte;

R [N] - рабочий массив с элементами типа Boolean;

195

Общий шаг:

До тех пор пока a < 2 в цикле рассмотрим все вершины k такие что u[q[a],k]=1 (это вершины, непосредственно следующие за q[a]-й)

Если для вершины k r[k]=false то

z:=z+1, q[z]:=k, p[k]:=q[a], r[k]:=true; a:=a+1;

Вывод: P [k].

Формальное описание алгоритма построения наибольшего паросочетания

Ввод:

a[i,j] – массив с элементами типа Boolean, задающий ребра в двудольном графе;

Инициализация:

Nas_u[x] – рабочий массив с элементами типа Boolean, содержащий насыщенные ребра, размерность массива x=Min(M,N), элемент nas_u[i]=j если i-ый кандидат назначен на j–ую должность. Изначально присвоить nas_u[i]=-1;

Nas_I[M], Nas_J[N] – рабочие массивы с элементами типа Boolean, содержащие информацию о насыщенности вершин из множеств I и J, все элементы изначально равны false;

u[M+N,M+N] – массив, представляющий собой матрицу

Общий шаг:

1.(построение начального M* при помощи «жадного» алгоритма)

В цикле по i от 1 до M

В цикле по j от 1 до N

если (nas_I[i]=false and u[i,j]=1 and nas_J[j]=false) то

nas_I[j]=true, nas_J[i]=true, nas_u[I]:=j;

2.(построение орграфа G`) В цикле по i от 1 до M

196

В цикле по j от 1 до N

если nas_u[i]=j то u[i+M,j]=1

иначе если a[i,j]=1 то u[i,M+j]=1;

3.В цикле по i от 1 до M, если Nas_I[i]=false применить алгоритм перечисления вершин орграфа, достижимых из вершины i. Вход: Nas_I[i], массив u[N+M,N+M]. Выход: массив P[k].

4.Если среди P[k](достижимых вершин) найдется

вершина k такая что (p[k]≠-1 и Nas_J[k-M]=false),

то увеличить M*. Соответствующая цепь L (в инвертированном правда виде) получается из массива P следующим образом

l[1]:=k, t:=2

В цикле пока l[t] ≠ I перекрашиваем цепь

[t]:= p[l[t-1]], t=t+1 nas_I[l[t-1]]:=true;

nas_J[l[1]-M]:=true;

В цикле по r от t-1 до 3 u[l[r], l[r-1]]:=1, u[l[r-1], l[r-2]]:=0, nas_u[l[r]]:=l[r-1]-M, nas_u[l[r-1]-M]:=-1,

Затем перейти к п.3. Иначе – выход.

Вывод:

Nas_u[i] - выдача M*.

197

198