8337
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Филатов Л.В.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекциям и практическим занятиям для обучающихся по дисциплине «Аналитические и численные методы решения уравнений
математической физики»
по научной специальности 2.1.3 Теплоснабжение, вентиляция, кондиционирование воздуха, газоснабжение и освещение;
по научной специальности 2.1.6 Гидротехническое строительство, гидравлика и инженерная гидрология
Нижний Новгород
2022
2
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Филатов Л.В.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекциям и практическим занятиям для обучающихся по дисциплине «Аналитические и численные методы решения уравнений
математической физики»
по научной специальности 2.1.3 Теплоснабжение, вентиляция, кондиционирование воздуха, газоснабжение и освещение;
по научной специальности 2.1.6 Гидротехническое строительство, гидравлика и инженерная гидрология
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
3
УДК: 519.2 (076.5)
Филатов Л.В. Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики: учеб. - метод. пос. / Л.В. Филатов; Нижегородский государственный архитектурно - строительный университет. – Нижний Новгород: ННГАСУ, 2022. – 51 с. ил.– Текст: электронный
Рассматривается основные методы решения уравнений математической физики. На примере уравнения теплопроводности излагается метод Фурье аналитического решения в виде функциональных рядов. Даются представление о приближенных проекционных методах Галеркина, Ритца и методе конечных элементов. Приводятся основы конечноразностного метода численного решения начально-краевых задач. Даются примеры решения задач, набор расчетных заданий и контрольных вопросов для самопроверки материала.
Пособие предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики» по научным специальностям 2.1.3
Теплоснабжение, вентиляция, кондиционирование воздуха, газоснабжение и освещение; 2.1.6 Гидротехническое строительство, гидравлика и инженерная гидрология.
© Л.В. Филатов, 2022 © ННГАСУ, 2022.
4
Введение
Для исследования реальных физических объектов и/или их систем различных пространственно-временных масштабов строятся математические модели, отражающие основные наблюдаемые свойства объектов, интересующих исследователя. Состояние системы в модели описывается координатными функциями сосредоточенными X k X k (t) или распределенными
Uk Uk (t, x, y, z) .
В динамических моделях координаты однозначно задают состояние системы, а в стохастических и квантовых случайно и являются случайными функциями. В динамических моделях основные законы изменения состояний объектов представляют собой конечные связи или дифференциальные уравнения
fk (t, X i , |
dX j |
) 0 |
k, i, j 1, 2,...n |
|
dt |
||||
|
|
|
для дискретных (сосредоточенных) систем объектов и
F (t, x, y, z,U |
, |
U j |
, |
2U j |
|
,..) 0 |
k, i, j 1, 2,...n, |
|
|
|
|
||||||
k |
i |
|
x |
|
x x |
|
||
|
|
|
s |
|
s |
r |
|
|
x0 t, |
x1 x, |
x2 y, |
|
x3 z |
|
для непрерывных (распределенных) систем объектов.
Количество координат определяет количество степеней свободы в модели, а количество пространственных координат распределенной системы размерность модели, так одномерная модель содержит только координату х, двухмерная x,y, а трехмерные модели x,y,z. Стационарные модели не исследуют изменения распределенных систем во времени, поэтому переменная t в них отсутствует.
Решение дифференциальных уравнений в обыкновенных производных для дискретных моделей и дифференциальных уравнений в частных производных не однозначно и зависит от произвольных констант или произвольных функций. Для нахождения единственного решения, соответствующего реальности, система уравнений модели должна быть дополнена дополнительными соотношениями, это начальными условиями и краевыми условиями для распределенных моделей.
Математическая физика имеет своим предметом решение и анализ уравнений распределенных моделей. Уравнения математической физики (УМФ) по своим качественным свойствам подразделяются на гиперболические (процессы колебаний и распространения волн), параболические (процессы диффузии и эволюции возмущений) и эллиптические (стационарные равновесные состояния). Задачи решения УМФ сложны как с точки зрения существования и единственности решения, так и его нахождения в той или иной форме. Существует не много методов решения и задач, допускающих получить решение в аналитической форме. Метод характеристик позволяет
5
находить решения в конечной форме, методы потенциалов и функций Грина дают решение в интегральном виде, метод Фурье представляет решение в виде функциональных рядов. Все эти классические методы позволяют решать и анализировать достаточно простые (модельные) уравнения. Для решения достаточно сложных задач имитационного моделирования на сегодня доступны методы численного решения.
