19. Злп: Несбалансированные транспортные модели

В общем случае транспортная задача имеет следующий вид: дано т поставщиков продукции одного вида и п потребителей; предложение каждого i-го поставщика составляетa_i единиц, ; спрос каждогоj-го потребителя – b_j единиц, тарифы перевозок равныс_ij, ,Требуется определить оптимальный план перевозок продукции (т. е. количество продукции, перевозимой от каждого поставщика каждому потребителю), и котором суммарная стоимость перевозок минимальна. Заметим, что транспортная модель строится при условии линейной зависимости стоимости перевозок от количества перевозимой продукции.

Пусть х_ij – количество продукции, перевозимой от i -го поставщика  j-му потребителю ;

Формально транспортная задача записывается следующим образом:

                                                  (4.1)

              

Определение 4.1             Совокупность чисел (),;; удовлетворяющая ограничениям (4.2)–(4.5), называется планом перевозок или планом транспортной задачи.

Решить транспортную задачу – это значит найти такие значения  (;), которые удовлетворяют ограничениям (4.2)–(4.5) и доставляют минимум целевой функции (3.3.1). Целевая функция (4.1) определяет суммарную стоимость перевозок. Ограничения (4.2) соответствуют тому, что количество продукции, вывозимой отi-го поставщика, не должно превосходить предложения i-го поставщика (для всех поставщиков). Ограничения (4.3) соответствуют тому, что количество продукции, ввозимой j-му потребителю, должно полностью удовлетворять спросу j-го потребителя (для всех потребителей). Ограничения (4.4) соответствуют тому, что суммарное предложение не должно быть меньше суммарного спроса.

22.Геометрическое решение злп

Областью решения линейного неравенства с двумя переменными(8)является полуплоскость. Для того, чтобы определить, какая из двух полуплоскостей соответствует этому неравенству, нужно привести его к видуили. Тогда искомая полуплоскость в первом случае расположена выше прямойa₀ + a₁x₁ + a₂x₂ = 0, а во втором - ниже нее. Если a₂=0, то неравенство (8) имеет вид ; в этом случае получим либо- правую полуплоскость, либо- левую полуплоскость.

Областью решений системы неравенств является пересечение конечного числа полуплоскостей, описываемых каждым отдельным неравенством. Это пересечение представляет собой многоугольную область G. Она может быть как ограниченной, так и неограниченной и даже пустой (если система неравенств противоречива).

Рис. 2

Область решений G обладает важным свойством выпуклости. Область называется выпуклой, если произвольные две ее точки можно соединить отрезком, целиком принадлежащим данной области. На рис. 2 показаны выпуклая область G₁ и невыпуклая область G₂. В области G₁ две ее произвольные точки А₁ и В₁ можно соединить отрезком, все точки которого принадлежат области G₁. В области G₂ можно выбрать такие две ее точки А₂ и В₂, что не все точки отрезка А₂В₂ принадлежат области G₂.

Опорной прямой называется прямая, которая имеет с областью по крайней мере одну общую точку, при этом вся область расположена по одну сторону от этой прямой. На рис. 2 показаны две опорные прямые l₁ и l₂, т. е. в данном случае прямые проходят соответственно через вершину многоугольника и через одну из его сторон.

Аналогично можно дать геометрическую интерпретацию системы неравенств с тремя переменными. В этом случае каждое неравенство описывает полупространство, а вся система - пересечение полупространств, т. е. многогранник, который также обладает свойством выпуклости. Здесь опорная плоскость проходит через вершину, ребро или грань многогранной области.

Основываясь на введенных понятиях, рассмотрим геометрический метод решения задачи линейного программирования. Пусть заданы линейная целевая функция f = c₀ + c₁x₁ + c₂x₂ двух независимых переменных, а также некоторая совместная система линейных неравенств, описывающих область решений G. Требуется среди допустимых решений найти такое, при котором линейная целевая функцияfпринимает наименьшее значение.

Положим функцию f равной некоторому постоянному значению С : f = c₀ + c₁x₁ + c₂x₂ = C. Это значение достигается в точках прямой, удовлетворяющих уравнению. (9)

При параллельном переносе этой прямой в положительном направлении вектора нормали n(c₁,c₂) линейная функция f будет возрастать, а при ее переносе в противоположном направлении - убывать.

Предположим, что прямая, записанная в виде (9) , при параллельном переносе в положительном направлении вектора n первый раз встретится с областью допустимых решений G в некоторой ее вершине, при этом значение целевой функции равно С₁, и прямая становится опорной. Тогда значение С₁ будет минимальным, поскольку дальнейшее движение прямой в том же направлении приведет к увеличению значения f.

Таким образом, оптимизация линейной целевой функции на многоугольнике допустимых решений происходит в точках пересечения этого многоугольника с опорными прямыми, соответствующими данной целевой функции. При этом пересечение может быть в одной точке (в вершине многоугольника) либо в бесконечном множестве точек (на ребре многоугольника).