логистика / 0807155_B5569_tihomirova_a_n_sidorenko_e_v_matematicheskie_modeli_i_metody

встречается в логистике, так что рассмотрение этих специальных (и более простых) алгоритмов вполне оправдано.

Если же некоторые ребра имеют отрицательный вес, то единственное ограничение состоит в том, чтобы в G не было циклов с суммарным отрицательным весом. Если такой цикл Ф все же существует и vt — некоторая его вершина, то, двигаясь от s к vt, обходя затем Ф достаточно большое число раз и попадая, наконец, в t, мы получим путь со сколь угодно малым (- ∞) весом. Таким образом, в этом случае кратчайшего пути не существует.

Если, с другой стороны, такие циклы существуют, но исключаются из рассмотрения, то нахождение кратчайшего пути (простой цепи) между s и t эквивалентно нахождению в этом графе кратчайшего гамильтонова пути с концевыми вершинами s и t. Задача нахождения кратчайшего гамильтонова пути намного сложнее, чем задача о кратчайшем пути – поэтому в рамках данного пособия рассматривать ее не будем и предположим, что все циклы в G имеют неотрицательный суммарный вес. Отсюда также вытекает, что неориентированные дуги (ребра) графа G не могут иметь отрицательные веса.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В ориентированной, неориентированной или смешанной (т. е. где часть дорог имеет одностороннее движение) сети найти кратчайший путь из заданной вершины во все остальные.

Возможные постановки задачи

Пусть дан граф G = (V, U), дугам которого приписаны веса (стоимости), задаваемые матрицей С = [сij]. Элементы {сij} матрицы весов С могут быть в общем случае положительными, отрицательными или нулями.

I. Найти кратчайший путь от заданной начальной вершины s V до заданной конечной вершины t V.

II.Найти кратчайшие пути от заданной начальной вершины s V до всех других вершин vt V.

III.Найти кратчайшие пути между всеми парами вершин vs, vt V.

161

Во всех трех случаях поиск кратчайшего пути между s и t имеет смысл, если такой путь, вообще говоря, существует, т. е. при условии t R (s). Здесь R (s) — множество, достижимое из вершины s. В случае неориентированного связного графа такой путь существует между любой парой вершин (по определению связности).

На самом деле, почти все методы, позволяющие решить задачу I о кратчайшем (s-t)-пути, дают также (в процессе решения)

ивсе кратчайшие пути от s к vt (vt V). Таким образом, они позволяют решить задачу II с небольшими дополнительными вычислительными затратами. С другой стороны, задача III может быть решена либо N-кратным применением алгоритма задачи I, причем на каждом шаге в качестве начальной вершины s берутся различные вершины, либо однократным применением специального алгоритма.

Как и для большинства задач, для решения задачи о кратчайших путях можно предложить много процедур решения. Например, физическое моделирование такого рода: на плоской доске рисуется карта местности, в города и развилки вбиваются гвозди, на каждый гвоздь надевается кольцо, дороги укладываются веревками, которые привязываются к соответствующим кольцам. Чтобы найти кратчайшее расстояние между кольцом i и кольцом k, нужно взять i в одну руку, взять k в другую и растянуть. Те веревки, которые натянутся и не дадут разводить руки шире, и образуют кратчайший путь между i и k. Однако математическая процедура, которая промоделирует эту физическую, выглядит очень сложно.

Известны алгоритмы попроще, один из которых будет описан далее. Это алгоритм, предложенный Дейкстрой еще в 1959 г. для систем с неотрицательными значениями весов и алгоритм Флойда для произвольных матриц весов. Алгоритм Дейкстры в чистом виде решает задачу II (а значит автоматически

изадачу I за то же время, и задачу III в случае N-кратного применения). Алгоритм Флойда сразу же дает решение задачи III.

Предполагаем, что матрица не удовлетворяет, вообще говоря, условию треугольника, согласно которому

162

с[i,j] <= с[i,k]+с[k,j] для всех i, j, k. В противном случае кратчайший путь между хi и хj состоит из одной единственной дуги (vi, vj) и задача становится тривиальной (если конечно такая дуга существует).

Если в графе G дуга (vi,vj) отсутствует, то ее вес полагается равным ∞.

ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА (ДЕЙКСТРЫ) Основная идея

Алгоритм применим только при условии, что с[i,j]≥0, и основан на приписывании вершинам временных пометок, причем пометка вершины дает верхнюю границу длины пути от s к этой вершине. Эти пометки (их величины) постепенно уменьшаются с помощью некоторой итерационной процедуры, и на каждом шаге итерации точно одна из временных пометок становится постоянной. Последнее указывает на то, что пометка уже не является верхней границей, а дает точную длину кратчайшего пути от s к рассматриваемой вершине.

Формальное описание алгоритма (Дейкстры)

Пояснения:

Алгоритм использует три массива из N (число вершин сети) чисел каждый. Первый массив Metka содержит метки с двумя значения: 0 (вершина еще не рассмотрена) и 1 (вершина уже рассмотрена); второй

d[i,j]=∞.

Ввод:

Матрица расстояний D={d[i,j]}

163

Инициализация:

(i - номер стартовой вершины)

Вцикле от 1 до N заполнить нулями массив Metka; Заполнить числом i массив Pred_num;

Перенести i-ю строку матрицы D в массив Curr_dist; metka[i]:=1;

pred_num[i]:=0

Общий шаг:

Вцикле от 1 до N

1.Найти минимум среди неотмеченных вершин (т. е. тех k для которых metka[k] = 0); пусть минимум достигается на индексе j).

Затем выполняются следующие операции: 2.metka[j]:=1; (пометить выбранную вершину) 3.В цикле по k от 1 до N: если curr_dist[j]+d[j,k]< curr_dist[k], то

curr_dist[k]:=curr_dist[j]+d[j,k]; pred_num[k]:=j

Т.о. если наименее короткий известный путь из i в k длиннее, чем сумма наиболее короткого пути из i в j и прямого пути (j, k), значение элемента curr_dist[k] заменяется на сумму значений элементов curr_dist[j]и d[j,k]. По выходу из цикла все metka [i] = 1 (все вершины отмечены), и длина минимального пути от i до k равна curr_dist[k].

Вывод:

Теперь надо перечислить вершины, входящие в кратчайший путь. Путь от i до k выдается в обратном порядке следующей процедурой

z:= pred_num[k] ;

Выдать z;

z:=pred_num[z]. Если z = 0, то конец, иначе опять выдать z.

Анализ сложности

Для решения задачи II (а значит и задачи I) нужно N раз просмотреть массив Curr_dist из N элементов, т. е. алгоритм Дейкстры имеет квадратичную сложность: O(N2).

164

Для решения задачи III (если надо узнать кратчайшие пути между всеми вершинами) нужно N раз повторить алгоритм Дейкстры, принимая по очереди каждую вершину за стартовую. В случае полного графа с неотрицательной матрицей весов С время, необходимое для вычислений, пропорционально O(N3), а для произвольной матрицы весов оно пропорционально O(N4).

Схема работы алгоритма показана на рис.2.8.

Ввод матрицы расстояний D

Выбрать стартовую вершину (номер i)

Metka=0 для всех вершин, кроме стартовой (=1)

Curr_dist=i-ая строка матрицы D

Pred_num=i для всех вершин, кроме стартовой (=0)

Для Metka=0 найти минимальное значение Curr_dist

Для минимального Curr_dist Metka:=1

Рис. 2.8. Схема работы алгоритма Дейкстры (начало)

165

причем объем продукции всегда соответствует максимальной загрузке автомобиля (таким образом, использование одного авто для попутной доставки в несколько булочных исключается). Специалист отдела логистики лично проехал между всеми этими объектами и занес в таблицу реальное расстояние между i-й и j-й булочными (если между ними есть дорога): т.о. была учтена дорожная ситуация. Найти оптимальный путь от комбината к каждой из булочных. Критерий: минимизация расходов на транспортировку, соответствующих пройденному расстоянию.

В составленной специалистом таблице 2.5. под №6 указан сам хлебобулочный комбинат.

Таблица 2.5. Матрица исходных данных к задаче

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРА

Инициализация:

(i=6, metka[6]=1):

Таблица 2.6. Инициализация исходных данных

Общий шаг:

Запускаем цикл от 1 до 5.