В данном пособии рассматриваются задачи теплопроводности аналитическим методом Фурье и численными проекционно-сеточными методами.
I. Аналитические методы решения уравнений математической физики
Известно, что теплопередача осуществляется при помощи конвекции, теплопроводности и теплового излучения. Рассмотрим задачу о теплопроводности твердого тела.
Температура в каждый момент t в твердом теле V в каждой его точке M описывается координатной функцией u(t,M). Пусть dV малый элемент тела в окрестности точки М. При наличии источников тепла в этот элемент за время dt поступит тепло dQ1 F (M ,t)dVdt . Через границу этого элемента за счет
теплопроводности согласно закона Фурье уйдет тепло в соседние элементы
dQ2 gradu d dt , где |
(M ) - коэффициент теплопроводности |
материала |
|||
|
|
тела. Часть |
тепла |
dQ3 c dVdu |
идет на |
|
|
увеличение внутренней энергии элемента с |
|||
|
|
повышением его температуры на du, где c(M ) |
|||
|
|
локальная теплоемкость, а (M ) локальная |
|||
|
|
плотность |
материала |
тела. |
Уравнение |
|
|
теплового баланса будет dQ1 dQ2 dQ3 . |
|||
|
|
Интегрируя это уравнение по произвольному |
|||
|
|
обьему V с учетом формулы Остроградского- |
|||
|
|
Гауса получим уравнение теплопроводности |
|||
|
c u |
div( gradu) F (M ) |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
Если тело однородно и изотропно, |
то все коэффициенты постоянны, |
/ c a2 , F / c f (t, M ) и тогда процесс распределения тепла во времени по телу путем теплопроводности описывается уравнением
u a2 u f (t, M ) ,
t
6
где u div[grad(u)] |
- оператор Лапласа, который в прямоугольных координатах |
|||||||||||||||||||
для точек M(x,y,z) |
будет |
|
u |
2u |
|
2u |
2u |
,а в цилиндрических координатах |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
u |
|
1 2u |
|
2u |
||||||||||||
точки M( r, , z ) будет u |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
||
r |
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
2 |
|
z |
|||||||||
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
Физически ясно, что решение уравнения должно быть единственным, но решения уравнения теплопроводности многозначны. Поэтому для единственности необходимо дополнить задачу начальными и граничными условиями.
|
|
А) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
u(t, M ) |
|
t 0 (M ) - начальные условия в твердом теле D, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
B) граничными условиями |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
В1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
u(t, M ) |
|
M 1(t, M ) - граничное условие 1-го типа на границе Г |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
тела D, задающее температуру на границе |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
В2) |
|
|
|
|
|
|
|
2 (t, M ) - граничное условие 2-го типа на границе Г |
|||||||||||
|
|
|
u(t, M ) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n |
M |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
тела D,задающее теплообмен на границе. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
В3) |
|
|
|
|
3 (t, M ) - граничное условие 3-го типа на |
||||||||||||||
|
|
1 u(t, M ) 2 |
u(t, M ) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
M |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
границе Г тела D, со смешанным условием 2 |
(t, M ) 2 (t, M ) |
|
|
0 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция f (t, M ) задает внешние источники |
(поглотили) тепла внутри |
||||||||||||||||||
тела, а постоянная a2 - характеризует теплопроводность однородного тела. |
|||||||||||||||||||||
|
|
Если функции f (t, M ) 0, r (t, M ) 0 , то говорят об однородной краевой |
|||||||||||||||||||
задаче. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
§ 1.1. Эвклидово функциональное пространство. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Пространство функций |
определенных в |
|
некоторой |
|
области D |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
называется |
|
эвклидовым |
|
|
линейным |
|||||||||
H |
|
f (x), g(x), h(x),... |
x D[x |
x |
..] |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространством если:
- H – линейное пространство над полем действительных чисел R ( , ) . Т.е
1 f (x) 2 g(x) 3h(x) ... H , i R
- В пространстве Н введена операция скалярного умножения f (x), g(x) H
( f , g) R
такое что: ( f , g) (g, f ) ; ( f , g) ( f , g) R ; ( f g, h) ( f , h) (g, h);
( f , f ) 0 ; ( f , f ) 0 f 0 .
