10.Метод дихотомии

Метод дихотомии имеет свое название от древнегреческого слова διχοτομία, что в переводе означает деление надвое. Именно поэтому данные метод имеет еще второе название: метод половинного деления. Его мы используем довольно часто. Допустим, играя в игру "Угадай число", где один игрок загадывает число от 1 до 100, а другой пытается его отгадать, руководствуясь подсказками "больше" или "меньше". Логично предположить, что первым числом будет названо 50, а вторым в случае если оно меньше - 25, если больше - 75. Таким образом, на каждом этапе (иттерации) неопределенность неизвестного уменьшается в 2 раза. Т.е. даже самый невезучий в мире человек отгадает загаданное число в данном диапазоне за 7 предположений вместо 100 случайных утверждений.

Метод половинного деления в решении уравнения

Правильное решение уравнения методом половинного деления возможно лишь в том случае, если известно, что на заданном интервале имеется корень и он является единственным. Это совсем не означает что метод дихотомии может использоваться только для решения линейных уравнений. Для нахождения корней уравнений более высокого порядка методом половинного деления необходимо сначала отделить корни по отрезкам. Процесс отделения корней

осуществляется путем отыскания первой и второй производной от функции и приравнивании их нулю f'(x)=0 и f''(x)=0. Далее определяются знаки f(x) в критических и граничных точках. Интервал, где функция меняет знак |a,b|, где f(a)*f(b)< 0.

Алгоритм метода дихотомии

Алгоритм метода дихотомии очень прост. Рассмотрим отрезок |a,b| в пределах которого имеется один корень x₁

На первой этапе вычисляется x₀=(a+b)/2

Далее определеяется значение функции в этой точке: если f(x₀)< 0, то [a,x₀], если наоборот, то [x₀,b],т.е происходит сужение интервала. Таким образом в результате формируется последовательность x_i, где i - номер иттерации.

Вычисления прекращаются, когда разность b-a меньше требуемой погрешности.

11.Метод половинного деления

метод дихотомии,- 1) Один из методов численного решения уравнений с одним неизвестным. Пусть имеется уравнение f(x) = 0 с непрерывной на отрезке [а, b]функцией f(х),принимающей на концах отрезка значения разных знаков и имеющей внутри [а, b]единственный корень х _*. Для приближенного нахождения х _* отрезок [ а, b]делят пополам и вычисляют значение f(x₁). в средней точке x₁=(a+b)/2. Если , то из двух отрезков [ а, х ₁]и [ х ₁, b]. для последующего деления пополам выбирается тот, на концах к-рого значения функции различны по знаку. Возникающая в процессе такого дробления последовательность середин отрезков х ₁, х ₂, . . . сходится к корню х _* со скоростью геометрич. прогрессии:(1)

причем в рассматриваемом классе функций оценка (1) неулучшаема. В случае, когда функция f(x).имеет на [ а, b] более одного корня, последовательность будет сходиться к одному из них.2) Один из методов минимизации функций одного переменного. Пусть требуется найти минимум унимодальной функции f(х).на отрезке [ а, b]и указать точку x_*, в к-рой он достигается. Тогда отрезок [а, b]делят пополам и вблизи его середины вычисляют значения функции f(x).в двух точках, где число e>0, являющееся параметром метода, достаточно мало. Затем значения f(x₁).и f(x₂) сравнивают и с учетом унимодальности функции f(x).из двух отрезков [ а, х ₂] и [x_l, b]выбирают тот, к-рый заведомо содержит точку х _*. Так, если , это будет отрезок [ а, х ₂], в противном случае - отрезок [a, b]. Выбранный отрезок вновь делят пополам, вблизи его середины берут две точки, сравнивают в них значения функции и т. д. В результате возникает последовательность срединных точек, для к-рой(2)

За приближения к f_* принимают значения при достаточно больших n.

Название метода объясняется тем, что на каждом следующем шаге описанного алгоритма отрезок, содержащий точку минимума, становится примерно вдвое короче. На классе унимодальных, функций П. д. м. не является наилучшим. Существуют более эффективные методы, позволяющие при том же количестве вычислений значений функции достигнуть лучшей по сравнению с (2) точности (см., напр., Фибоначчи метод).