7913
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|||||
∑ Хi |
= 0 |
|
|
|
- N A cos 30° − N B − T cos 45° = 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
N A sin 30° − T sin 45° − P = 0; |
|||||||||||||
∑ Yi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ N B |
+ P |
2 |
= 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
N A |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
N A |
|
1 |
− P |
|
|
2 |
|
− P = 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Решаем систему уравнений: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= P(2 |
+ 2 )= 12 × 3.4142 = 40.97кН; |
||||||||||||||
N |
|
= 2P 1 |
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
N B |
= -40.97 × |
|
|
3 |
-12 × |
|
|
2 |
= -43.97кН. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
Знак «минус» говорит о том, что реакция NB на самом деле направлена в другую сторону, то есть 2-й стержень сжат .
Ответ: Реакции стержней равны: NA = 40.97кН(стержень растянут),
NB = 43.97кН(стержень сжат).
Задача C-2. Тема: Равновесие плоской системы сил, приложенных к составной раме.
Определить опорные реакции для рамы, загруженной плоской системой произвольно расположенных сил. Рама состоит из двух геометрически неизменяемых частей (дисков), которые соединены внутренней связью в виде шарнира. Выполнить проверку.
Дано: F = 24 кН , Р = 12кН , q = 3кН / м , M = 20кНм, a = 2 м , b = 3м.
C
А
В
Рис. 2.1 Заданная схема.
Решение.
1.Изображаем раму с учетом заданных размеров a и b (рис.2.2)..
2.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями.
3.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей
41
Q = q × 6м = 3 кН × 6 м = 18 кН.
м
4.Выбираем систему координат.
5.Показываем схему на рис. 2.3, выделяя геометрически неизменяемые части конструкции (диски), соединенные между собой в шарнире С.
С |
А |
В
Рис. 2.2. Схема рамы, показанная в ее действительных размерах.
D |
С |
А |
|
В
42
Рис. 2.3.
6.Составляем уравнениеравновесия для второго диска.
∑M(2)C = 0; - Q × 3 + P ×9 + RB ×12 = 0;
откуда RB |
= |
P × 3 - P × 9 |
= |
18 × 3 -12 × 9 |
= −4.5кН. |
|
|
||||
|
12 |
12 |
|
||
(реакция направлена в противоположную сторону)
7.Составляем уравнения равновесия всей конструкции, считая ее абсолютно твердым телом.
∑Xi = 0 |
X A + RB + P - F = 0 |
|||||||
|
|
= 0 |
|
- Q = 0 |
||||
∑Yi |
YA |
|||||||
|
M |
|
R |
M |
|
+ R |
|
×3 - Q ×13 + F ×9 + M = 0. |
A |
(F )= 0; |
A |
B |
|||||
∑ |
|
i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции.
X A = -RB + F - P = -(-4.5) + 24-12 =16.5кН; YA = Q =18кН;
MA = -RB ×3 +Q×13- F ×9 - M = -(-4.5) ×3 +18×13- 24×9 - 20 =11.5кН× м.
9.Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов всех сил, приложенных к раме относительно произвольной точки D.
∑M D (Fi )= M A + M + X A ×9 -YA ×8 - Q ×5 + P ×9 - M + RB ×12 = = 11.5 + 20 +16.5 ×9 -18 ×8 -18 × 5 +12 ×9 - M - 4.5 ×12 = 0.00
Проверка выполняется.
Ответ: Реакции равны: RB = -4.5кН (сила направленав другую сторону),
X A =16.5кН, YA =18кН, M A =11.5кН× м.
Задача C-3. Тема: Равновесие произвольной пространственной системы сил.
Абсолютно твердое тело закреплено неподвижно с помощью шести опорных стержней и загружено системой сил, произвольно расположенных в пространстве. Составить систему уравнений равновесия и определить реакции связей. Выполнить проверку.
Дано: F = 24кН; Р = 12кН; q = 6кН / м, a = 2 м , b = 3м.
43
Рис.3.1 Заданная схема.
1. Изображаем конструкцию в соответствии с заданными размерами.
Рис. 3.2. Заданные размеры конструкции
2.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими.
