логистика / 0807155_B5569_tihomirova_a_n_sidorenko_e_v_matematicheskie_modeli_i_metody

Таблица 2.11. Итоговое решение задачи

Вывод:

Путь от 6 до 1: pred_num[1]=4, pred_num[4]=6, pred_num[6]=0. Длина=curr_dist[1]=15. Сам путь (6,4,1).

Путь от 6 до 2: pred_num[2]=6, pred_num[6]=0.

Длина=curr_dist[2]=13. Сам путь (6,2).

Путь от 6 до 3: pred_num[3]=2, pred_num[2]=6, pred_num[6]=0. Длина=curr_dist[3]=16. Сам путь (6,2,3).

Путь от 6 до 4: pred_num[4]=6, pred_num[6]=0.

Длина=curr_dist[4]=14. Сам путь (6,4).

Путь от 6 до 5: pred_num[5]=1, pred_num[1]=4, pred_num[4]=6, pred_num[6]=0. Длина=curr_dist[5]=16. Сам путь

(6,4,1,5).

Существует совершенно иной подход к задаче нахождения кратчайших путей между всеми парами вершин. Этот метод применим как к неотрицательным, так и к произвольным матрицам весов. Метод был предложен первоначально Флойдом и затем развит Мерчлэндом.

ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА (ФЛОЙДА)

Основная идея Алгоритм Флойда (рис.2.10.) базируется на использовании

последовательности из п преобразований (итераций) начальной матрицы весов С. При этом на k-й итерации матрица представляет длины кратчайших путей между каждой парой вершин с тем ограничением, что путь между xt и хs (для любых xt и хs) содержит в качестве промежуточных только вершины из множества {x1, ..., xk}.

171

Формальное описание алгоритма

Ввод:

Матрица расстояний D={d[i,j]}

Общий шаг:

for k:=1 to N do for i:=1 to N do for j:=1 to N do

d[i,j]:=Min(d[i,j], d[i,k]+d[k,j]);

Вывод:

Матрица кратчайших путей D={d[i,j]}

Схема работы алгоритма показана на рис.2.9.

Ввод матрицы расстояний D

Выбрать d(i,j)

d(i,j)=min(d(i,j),

d(i,k)+d(k,j))

Матрица кратчайших путей

Рис. 2.9. Схема описания алгоритма Флойда

Примечание Алгоритм Флойда фактически без всяких изменений

применяется также в задачах поиска наиболее надежных путей из

172

одного объекта в другой. В этом случае вес дуги равен надежности данного пути, т.е. вероятности его существования (или работоспособности). Очевидно, что надежность пути от вершины s к вершине k, составленного из дуг, взятых из множества U, вычисляется по формуле

η(P) = ∏ηij .

( xi ,x j ) P

Такого рода задачу нахождения наиболее надежного пути можно свести к задаче о кратчайшем пути из s в k, взяв в качестве веса cij дуги (xi, xj) величину cij = -log ηij. Прологарифмировав обе части соотношения, получим:

Отсюда видно, что кратчайший путь от s к k с матрицей весов {c[i,j]}, будет в то же время и наиболее надежным путем с матрицей {η[i,j]}, а надежность этого пути равна антилогарифму его длины.

Анализ сложности

Время, необходимое для решения задачи III при помощи алгоритма Флойда (независимо от наличия или отсутствия отрицательных весов в матрице С), пропорционально O(N3). Отсюда следует его эффективность для произвольных матриц весов. Но даже если этот метод применить к графам с неотрицательной матрицей весов, то он сэкономит почти 50% времени по сравнению с N-кратным применением алгоритма Дейкстры.

К задачам этого типа относят не слишком сложную задачу нахождения кратчайшего пути между двумя вершинами в ориентированном ациклическом графе, обычно возникающую в методах сетевого планирования и управления (СПУ). Применяют СПУ при составлении проектов выполнения работ, состоящих из большого количества этапов, каждый этап изображают вершиной, а дуга uij означает, что j-я работа выполняется после окончания i-й.