- В пространстве Н определена норма элементов f ( f , f ) или f 2 ( f , f ) .
При этом |
|
0; |
|
f |
|
0 |
f 0 , а норма разности |
f |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f g r 0 называется расстоянием между элементами f и g .
7
Некоторые свойства в евклидовом пространстве. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- так как ( f g)2 0 R , |
|
то ( f , g)2 ( f , f ) (g, g) неравенство Коши- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Буняковского. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f , g) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
- поскольку из предыдущего |
|
|
|
|
|
|
|
1 , то вводится понятие угла между |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
элементами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
( f |
|
, g) |
, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
а значит |
и понятие ортогональных |
|
|
|
(перпендикулярных) элементов при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( f , g) 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
|
ортогональных |
|
элементов |
справедлива |
теорема |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пифагора: |
|
f g |
|
|
|
2 |
|
|
|
f |
|
|
|
2 |
|
|
|
g |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим Гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом.
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
a,b |
|
|
|
f (x), g(x), h(x),... |
x |
a,b |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем H , |
|
f 2 (x) (x)dx , а |
(x) 0 |
вес в H . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
( f , g) b |
f (x)g(x) (x)dx , |
|
а норма |
|
f |
|
|
|
|
b |
f 2 (x) (x)dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
§ 1.2. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. |
|||||||||||||||
i |
|
Рассмотрим |
|
бесконечную |
ортогональную |
систему базисных функций |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
в |
H (a, b) |
. Ограничившись первыми n функциями рассмотрим их |
||||||||||||||||||
линейную оболочку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vn [a, b] |
i i (x) , i R . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
||||||
|
|
Все оболочки вложены друг в друга и являются подпространствами в |
|||||||||||||||||||
H2 (a, b) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V V V ... V ... H |
(a, b) . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
Если взять произвольную функцию |
f H 2 (a, b) , то она может быть в |
каком то подпространстве, а может и не быть. Построим ее проекцию на Vn .
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку fn |
i i (x) , то рассмотрим невязку (отклонение) n |
|
f fn |
0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
f n |
|
|
2 |
|
2 2 n |
|
( f , |
) |
n 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n 2 2 |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
2 |
( f , |
|
|
|
|
|||||||||||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n |
|
k |
|
k |
|
|
k |
k |
k |
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k k |
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение в квадратных скобках будет минимально при |
|
|
( f , i ) |
c |
и |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
2 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такие коэффициенты называются коэффициентами Фурье функции по базису.
8
n
Таким образом, fn ck k (x) Vn является ортогональной проекцией функции
k 1
на подпространство так как ( n , k ) 0, k n .
Подставив коэффициенты Фурье в выражение для n2 и учитывая что
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
||||||||
( f , k ) ck |
|
получим: |
n2 |
|
|
2 |
ck2 k2 0 |
или ck2 k2 |
|
|
|
f |
|
|
|
2 |
неравенство |
|||
k |
f |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
k 1 |
|
||||||||
Бесселя-Парсеваля. Это означает, |
что если рассмотрим f H2 [a, b] по базису |
|||||||||||||||||||
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(x) бесконечный ряд |
c |
|
(x) , |
|
то он сходится и называется рядом Фурье |
i 1
функции. Вопрос к чему он сходится? Он может сходиться к другой функции в или вне H 2 [a, b].