3.Выбираем систему координат xyz проводя оси через шаровой шарнир.
44
Рис. 3.3 Нагрузки и реакции
4.Составляем уравнения равновесия.
При составлении уравнений моментов удобно пользоваться проекциями конструкции на координатные плоскости, которые построены на рис. 3.4-3.6.
Рис. 3.4. Проекция на плоскостьyz
Рис. 3.5. Проекция на плоскостьxz
45
∑ M X |
= 0 |
|
||
|
∑ M Y |
= 0 |
|
|
|
∑ M Z |
= 0 |
|
|
|
; |
|||
|
∑ X = 0 |
|||
|
||||
|
∑Y = 0 |
|
||
|
∑ Z = 0 |
|
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.5. Проекция на плоскость xy |
||||||||
|
ZC ×8 - P × 2 - Q × 6.5 = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
X D × 2 - F × 2 - Q × 3 = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
- X B |
×5 - X D |
×8 - F × 3 - P × 3 = 0 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
+ X B + |
X D - F = 0 |
|
|
|
|
||||||
|
+ X A |
|
|
|
|
|
|||||||
|
P + Y |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Z A + ZC - Q = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||
5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции.
ZC |
= (P × 2 + Q × 6.5) 8 = (12 × 2 +18 × 6.5) 8 = 17.625 кН |
X D = (Q × 3 + F × 2) 2 = (18 ×3 + 24 × 2)/ 2 = 51.00 кН |
|
|
|
X B = (- X D ×8 + F ×3 - P ×3) 5 = (- 51×8 + 24 ×3 -12 ×3) 5 = -74.40 кН (в другую сторону) |
|
|
= -X B - X D + F = -(-74.4) - 51 + 24 = 47.40 кН |
X A |
|
|
= -P = -12.00 кН (в другую сторону) |
YA |
|
|
= -ZC + Q = -17.625 +18 = 0.375 кН. |
Z A |
|
6.Выполняем проверку, для чего через произвольную точку проводим оси x1y1z1 и относительно них вычисляем суммы моментов.
∑ M X 1 |
= -P × 2 + ZC × 5 - Z A ×3 - Q × 3.5 = -12 × 2 +17.625 × 5 - 0.375 × 3 -18 × 3.5 = 0.00 |
|
|
= -Z A × 3 - ZC × 3 - F × 2 + X D × 2 = -0.375 ×3 -17.625 ×3 - 24 |
× 2 + 51× 2 = 0.00 |
∑ M Y 1 |
||
∑ M Z1 |
= +X A ×3 + YA × 3 - X B × 2 - X D × 5 = 47.4 × 3 -12 ×3 - (- 74.4) |
× 2 - 51× 5 = 0.00. |
|
|
|
Проверка выполняется. |
|
|
Ответ: реакции связей равны: X A = 47.4кН, X B = −74.4кН , |
XD = 51.0кН, |
|
YA = −12.0кН , Z A = 0.375кН , ZC = 17.625кН .
Примечание: знак «минус» говорит о том, что направление реакции противоположно выбранному направлению.
Задача C-4. Тема: Равновесие пространственной системы параллельных сил.
46
Плита, план которой изображен на схеме, шарнирно опирается на три стойки (колонны) в точках 1, 2 и 3. Учитывая, что вес одного квадратного метра плиты составляет р=5кН/м2, определить реакции опорных стоек (реакции связей).
Рис. 4.1. Заданная схема плиты. |
|
Дано: |
Вес 1м2 плиты равен р = 5кН |
м |
2 . Размеры равны: a = 2 м , b = 3м. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
1. |
Изображаем плиту с учетом ее действительных размеров. |
|||||
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
6 |
|
|
6 |
3 |
|
3 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Рис. 4.2. План плиты с учетом ее реальных размеров. |
||||
2.Выбираем исходную систему координат Oxy.
3.Разбиваем фигуру на простые составляющие.
47
Рис. 4.3. Разбивка плиты на простейшие части с указанием их центров тяжести..
4.Определяем площади и координаты центров тяжести составных частей фигуры.