167

1. Возьмем наиболее близкую к нужной и еще неотмеченную вершину, это вершина №2 (j=2)

1.1.Пометим ее как рассмотренную metka[2]:=1

1.2.В цикле по k от 1 до 6 сравним d[i,j]+d[j,k] и d[i,k], т.е. в данном случае curr_dist[2]+d[2,k] и curr_dist[k] (иными словами здесь сравнивается кратчайший из известных путей 2 от вершины 6 через вершину №2 к остальным вершинам и прямой путь от вершины №6 к остальным, т.е. на первом шаге тот, что был первоначально записан в матрице D)

2. Возьмем наименьшую из неотмеченных вершин, это №4 (j=4)

2.1.Пометим ее как рассмотренную metka[4]:=1

2.2.В цикле по k от 1 до 6 сравним curr_dist[4]+d[4,k] и curr_dist[k] (иными словами здесь сравниваются наименьшие из известных путей от вершины 6 через вершину №4 к остальным вершинам и наиболее короткий известный путь от №6 к остальным)

при k=1: curr_dist [4]+d[4,1] =14+1=15, curr_dist [1]=18 curr_dist

[1]:=15, pred_num [1]:=4

168

при k=2: curr_dist [4]+d[4,2] =14+8=22, curr_dist [2]=13 никаких изменений

при k=3: curr_dist [4]+d[4,3] =14+8=22, curr_dist [3]=16 никаких изменений

при k=4: curr_dist [4]+d[4,4] =14+0=14, curr_dist [4]=14 никаких изменений

при k=5: curr_dist [4]+d[4,5] =14+6=20, curr_dist [5]=19 никаких изменений

при k=6: curr_dist [4]+d[4,6] =14+12=26, curr_dist [6]=0 никаких изменений.

Таблица 2.8. Третий этап решения задачи

3. Возьмем неотмеченную вершину, теперь это вершина №1 (j=1)

3.1.Пометим ее как рассмотренную metka[1]:=1

3.2.В цикле по k от 1 до 6 сравним curr_dist [1]+d[1,k] и curr_dist

[k] (иными словами здесь сравниваются наименьшие из известных путей от вершины 6 через вершину №1 к остальным вершинам и наиболее короткий известный путь от №6 к остальным)

при k=1: curr_dist [1]+d[1,1] =15+0=15, curr_dist [1]=15 никаких изменений

при k=2: curr_dist [1]+d[1,2] =15+5=20, curr_dist [2]=13 никаких изменений

при k=3: curr_dist [1]+d[1,3] =15+4=19, curr_dist [3]=16 никаких изменений

при k=4: curr_dist [1]+d[1,4] =15+12=27, curr_dist[4]=14 никаких изменений

при k=5: curr_dist [1]+d[1,5] =15+1=16, curr_dist [5]=19 curr_dist

[5]:=16, pred_num [5]:=1

при k=6: curr_dist [1]+d[1,6] =15+∞=∞, curr_dist [6]=0 никаких изменений.

169

Таблица 2.9. Четвертый этап решения задачи

4. Возьмем неотмеченную вершину, например №5 (j=5)

4.1.Пометим ее как рассмотренную metka[5]:=1

4.2.В цикле по k от 1 до 6 сравним curr_dist [5]+d[5,k] и curr_dist

[k] (иными словами, здесь сравниваются наименьшие из известных путей от вершины 6 через вершину №5 к остальным вершинам и наиболее короткий известный путь от №6 к остальным)

при k=1: curr_dist [5]+d[5,1] =16+4=20, curr_dist [1]=15 никаких изменений

при k=2: curr_dist [5]+d[5,2] =16+9=25, curr_dist [2]=13 никаких изменений

при k=3: curr_dist [5]+d[5,3] =16+3 =19, curr_dist [3]=16 никаких изменений

при k=4: curr_dist [5]+d[5,4] =16+8=24, curr_dist [4]=14 никаких изменений

при k=5: curr_dist [5]+d[5,5] =16+0=16, curr_dist [5]=16 никаких изменений

при k=6: curr_dist [5]+d[5,6] =16+∞=∞, curr_dist [6]=0 никаких изменений.

Таблица 2.10. Пятый этап решения задачи

5. Возьмем последнюю вершину №3 (j=3) 5.1.Пометим ее как рассмотренную metka[3]:=1

5.2. Очевидно, что поскольку в массиве curr_dist путей больше 16 не осталось, тогда как curr_dist[3]=16, то дальнейшее улучшение результата невозможно.

170