173

Каждой дуге приписывается вес, соответствующий минимальной задержке между началом работы i и началом работы j. Собственно говоря, в этих задачах обычно ищут критический, т.е. самый длинный путь между вершиной, изображающей начало работ, и вершиной, символизирующей завершение всех необходимых для реализации проекта работ. Безусловно, такая задача может быть решена при помощи того же алгоритма Дейкстры, но это не слишком экономно, потому что не учитывается специальная структура графа. Для таких графов существуют специальные методы расстановки пометок, которые обычно изучаются в курсе менеджмента.

К более сложным задачам можно отнести задачи нахождения замкнутого обслуживаемого маршрута в графах с двойными весами, когда дуге графа помимо обычного веса cij приписана еще одна характеристика bij, и нужно найти цикл, для которого целевая функция

∑cij

z(Φ) = vi ,v j Φ

∑bij vi ,v j Φ

минимальна (или максимальна). Например, обслуживание самолетом некоторой сети маршрутов – может характеризоваться – упрощенно двумя параметрами: cij - доход от полета, bij - затрачиваемое на полет время. Эта задачу можно решить, используя алгоритм нахождения циклов отрицательного веса.

Во многих практических приложениях помимо нахождения кратчайшего пути требуется, чтобы он обладал дополнительными свойствами. Конечно, ее можно рассматривать как задачу с двойными весами или дополнительными ограничениями, но такие усложнения могут сильно замедлить работу, в общем-то, эффективного алгоритма. Оказывается, что зачастую с практической точки зрения выгоднее найти К кратчайших путей и выбрать среди них тот, который обладает нужным свойством. Алгоритм нахождения К простых кратчайших цепей предложен Йеном.

174

Здесь же стоит упомянуть задачу о нахождении пути от вершины s к вершине t, характеризуемого наибольшей пропускной способностью. Пропускная способность пути Р определяется дугой из Р с наименьшей пропускной способностью. Решение таких задач опирается на нахождение разрезов в графе.

Если попробовать еще больше приблизить математическую модель к возможным реальным условиям, помимо пропускной способности можно ввести еще одну характеристику дуг, например надежность. Так формулируется задача о приведенной пропускной способности, а ее решение является комбинацией предыдущей задачи и задачи о нахождении наиболее надежного пути.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

В городе N шесть школ. Для организации завтраков привлекается единственный в городе комбинат питания. Комбинат питания ежедневно доставляет в каждую школу необходимое количество готовых завтраков (использование одного авто для попутной доставки в несколько школ исключается). Расстояния между школами и комбинатом представлены в таблице.

Найти кратчайшие расстояния между всеми школами и комбинатом питания.

Таблица 2.12.Исходные данные к задаче для самостоятельного решения

175

2.1.4. Прокладка коммуникаций между препятствиями

Ранее были рассмотрены задачи планирования сети коммуникаций, связывающей ряд объектов, при выполнении идеализированного условия всюду и абсолютно пригодной для этой цели местности, и как следствие – одинаковой стоимости прокладки коммуникаций по всей территории. На самом деле, даже если взять всего лишь два объекта, то прокладке оптимального с геометрической точки зрения пути (т.е. прямой, соединяющей два объекта) препятствует множество факторов: реки, озера, горы, имеющиеся здания, болотистые участки и т.д. Подобные задачи обычно называют задачами трассировки.

Вообще говоря, различают два вида задач трассировки.

Задача строительной трассировки: дано множество объектов и имеющихся абсолютно непроходимых препятствий. Необходимо проложить трассу минимальной протяженности, связывающую имеющиеся объекты друг с другом. При этом ранее проведенные трассы препятствиями не являются.

Задача электронной трассировки: дана пустая плата с микроклеммами. Надо соединить согласно схеме нужные клеммы напыленными на плату металлическими проводящими дорожками. Эти трассы являются препятствиями для следующих трасс: следующие не должны пересекать предыдущие.

В логистике электронная трассировка не находит прямого применения и потому не изучается, в отличие от строительной трассировки, о которой пойдет речь ниже.

НЕОБХОДИМЫЕ УТОЧНЕНИЯ

Препятствия будем приближенно изображать многоугольниками. Это не сужает класс решаемых задач, т.к. разрешается применять многоугольники произвольного вида с достаточным числом углом: т.о. всякое препятствие можно аппроксимировать к многоугольнику с точностью, достаточной для приложений. В случае препятствий-многоугольников кратчайшая трасса образует ломаную с узлами в вершинах многоугольников. Поскольку препятствия непреодолимы, звено ломаной – это либо

176

сторона многоугольника (рис. 2.10, а), при этом трасса идет вдоль стены с внешней стороны препятствия, либо прямолинейный отрезок, проходящий вне многоугольника и соединяющий две вершины одного и того же или разных многоугольников (рис. 2.10,б).