Бесконечный базис i (x) называется полным в H 2 [a, b] , если для любой функции ее ряд Фурье сходиться к ней, то есть любая функция представима
|
|
|
|
|
|
|
|
|
своим и только своим рядом Фурье f (x) ci i (x) . |
|
|
|
|
||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
Как найти полные ортогональные базисы в H 2 [a, b] |
или вообще в H 2 [D] ? |
|||||||
Рассмотрим, например, ортогональную в H2 ( l l) |
с весом (x) 1 |
|||||||
|
1 |
|
k |
|
|
k |
|
|
систему тригонометрических функций |
|
, cos |
|
x, |
sin |
|
|
x . Согласно |
2 |
l |
l |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
теоремы Дирихле, любая кусочно-непрерывная и ограниченная функция
f (x) может быть однозначно разложена на симметричном интервале ( l l) в ряд Фурье
|
a |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x) |
0 |
ak |
cos |
|
x bk sin |
|
x с коэффициентами Фурье |
|||||||||||
2 |
l |
l |
||||||||||||||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 l |
|
k |
|
|
|
|
1 l |
k |
|
||||
|
|
ak |
|
|
|
f (x) cos |
x dx , bk |
|
|
|
f (x) sin |
x dx |
||||||
|
|
|
|
l l |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
l |
|
l |
|
|
|
|
l |
|
9
В частности, нечетные на ( ) функций разлагаются в ряд по системе функций sin kx
Кроме того, если взять любую линейно-независимую систему функций, то ее всегда можно привести к ортогональной. Действительно, пустьyi (x) линейно-независимая система. Тогда процесс ортогонализации Грамма-
Шмитта таков:
z1 y1
z |
2 |
y |
2 |
a z |
, |
|
|
(z |
, z ) 0 a |
( y , z ) / |
|
z |
|
2 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
21 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
21 |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
3 |
y a z a z |
2 |
, |
(z , z ) 0, a |
( y , z ) / |
|
|
|
|
|
2 |
; |
(z , z |
) 0 a |
( y , z |
) / |
|
z |
2 |
|
|
|
2 |
||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
31 |
1 |
32 |
|
3 |
1 |
31 |
|
3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
32 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
…………………………………………………………………………………………
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
zi yi |
aij z j , |
(zi , z j ) 0, aij |
( yi , z j ) / |
z j |
|
j i |
|
||||||||
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Важные примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим линейно - |
|
2 |
независимую бесконечную |
систему в |
|||||||||
Гильбертовом |
пространстве |
|
|
|
|
с |
весом (x) 1 , |
а именно |
|||||||
H |
|
|
1, |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
i |
xi линейно-независима и известно ее использование в |
||||||||||
1, x, x2 |
, x3 ,..., xn ,... |
, она y |
|
степенных рядах Тейлора-Маклорена. Ортогонализируем ее.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 y0 , |
|
z0 1 , |
|
z0 |
|
2 |
|
|
12 dx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 0 , |
|
|
|
2 |
1 |
x2dx |
x3 |
|
|
1 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
z y a z , a |
|
|
x 1dx / |
z |
|
z x , |
z |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
10 |
0 |
10 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
y a z |
|
a z |
, |
z |
|
|
1 |
(3x2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
20 |
21 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
x2 1dx / |
|
|
|
z |
|
2 |
|
x3 |
|
|
1 |
/ 2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
z |
|
|
|
2 |
x4 |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
, a |
|
|
|
xdx / |
|
|
3 2 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
21 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…………………………………………………………………………………………
Полученные на отрезке [-1;1] ортогональные с весом (x) 1 многочлены
zi Pi (õ) называются многочленами Лежандра. Для них имеет место следующая |
|||||||||||||||
рекуррентная формула: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Pi 1 (x) |
2i 1 |
x Pi (x) |
i |
Pi 1 (x) , а так же их норма |
|
|
|
Pi (x) |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i 1 |
P (x) 1 , |
P (x) x , |
P (x) |
1 |
(3x2 1) |
, P (x) 1 |
2 |
(5x3 3x) , |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P (x) 1 |
8 |
(35x4 |
30x2 3) |
, |
P (x) 1 |
(63x5 70x3 15x) |
, … |
|||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
8 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для многочленов Лежандра справедливы формулы: |
|
||||||||||||||||||
Pi (x) |
|
1 |
|
d i |
(x2 |
1)i - формула Родрига, |
|
|
|
|||||||||||
|
i |
i |
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
i! dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi (x)ti |
, (x,t) - производящая функция |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 2tx t |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
многочленов