8115

В то же время по отношению к напряжениям σ2 и σ3, ребро элемента, параллельное σ1,

является поперечным размером, а потому под действием напряжений σ2 и σ3 элемент в на-

правлении σ1 испытывает относительные укорочения, равные:

Здесь ν = ε' – коэффициент поперечной деформации, называемый коэффициентом Пуассо-

ε

на; ε' – относительная поперечная деформация; ε – относительная продольная деформация.

Таким образом, полная относительная деформация элемента в направлении напряжения

σ1 выразится суммой:

Подобные же выражения получим и для деформаций в двух других направлениях. В ре-

зультате имеем:

ε3 = 1 [σ3 − ν(σ1 + σ2 )]

Касательные напряжения не вызывают удлинений ребер выделенного параллелепипеда, а

вызывают лишь изменения прямых углов между его гранями. Закон Гука в общем виде

(рис. 2.1а) для объемного напряженного состояния запишется:

В соотношениях (2.10) использована зависимость между тремя упругими постоянными материала – модулем упругости 1-го рода Е, коэффициентом Пуассона n и модулем упругости

2-го рода (модулем сдвига) G:

Формулы (23) показывают, что при изменении нормальных и касательных напряжений на всевозможных площадках, проходящих через заданную точку, соответственно изменяются относительные линейные деформации и углы сдвига граней выделенного элемента с беско-

нечно малыми размерами dx, dy, dz.

Совокупность линейных относительных деформаций и углов сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через заданную точку, называется деформированным со-

стоянием в точке.

Деформации элемента в трех ортогональных плоскостях представим в виде таблицы

аналогичной тензору напряжений и называемой тензором деформаций.

Выражения (2.9) и (2.10), устанавливающие связь между деформациями и напряжениями в общем случае напряженного состояния, носят название обобщенного закона Гука. Они применимы при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности материала и при малых деформациях.

С помощью формул (2.10) обобщенного закона Гука можно определять относительные деформации по любому заданному направлению, если предварительно определить нормаль-

ные напряжения вдоль указанного направления и двух других направлений, перпендикуляр-

ных заданному.

Относительные деформации ε1, ε2, ε3 в направлениях, для которых отсутствуют углы сдвига, определяемые по формулам (2.9), называются главными деформациями.

Для главных направлений тензор деформаций получит вид:

Проверка:

На рис. 3.1 показаны наклонные площадки и напряжения, действующие на этих площадках c учетом их знаков. Угол a > 0, поэтому заданные площадки повернуты против хода часовой стрелки.

Определим полное напряжение на наклонной площадке: pα = sα2 + tα2 = 80,82 + 48,612 = 94,3 МПа.

Относительную деформацию по направлению напряжения sα определим по формуле

5. Определение расчетных напряжений по четырем теориям прочности и их сравнение:

1-я теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений:

sIР = s1 = 93, 62 МПа,

sIР = s3 =103, 62 МПа.

2-я теория прочности – теория наибольших относительных удлинений: sIIР = s1 - n(s2 + s3 ) = 93, 62 - 0, 28(0 -103, 62) =

=122, 63 МПа.

3-я теория прочности – теория наибольших касательных напряжений: sIIIР = s1 - s3 = 93, 62 +103, 62 =197, 24 МПа.

4-я, энергетическая теория прочности:

σIVр = 1 [(σ1 - σ2 )2 + (σ2 - σ3 )2 + (σ1 - σ3 )2 ] =

2

=1 [(93, 62 - 0)2 + (0 +103, 62)2 + (93, 62 + 103, 62)2 ] = 2

=170,89 МПа.

Сравнительный анализ расчетных напряжений siР показывает, что наибольшее по абсолютной величине расчетное напряжение получается по третьей теории прочности. Значит, если в данном случае использован пластичный материал, то за расчетное напряжение нужно брать это напряжение и условие прочности записать в виде:

sIIIР =197, 24 МПа £ R.

Если же предполагается, что материал хрупкий, то нужно использовать вторую теорию прочности и условие прочности должно быть записано в виде:

σIIР =122, 63 МПа £ R t .

6.Вычислим относительные деформации по направлениям главных напряжений (главные деформации), используя формулы обобщенного закона Гука (2.9):

4.Сложное сопротивление стержня

4.1Внутренние силы при сложном сопротивлении стержня

Правила построения эпюр при пространственном загружении стержня несколько от-

личаются от правил, принятых для построения эпюр усилий в стержне, на который действует нагрузка, расположенная в одной плоскости.