1 |
фигура (треугольник): |
|
|
1 |
2 |
x1 = 6м; |
y1 = 8м; |
||
A1 |
= |
2 |
×12 × 9 = 54м |
; |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
фигура (прямоугольник): |
A2 |
= 6 ×12 = 72м2 ; |
|
x2 = 12м; |
y2 = 6м; |
|||
3 |
фигура (эллипс): |
A3 |
= -π × 2 × 3 = -18.85м2 ; |
x3 = 9м; |
y3 = 8м. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. Определяем общую площадь плиты. A = A1 + A 2 |
+ A 3 |
= 54 + 72 -18.85 = 107.15м2 . |
|||||||
5.34
12
уС = 6.66
у |
уС |
У1 |
|
1 |
|
2 |
Х1 |
|
|
С |
ХС |
х
3 
0.50
ХС = 9.50 |
5.50 |
15
Рис. 4.4. Положение центра тяжести всей плиты.
48
6. Определяем точку приложения равнодействующей (координаты
центра |
|
|
тяжести) и показываем ее на рисунке 4.4. |
||||||||
x C |
= |
|
x1 A1 + x2 A2 |
+ x3 A3 |
= |
6 × 54 +12 × 72 - 9 ×18.85 |
= 9.50 |
м; |
|||
|
A1 + A2 + A3 |
107.15 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
yC |
= |
|
y1 A1 + y2 A2 |
+ y3 A3 |
|
= |
8 ×54 + 6 × 72 - 8 ×18.85 |
= 6.66 |
м; |
||
|
A1 + A2 + A3 |
|
107.15 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. Определяем вес плиты, то есть равнодействующую системы параллельных сил, которая проходит через центр тяжести плиты.
P = p × A = 5 ×107.15 = 535.75кН.
Рис. 4.5. Проекция плиты на плоскость xz. |
Рис. 4.6. Проекция плиты на плоскость yz.
8.Составляем уравнения равновесия, используя систему координатных осей ху.
|
R |
)= 0 |
|
|
∑ M X (Fi |
R1 ×12 + R2 ×12 - P × 6.66 = 0 |
|||
|
R |
)= 0 |
R ×15 + R × 9 - P × 9.50 = 0 |
|
∑ M Y (Fi |
||||
∑ Zi = 0; |
2 |
3 |
||
R + R + R - P = 0; |
||||
|
|
|
1 2 |
3 |
9. Решая систему уравнений, определяем реакции опор.
49
R1R2R3
=101.07 кН
=196.27 кН
=238.41кН.
10. Выполняем проверку, для чего вычисляем суммы моментов относительно новых координатных осей х1у1.
∑ M X 1 (Fi ) = -R3 ×12 + P × 5.34 = -238.41 + 535.75 = -0.015.
R |
|
∑ M Y 1 (Fi ) = -R1 ×15 - R3 × 6 + P × 6.66 = -101.07 ×15 - 238.41× 6 + 535.75 × 6.66 |
= 0.115. |
Проверка выполняется с удовлетворительной точностью. |
|
Ответ: реакции стоек равны R1 = 101.07кН, R2 = 196.27кН, R3 = 238.41кН . |
|
Задача K-1
Координатным способом задан закон движения материальной точки М: |
|||
2 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 3 |
. |
, |
|
Построить траекторию движения точки |
отметив на ней положение |
||
|
3 |
|
|
точки в заданный момент времени. Для заданного момента времени определить скорость, а также полное, нормальное и касательное ускорения точки. Определить радиус кривизны траектории. Определить характер движения.
Решение
1. Определяем траекторию. Исключаем время из закона движения
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Складывая уравнения, получаем |
1 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||
откуда следует, что |
|
3 |
! " 2# |
! " 1#. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Траектория |
|
|
! " 4# |
" |
|
! |
" 2# |
. |
|
|
|
|
, |
|
|
|||
Преобразуем уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% 2, % 4. |
|
||||||
Строим параболу: |
, |
|
собой |
|
квадратную |
|
|
|
||||||||||
|
представляет |
|
|
параболу |
|
ветви |
||||||||||||
которой направлены вниз а вершина имеет координаты |
|
|
|
. |
||||||||||||||
∙ при х % 1 |
3.25 |
|
!Точки ! 1, 3.25# и ! 3, 3.25##, |
|
||||||||||||||