логистика / 0807155_B5569_tihomirova_a_n_sidorenko_e_v_matematicheskie_modeli_i_metody

1, если отрезки pq и ij пересекаются,

В =

0, в противном случае.

Всего имеются четыре возможности (рис. 2.15.).

Ясно, что вершина j не простреливается из i в случаях 1 и 3 (при одинаковых знаках B и G), простреливается – в случаях 2 и 4 (при разных знаках B и G). Кстати, характеристическая функция G позволяет сократить перебор, поскольку справедливо следующее утверждение.

Рис. 2.15. Возможные соотношения между B и G

Утверждение 2. Ни одна вершина ломаной, представляющей кратчайшую трассу, не может иметь G = 0 (за исключением случая, когда в качестве старта и/или финиша назначены вершины с G = 0).

Иллюстрация этого утверждения приведена на рис. 2.16. Если бы кратчайшая трасса a-->...A-->B-->C-->...z, включающая стороны AB и BC, проходила через внешний вогнутый угол B, то между AB, BC и другими препятствиями осталась бы свободная полоса. Тогда можно вращать луч AB вокруг A, пока подвижный конец луча B' не совместится с прямой, проходящей через точки А

182

и C, или не коснется другого препятствия, например точки D. Но AB+B'C < AB+BC. Нам удалось укоротить кратчайшую трассу, что невозможно. По существу данное утверждение представляет собой геометрическое оформление механической аналогии с натянутой нитью.

A

q

D

B

B`

C j1

Рис. 2.16. Иллюстрация утверждения 2

Формальное описание алгоритма

Ввод:

Координаты начала и конца: A[xa, ya], Z[xz, yz] Массивы с координатами препятствий: Bw[1..2,1..Nw,]

Инициализация:

Массив расстояний D[N*N], где N - общее число выпуклых вершин всех многоугольников плюс два для учета старта и финиша.

Схема работы алгоритма показана на рис.2.17.

183

Средний цикл по j от i+1 до N: это перебор помеченных вершин, куда стреляют

Внутренний цикл по k от 1 до N-2: это проверка «простреливаемости» вершины j из вершины i (механизм проверки приведен выше):

если да, то D[i,j]=∞, иначе

D[i,j]= евклидовому расстоянию между i и j. 3.Для массива D[N*N], задающего сеть из N объектов, воспользовавшись алгоритмом Дейкстры, найти кратчайший путь из a в z (алгоритм описан

взадаче 3).

Вывод:

P – массив, содержащий координаты вершин, вошедших

вкратчайший путь.

ПРИМЕР

Даны координаты двух поселков А=[1,5] и Z=[26,4], которые нужно соединить кратчайшей трассой, а также координаты углов объектов, находящихся между связываемыми поселками: заповедник B1 {[7,6], [10,6], [10,2], [7,2], [7,4], [6,4], [6,5], [7,5]}, водоем B2 {[15,9], [17,9], [15,6], [17,4], [13,4]} и

ткацкая фабрика

B3 {[18,5], [21,2], [18,2]} (рис.2.18.). Вычислить длину оптимальной трассы и указать способ ее прокладки.

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРА

Ввод:

Точка А=[1,5]; точка Z=[26,4];

B1: {[7,6], [10,6], [10,2],[7,2], [7,4], [6,4],[6,5], [7,5]} B2: {[15,9], [17,9], [15,6], [17,4], [13,4]}

B3: {[18,5], [21,2], [18,2]}

185

Рис. 2.18. Размещение препятствий на плоскости

Общий шаг:

1. Исключим из перебора вогнутые вершины. Для этого найдем для каждого препятствия максимальную по y вершину, она заведомо будет выпуклой (G = 1).

B1: G (v[7,6]) = 1. Построим уравнение прямой, проходящей через точки v[7,6] и v[10,6]: y – 6 = 0. Подстановка в левую часть координат точек v[7,5] и v[10,2] дает числа одинакового знака

G(v[10,6]) = G(v[7,6]) = 1.

Далее повторим ту же операцию для следующих пар точек, получим:

G (v[10,2])= G(v[10,6])=1 G (v[7,2])= G(v[10,2])=1

G (v[7,4])≠ G(v[7,2]) G(v[7,4])=0 G (v[6,4])≠ G(v[7,4]) G(v[6,4])=1 G (v[6,5])= G(v[6,4])=1

G (v[7,5])≠ G(v[6,5]) G(v[7,5])=0

B2: G(v[15,9])=1, G(v[17,9])=1, G(v[15,6])=0, G(v[17,4])=1, G(v[13,4])=1

B3: G (v[18,5])=1, G(v[21,2])=1, G(v[18,2])=1

186

2. По точкам с G=1 пускаем тройной цикл: i=1 to 15, j=1+1 to 15, k=1 to 13, стреляем из точки A[1,5] в точку [7,6] – уравнение прямой: (y-6)/(5-6)=(x-7)/(1-7) или y=(29+x)/6 прямые (которым принадлежат нужные отрезки – стороны многоугольников) до исключения вогнутых вершин задавались следующими уравнениями:

•y=6; x=10; y=2; x=7; y=4; x=6; y=5; x=7;

•y=9; y=(3x-33)/2; y=x-9; y=4; y=(5x-57)/2

•y=23-x; x=2; х=18,

исключив вершины с G=0, можно произвести «сглаживание» углов (отмечено пунктиром на рис. 2.18.). Таким образом перебор возможных отрезков сократится на количество вогнутых углов. Новый набор:

•y=6; x=10; y=2; y=16-2x; x=6; y=x-1;

•y=9; x=17; y=4; y=(5x-57)/2

•y=23-x; x=2; х=18,

ни с одним из них траектория «пули» до ее попадания в точку j не

пересекается, значит d[1,2]= = (7 -1)2 + (6 - 5)2 = 37

в точку [10,6] – уравнение прямой: y=(x+44)/9

находим искомое пересечение с отрезком y=x-1, значит, эта точка из i не простреливается и d[1,3]=0 и т.д.

