7988
.pdf10
Переходя к «старой» переменной 7x 4 u , запишем
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
cos 7x 4 dx |
|
|
cosu du |
|
|
sin u C |
|
|
sin 7x 4 |
C . |
||||||||||||||||||||
7 |
7 |
7 |
||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.3. Найти |
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначая 4x t , находим, что |
|
4dx dt |
или dx |
dt |
|
. Искомый интеграл |
||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos |
2 |
|
|
|
4cos |
2 |
|
4 |
cos |
2 |
t |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4x |
|
t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
свёлся к табличному |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
tg t C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Переходя к исходной переменной t 4x , получим: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
tg 4x C . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 4x |
4 |
|
|
|
|
|
Решения примеров 4.2 и 4.3 демонстрирует, что правило (3) параграфа 3, по существу, сводится к замене вида u ax b ;
f u du f ax b d ax b a f ax b dx ,
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
f |
|
ax b dx |
1 |
|
f |
|
u |
|
du . |
|
|
|
|
|
|
Пример 4.4. Найти интеграл sin3 x cos x dx .
Выполним замену переменной по формуле sin x t . Находя дифференциал от обеих частей равенства sin x t , получим cos xdx dt Подынтегральное выражение sin3 x cos xdx после замены переменной интегрирования x на t запишется
sin3 x cos x dx t3 dt .
Искомый интеграл свёлся к табличному sin3 x cos xdx t3 dt , который равен
t3 dt t4 C .
4
11
Выполняя обратную замену переменной по формуле t sin x , получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 x cos x dx |
sin4 x |
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 4.5. Найти интеграл |
ln x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Выполняя замену ln x t , получим d ln x dt |
или dt |
1 |
dx . Интеграл равен |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
1 |
dx t dt |
t |
2 |
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Переходя к «старой» переменной t ln x , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
dx |
1 |
ln x 2 C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.6. Найти интеграл 2x 3 3 4x2 2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Преобразуем интеграл к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 3 3 4x2 2 dx 2 3 4x2 23 x dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Заменяя t 3 4x2 , находим dt 8 x dx или xdx |
dt |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл запишется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
3 |
1 |
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 C . |
|||||||||||||||||||||
2 |
|
4x |
|
|
|
x dx |
2 |
|
t |
|
3 |
|
|
|
dt |
|
|
t |
|
3dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
t |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
8 |
|
4 2 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 4x2 53 C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
2x |
3 3 4x2 2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 4.7 Найти интеграл |
|
|
|
|
e3x dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
5 |
e |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Делая замену переменной 5 e3x |
t , получим |
|
3e3x dx dt или e3x dx |
1 |
dt . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Интеграл запишется в виде:
12
|
|
|
e3x dx |
|
1 |
|
dt |
|
1 |
|
|
|
C . |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
t |
||||||||
|
|
5 e3x |
3 |
|
t |
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
e3x dx |
|
1 |
|
|
|
e3x |
|
C . |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
ln |
5 |
|
||||||||||||
5 e3x |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.8. Найти интеграл |
ctg x dx . |
|||||||||||||||
Преобразуем интеграл к виду: |
|
|
ctg x dx |
cos x dx |
. |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
||
Выполняя замену sin x t , получим cos x dx dt . |
||||||||||||||||
Тогда |
cos x dx |
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||
ln |
t |
C ln |
sin x |
C . |
||||||||||||
sin x |
t |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
Пример 4.9. Найти интеграл |
|
|
|
dx . |
||||||||||||
|
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
Вычисляемый интеграл сводится к интегралу, записанному в таблице под номером (9). Вынося из-под знака интеграла постоянный множитель получим:
|
dx |
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Заменяя |
|
|
|
t , находим |
|
dx dt |
или dx a dt . |
||||||||||||||
a2 x2 |
|
a |
2 |
|
|
|
x 2 |
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Интеграл преобразуется к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
a dt |
1 |
|
|
dt |
1 |
arctgt |
C . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
a2 |
|
|
|
x 2 |
a2 |
1 t 2 |
a |
|
1 t 2 |
a |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Переходя к «старой» переменной |
|
t |
x |
, получим: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
a2 |
|
x2 |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Пусть даны две произвольные дифференцируемые функции u = u x и v = v x
. Тогда u v ' u' v u v' и, следовательно,
d u v u d v v d u .
13
Проинтегрируем обе части последнего равенства:
d u v u d v v d u u d v v d u ,
откуда
udv d u v vdu .
Поскольку d uv uv , то получаем:
u d v uv v d u |
(5) |
Формула (5) называется формулой интегрирования по частям для неопределённого интеграла.
С помощью этой формулы нахождение интеграла u d v сводится к отысканию
другого интеграла v d u . Применение формулы (5) целесообразно в тех случаях,
когда интеграл v d u — табличный или проще исходного (легко может быть найден).