Перечислим эти отличия.

1.Эпюры Qx и Qy строятся на одной оси.

Эпюра строится в аксонометрии, причем ординаты Qx откладываются по оси х, ординаты

Qy ‒ по оси у.

Положительные значения поперечных сил откладываются в отрицательном направлении соответствующих осей.

Такая результирующая эпюра поперечных сил обозначается просто Q.

2.Эпюры Mx и My строятся на одной оси.

Эпюра строится в аксонометрии, причем ординаты Mx откладываются перпендикулярно оси х (по оси у), а ординаты My по оси х.

Положительные значения изгибающих моментов откладываются в положительном на-

правлении соответствующих осей (как в балках).

Полученная результирующая эпюра изгибающих моментов обозначается Mи. Знаки на эпюре Mи не ставятся.

При построении эпюр изгибающего момента Mx в балках положительные значения Mx

откладываются вниз (в положительном направлении оси у и перпендикулярно оси х). В соот-

ветствии с правилом знаков при положительном изгибающем моменте в сечениях балки рас-

тягиваются нижние волокна (волокном здесь называются совокупность точек, лежащих на линии, параллельной продольной оси z).

Таким образом, можно сказать, что положительные значения момента Mx на эпюре откладываются «от растянутого волокна». Более того, чтобы не связывать эпюру Mи с выбо-

ром системы координат, знаки на эпюре не проставляются.

Если при построении пространственной эпюры поперечных сил Q возникают затруд-

нения с определением знака, полезно использовать правило: при нисходящей эпюре изги-

бающего момента поперечная сила положительна.

Эпюры Qy и Qx строятся на одной оси (каждая в своей плоскости). Положительные значения откладываются в отрицательном направлении оси. Эпюры называем Q.

Эпюры Мх и Му строятся на одной оси. Значения Мх откладываем по оси у и наоборот

− Му - по оси х. Положительные значения откладываем в положительном направлении осей.

Во избежание путаницы с наименованием осей, общую эпюру изгибающих моментов назы-

ваем Ми.

Задача 4.2. Построить эпюры внутренних сил для стержня, изображенного на рис. 4.2.

Решение

Построить эпюры усилий в данном случае можно не определяя реакции в заделке, ко-

торые в данном пространственном случае представлены шестью неизвестными компонентами.

Границы участков на рис. 2 пронумерованы, и в каждом из этих сечений показана со-

ответствующая система координат.

Так же, как и в балках, строить эпюры в данном случае можно «эскизным» способом,

например, «по границам участков».

Для упрощения процесса построения эпюр рекомендуется:

1. Все внешние силы, действующие на стержень, привести к продольной оси z с по-

мощью теоремы о параллельном переносе силы, которая иллюстрируется рис. 4.3. Так, при перенесении силы F1 по оси х добавляется момент M1 = F2·а, при перенесении силы F2 по оси y добавляется M2 = F2·2а, при перенесении силы F3 в точку С1 добавляется в вертикаль-

ной плоскости момент М3 = F3·2а и в горизонтальной плоскости М4 = F3 · а .

2. Используя принцип независимости действия сил разбить всю нагрузку на три группы:

А) Нагрузку, проектирующуюся на оси z или вызывающую относительно ее момент.

Это M1 , M2 и F3 .

Б) Нагрузку, вызывающую прямой поперечный изгиб в вертикальной плоскости. Это

F1 , М3 .

В) Нагрузку, вызывающую прямой поперечный изгиб в горизонтальной плоскости.

Это М4 и F2 .

Нагрузка группы А вызывает в сечениях стержня продольное усилие

N = - 4P и крутящий момент Мк = 2Ра на правом участке стержня. Каждая из этих эпюр строится на своей оси. Чтобы не привязывать эпюру к определенной координатной системе,

соответствующая на рис. 4.2 обозначена Мк .

Эпюры от нагрузки группы Б и В строятся как для обычной консольной балки : от из-

гиба в вертикальной плоскости yz - эпюры Qy и Mx (ось x - вниз). Схема на рис. 4 помогает уяснить, как направление внешнего момента связано со знаком изгибающего момента. Про-

ще говоря, где стрелка - там сжатая половина сечения.

Рис. 4.2