В итоге формируется матрица D[i,j], соответствующая ей сеть изображена на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Графическое представление сети

187

ПРИМЕЧАНИЕ

Препятствия могут быть различной степени проходимости. Например, глубокое озеро и не подлежащее сносу здание – условно непроходимые участки, тогда как болотистая местность может быть подвергнута осушению и после этого становится пригодной для строительства, однако это, естественно, повлечет за собой возрастание стоимости прокладки 1 м трассы или иных коммуникаций на такой местности. Ввиду значительной сложности таких задач в рамках данного пособия рассматривать их не будем, а ограничимся условием, что имеющиеся препятствия непроходимы полностью.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.Закончить прогон алгоритма, рассчитать длины указанных ребер и, воспользовавшись алгоритмом Дейкстры, найти кратчайший путь из вершины №1 в вершину №14.

2.Решить задачу. Найти оптимальную трассу от точки А=[1,4] до точки Z=[8,2] по местности с абсолютно непроходимыми препятствиями и вычислить ее длину. Препятствия и конечные точки заданы своими вершинами в декартовой системе координат. Препятствие №1: {[2,3], [4,3], [4,10], [2,5]}, препятствие №2 {[4,1], [6,1], [6,5], [5,4], [4,2]}.

188

2.2. Задачи о назначениях

Далее рассмотрены задачи, возникающие при работе с кадрами. Это та область деятельности предприятия, которая попала под влияние логистики едва ли не самой последней. Однако в современных условиях, в силу доступности и обширности информации о свободных вакансиях, предлагаемых заработных платах и квалификации претендентов на рабочие места, многие кадровые вопросы, особенно при достаточно большом штате сотрудников, могут и должны решаться с использованием оптимизирующих алгоритмов.

Оптимизировать в этом случае, как впрочем, и в других логистических задачах, можно различные параметры при сохранении, как правило, единой глобальной цели: минимизации итоговых издержек.

Часто возникает проблема распределения должностей или, что более вероятно, прямых служебных обязанностей среди имеющегося штата сотрудников, так чтобы по возможности им всем было выделено по одному участку работы, для которого они обладают нужной квалификацией. Эта проблема рассмотрена в рамках задачи, в литературе часто называемой задачей о заключении максимального количества браков (алгоритм чередующихся цепей).

С практической точки зрения на самом деле бывает важно не столько занять всех сотрудников, сколько сделать это разумно. Например, если они в разной степени могут справляться с возложенными на них обязанностями, то речь может идти о максимизации суммарной полезности или эффективности их работы. Если же эффективность ожидается примерно одинаковая или не учитывается, но зарплату эти сотрудники при назначениях должны получать различную (например, в силу стажа работы или квалификации), то можно задаться вопросом о поиске такого назначения, чтобы суммарная зарплата была минимальной. Это так называемые максисуммная и минисуммная постановки задачи, которые решаются идентичным способом и рассмотрены в рамках задачи об оптимальных назначениях (венгерский алгоритм).

189

Если минимизация суммарной зарплаты – это обычная позиция работодателя (причем не слишком обеспокоенного судьбой собственных работников), то в противовес ей можно рассмотреть позицию трудового коллектива, если вдруг именно он будет решать, кто займет предложенные должности при известной сетке индивидуальных зарплат. Тогда наиболее честным с пролетарской точки зрения (если конечно не рассматривать вариант: все суммировать и разделить поровну) будет поиск назначения, при котором самая маленькая зарплата сотрудника будет максимально возможной. С точки зрения разумных капиталистов обычно вопрос ставится несколько иначе: найти назначение, при котором самая низкая эффективность труда (допустим при выполнении операция на поточных линях) будет максимально возможной. Это так называемая задача о назначениях на критичный участок.

В том случае, если ограничения вида «один человек занимает только одну должность и на одну должность назначен только один человек» снимаются, то задача об оптимальном кадровом назначении приобретает другой вид. В этом случае речь идет о том, что каждый соискатель на вакансию в состоянии выполнять некоторое множество функций и нужно подобрать такой штат, чтобы он мог выполнять все перечисленные функции. При этом критерий оптимальности в простейшем случае (допустим при одинаковой зарплате претендентов) представляет собой минимизацию количества задействованных работников. Эта проблема рассмотрена в рамках задачи о наименьшем покрытии.

2.2.1. Максимальное число назначений

Часто бывает так, что на предприятии есть штат сотрудников, имеющих определенный набор знаний и навыков. В соответствии с этими знаниями каждому сотруднику может быть поручены один или несколько участков работы. Если при этом оговаривается, что одновременное выполнение работы на двух и более участках невозможно, то у специалиста из отдела кадров возникает резонный вопрос: как бы загрузить работой

190