Пример 5.1. Найти интеграл ln x d x .
В предлагаемом интеграле, выбор переменных u и d v для интегрирования по
формуле (5) определяется самой структурой подынтегрального выражения.
Обозначим u ln x, |
d v dx . Дифференцируя первое равенство, находим |
||
d u d ln x или d u |
1 |
dx , интегрируя второе, d v dx , получим v x . |
|
|
|||
|
x |
|
Формула интегрирования по частям запишется:
ln xdx x ln x 1x x dx
Интеграл 1x x dx dx более простой, чем исходный и находится по таблице.
Запишем результат интегрирования:
ln xdx x ln x x C .
14
Пример 5.2. Найти интеграл x ln x dx .
Полагая u ln x, d v xdx , находим d u 1 dx , v x2 . x 2
Согласно формуле (5) интеграл запишется:
|
x2 |
x2dx |
|
x2 |
1 x2 |
|
x2 |
|||||
x ln x dx |
|
ln x |
|
|
|
ln x |
|
|
|
C |
|
|
2 |
2x |
2 |
2 2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 5.3. Найти x sin x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если принять u xsin x, |
dv dx , тогда |
du sin x |
Подставив в формулу (5), получим:
|
1 |
|
C . |
|
ln x |
|
|
||
2 |
||||
|
|
|
x cos x dx, |
v x . |
xsin x dx x2 sin x x sin x x cos x dx
или
xsin x dx x2 sin x xsin x dx x2 cos x dx .
Перенося одинаковые интегралы в левую часть, обнаруживаем:
xsin x dx 12 x2 sin x x2 cos x dx , что интеграл x2 cos x dx сложнее исходного,
так как степень множителя при тригонометрической функции увеличилась на единицу. Следовательно, выбранное разложение подынтегрального выражения на множители u и d v ошибочно.
Обозначая u x, d v sin x dx , получим d u dx, v cos x .
Результат интегрирования по частям запишется в виде:
xsin x d x x cos x cos x d x x cos x sin x C .
Пример 5.4. Найти xex dx .
Пусть u x , dv ex dx , тогда du dx , v ex . По формуле интегрирования по
частям находим:
xex dx xex ex dx xex ex C
15
или
xex dx ex x 1 C .
При интегрировании по частям выбор множителей u и dv для часто
встречающихся типов интегралов приведён в таблице:
Тип интеграла |
u |
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x eax dx |
|
|
|
eax dx |
|
|
P x sin ax dx |
P x — многочлен (полином) |
|
sin ax dx |
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
P x cos ax dx |
|
|
|
cos ax dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
P x arcsin axdx |
arcsin ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P x arccos axdx |
arccos ax |
|
|
P x dx |
|
|
P x arc tg axdx |
arc tg ax |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
arcctg ax |
|
|
|
|
||
P x arc ctg axdx |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
P x ln axdx |
ln ax |
|
|
P x dx |
|
|
|
|
|
|
|||
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ |
||||||
Интеграл f x dx от рациональной функции f x |
Pn x |
всегда может быть, |
||||
Qm x |
||||||
|
|
|
|
|
и притом стандартным способом, выражен через элементарные функции. Основной трудностью при практическом вычислении интеграла является разложение интеграла на сумму простых интегралов.
Рациональная дробь записывается в виде:
|
|
|
|
|
|
16 |
|
Pn x |
|
a xn a xn 1 |
|
a |
n |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
, где Pn x и Qm x — многочлены (полиномы), n и |
|
Qm x |
b0 xm b1xm 1 |
|
|
||||
|
bm |
m — степени, соответственно.
Если n m , то дробь называется правильной, а если n m , то дробь называется неправильной.
Приведем примеры рациональных дробей:
— правильные дроби
|
|
x |
n 1, m 2 |
|
, |
|
|
x3 |
|
|
n 3, m 4 |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
2 |
5 |
2 |
x |
4 |
3x |
2 |
7 |
3 |
4 |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 n 0, m 1 x 3 0 1
— неправильные дроби
|
|
x2 |
|
|
m n |
2 , |
x3 2 |
n 3, m 2 |
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
3x 1 |
x |
2 |
4 |
3 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x5 3 |
n 5, m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неправильная дробь, в результате деления числителя на знаменатель,
представима в виде:
|
|
Pn x |
Gk x |
R x |
|
|||
|
|
Qm x |
Qm x |
|||||
|
|
|
|
|||||
где - Gk x многочлен, |
R x |
— правильная дробь m . |
||||||
Qm x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 6.1 Неправильную дробь |
3x5 |
x4 2x3 x2 7 |
||||||
|
x 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
многочлена и правильной дроби.