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Дан всюду (кроме препятствий) проходимый участок местности, стартовая точка А и финишная Z. Найти кратчайшую трассу из A в Z.

ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА (ЧУЧУНДРЫ)

Название алгоритма придумано математиком Бондаревым в 1988 г. Чучундра – это имя крысы из сказки Киплинга, которая, предпочитала ходить вдоль стен.

Основная идея Нужно построить сеть, состоящую из сторон

многоугольников и из прямоугольных отрезков, соединяющих вершины разных многоугольников или вершины одного многоугольника при условии, что они «простреливаются» друг из друга (препятствия считаются пуленепробиваемыми). Точки A и Z, если они не вершины многоугольников, тоже нужно соединить с простреливаемыми из них вершинами. После того, как сеть построена, на ней нужно, пользуясь, например, алгоритмом Дейкстры, найти кратчайший путь из A в Z.

Z Z

Возможные сложности Как проверить, что две вершины сети «простреливаются»

друг из друга, т.е. что соединяющая их прямая не пересекается со сторонами многоугольников?

Способы преодоления 1. Если ситуация соответствует рис. 2.11, то факт

«простреливаемости» проверяется по стандартным формулам аналитической геометрии:

выписывается уравнение прямой, проходящей через i, j:

выписывается уравнение прямой, проходящей через концы отрезка k:

Z

j

k2

Рис. 2.11. Явно непростреливаемые вершины

Решением системы из этих двух уравнений находится точка пересечения (x*,y*) и устанавливается, лежит ли точка пересечения

178

внутри рассматриваемых отрезков – если это так, должны

выполняться четыре условия: Min(k1x, k2x)<x*< Max(k1x, k2x);

Min(ix, jx)<x*< Max(ix, jx); Min(k1y, k2y)<y*< Max(k1y, k2y);

Min(iy, jy)<y*< Max(iy, jy).

В этом случае присваиваем соответствующему элементу матрицы расстояний значение, равное бесконечности (нет пути), d[i,j]:=∞, и заканчиваем цикл по k.

Если хотя бы одно из условий не выполняется, продолжаем цикл по остальным k и в случае такого же результата по окончании перебора всех существующих ребер вычисляем Эвклидово расстояние

d[i,j] = (ix − jx )2 +(iy − jy )2 .

2. Если ситуация соответствует рис. 2.12, то решение не столь очевидно.

i

j

Рис. 2.12. Неявно непростреливаемые вершины

Между i и j не проходит никакой стены, но, тем не менее, j из i не простреливается. Чтобы преодолеть эту трудность, введем некую характеристику угла препятствия: G[i], положив

0, если угол i «вогнутый»;

G[i]=

1, если угол i «выпуклый».

179

Мы рассматриваем внешний угол препятствия. Так, угол с вершиной i на рис. 2.12 – выпуклый, а угол с вершиной j – вогнутый. Для вычисления G[i] понадобится простое утверждение.

Утверждение 1: Пусть i, i+1, i+2, i+3 – последовательные вершины многоугольника. Если крайние вершины i и i+3 лежат по одну сторону от прямой, проходящей через средние вершины i+1 и i+2 , то G[i+1]=G[i+2], иначе G[i+1] ≠ G[i+2] .

А) Пусть имеет место случай, показанный на рис. 2.13.

G[i+1]=G[i+2]:

•если препятствие лежит ниже ломаной (эскиз слева), то

G[i+1]=0 и G[i+2]=0;

•если препятствие лежит выше ломаной (эскиз справа), то

G[i+1]=1 и G[i+2]=1.

Б) Пусть имеет место случай, показанный на рис. 2.14:

•если препятствие лежит ниже ломаной (эскиз слева), то

G[i+1]=1 и G[i+2]=0;

•если препятствие лежит выше ломаной (эскиз справа), то

G[i+1]=0 и G[i+2]=1.

Утверждение доказано.

180