Выполняя деление
(6)
представить в виде
17
3x5 x4 2x3 x2 7 |
|
x 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
3x4 2x3 x 1 |
||
3x5 3x4 |
|
|
|
2x4 2x3 x2 72x4 2x3
x2 7
x2 x
x 7
x 1
6,
получим |
3x5 x4 2x3 x2 7 |
3x4 2x3 x 1 |
6 |
|
, где 3x4 2x3 x 1 — |
|
x 1 |
x 1 |
|||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
многочлен, а |
|
— правильная дробь. |
|
|
|
|
|||
x 1 |
|
|
|
|
|||||
Известно, что любой многочлен, m — степени имеет ровно m корней и его |
|||||||||
можно представить в виде: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Qm x xm d1xm 1 d2 xm 2 |
dm x a1 1 x a2 2 |
|||||||
|
|
|
|
1 |
x2 |
pr x qr |
r |
|
|
|
x ak k x2 p1x q1 |
|
|
, |
|
||||
где 1, 2, |
k — кратность действительных корней, а |
1, 2, |
r — кратность |
комплексных сопряжённых корней. Сумма всех показателей степеней разложения по корням
1 2 k 2 1 2 r m
равна степени полинома. |
|
|
Пример 6.2. Разложить многочлены на множители: |
|
|
a) x2 3x 2 ? Решая квадратное уравнение |
x2 3x 2 0 , |
|
находим, что x1 1, |
x2 2 его корни. |
|
Тогда x2 3x 2 x x1 x x2 или x2 3x 2 x 1 x 2 , где x1 и x2 —
два действительных различных корня многочлена второй степени.
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
x3 x2 2x x x2 x 2 x x 1 x 2 , где |
x1 0, |
x2 1 и |
|||||||||||||||||
x2 2 — три действительных различных корня многочлена третьей степени. |
|||||||||||||||||||||
|
c) |
x3 6x2 9x x x2 6x 9 x x 3 x 3 x x 3 2 , |
где |
||||||||||||||||||
x1 0, |
x2 3 и |
x3 3 — три действительных корня, из которых два корня |
|||||||||||||||||||
x2 и x3 — кратные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
d) |
x3 4x2 13x x x2 |
4x 13 , где |
x1 0 |
один |
простой |
|||||||||||||||
действительный корень и два комплексно сопряжённых корня. |
|
|
|||||||||||||||||||
Последние находятся из решения уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x2 4x 13 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 16 52 |
|
4 |
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x , |
|
|
|
2 3 1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 3 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x2 2 3i, x3 |
2 3i |
|
|
|||||||||||||
Учитывая, |
что |
|
1 i , получим |
два |
комплексно |
||||||||||||||||
сопряжённых корня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказано, |
что |
правильную дробь |
|
R x |
|
можно разложить |
на |
сумму |
|||||||||||||
|
Qm x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
простейших дробей. Под простейшими дробями понимают дроби вида:
A |
; |
|
A |
|
; |
Mx N |
и |
|
|
Mx N |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x a |
|
x a |
|
x2 px q |
x |
2 |
px q |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение правильной дроби в виде суммы простейших дробей записывается:
a)В случае простых корней
R x |
x am |
|
A |
|
A |
|
|
A |
(7) |
x a1 x a2 |
x a1 |
x a2 |
x am , |
||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
m |
|
где каждому простому корню xi ai i 1, m соответствует простейшая дробь вида
Ai . x ai
19
Пример 6.3. Разложить правильную дробь |
3x 4 |
|
на простейшие |
||
|
|
|
|||
x x 7 |
x 2 |
|
|||
|
|
дроби.
Согласно формуле (7) разложение запишется в виде:
3x 4 |
|
A1 |
|
A2 |
|
|
A3 |
x x 7 x 2 |
|
x |
|
x |
7 |
|
x 2 |
b)В случае кратных корней
|
|
R |
x |
|
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
||
x a1 1 |
x am m x a1 |
x a1 2 |
x a1 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
B |
|
|
B |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||
x am |
x am 2 |
x am m |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
где каждому корню кратности i — соответствуют i простейших дробей вида
Ai i .
x a1
4x 1
Пример 6.4. Разложить правильную дробь на простейшие дроби.
x 1 2 x2
По формуле (8) разложение запишется в виде:
|
4x 1 |
|
|
A1 |
|
|
|
A2 |
|
|
|
B1 |
|
B2 |
. |
|||
|
|
2 |
|
2 |
x 1 |
|
|
|
2 |
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
||||||||||
|
x 1 |
x |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c)В случае комплексных корней
|
R x |
|
|
M |
1 |
x N |
|
|
M |
r |
x N |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, (9) |
|||
x2 |
p1x q1 |
x2 |
pr x qr |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 p1x q1 |
|
|
x2 pr x qr |
где каждой паре комплексных корней или множителю второй степени в знаменателе
соответствует простейшая дробь вида |
Mi x Ni |
|
. |
x2 p x q |
|||
|
i |
i |