7837

В задачах

9.1-9.12 найти и изобразить на координатной плоскости xOy

области определения функций:

9.1. z =

x + 2 y

.

9.2. z =

1

.

9.3. z =

1

.

x2

- y2

2 + 4 y 2 -

x - y

x

4

9.4. z =

+

+

z = ln x +

. 9.5. z =

1 - x2 +

1 - y2 . 9.6.

x

y

1 - x - y

y .

9.25.

z = x − y .

9.26.

z = x 2 + 3x × y - y 3 .

9.27.

z =

u

+

v

.

v u

9.28.

z =

x × y

.

9.29.

z = x × tg(y + 1) .

9.30.

z =

2 y

.

x

2 + y2

sin x

9.31.

z = x × ln y + arcsin y .

9.32.

z = arctg

y

.

9.33. z = x y .

x

81

9.34.

z = ysin x .

9.35.

z = (5x3 × y 2 +

1 )4 .

9.36.

y

.

z = e x

z = x × ln

y

(

).

u = x × y × z .

9.37.

.

9.38.

x

2

+ y

2

9.39.

x

z = ln x +

u = x × y + y × z + x × z .

y

u = x y z .

9.40.

9.41.

u = x

.

9.42.

z

В задачах 9.43-9.48 найти производные второго порядка

z

′′

z′′

,

z′′

xx ,

yy

xy :

1

.

9.43.

z = x3 + x × y 2 - 5x × y 3 .

9.44.

z =

(x 2 + y 2 )3

3

(

).

z = arctg

x + y

.

9.45.

2

+ y

2

9.46.

z = ln x + x

1 - xy

9.47.

z = y ln x .

9.48.

z = arcsin (xy ).

¶

3

z

¶

3

9.49.

от

z = sin(x × y) .

9.50.

z

от

z = e xy 2 .

2

¶x

2

¶x¶y

¶y

¶ 2 u

¶3u

u = e xyz .

9.51.

u =

x 2 + y 2 + z 2 - 2xz . 9.52.

от

от

¶x¶y¶z

¶z¶y

В задачах

9.53-9.62

показать,

что функция

удовлетворяет заданному

уравнению:

9.53.

z = x × ln

y

, x ×

∂z + y × ∂z = z .

9.54. z = 2e − x × sin 2 y ,

¶z =

1

¶2 z .

x

¶x

¶y

¶x 4 ¶y 2

9.55.

(

2

+ y

2 )

,

¶2 z +

¶2 z = 0

.

9.56.

z = sin (x − 2 y )

,

¶2 z =

1 ¶2 z

.

z = ln x

¶x

2

¶y 2

¶x2

4 ¶y 2

z ln(e

e

)

z¢¢

× z¢¢

= ( z¢¢ )

u =

1

xx

yy

xy

9.57.

=

x

+

y

,

xx

yy

xy

2

. 9.58.

x - y ,

u′′

+ u′′ + 2u

′′ = 0

.

В задачах

9.63-9.68

найти производные

dy

от заданных функций :

dx

9.63.

x 3 × y - y 3 × x = a 4 .

9.64. x × e y + y × e x - e yx

= 0 .

9.65.

x × y - ln y = a .

cos(x + y ) + x 3 × y 2 = 1.

9.66.

9.67.

3 x3 + y 3 = y 2 .

9.68.

x y

= y x .

9.69.-9.76.

∂z

,

∂z

В задачах

найти

частные производные

∂x

∂y от

нижеследующих функций :

9.69.

x2

+

y 2

+

z2

= 1.

9.70. x 2 - 2 y 2 + 2z 2 + 4z = 0 .

a2

b2

c2

9.71.

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x × z = 1 .

9.72.

z 3 + 3x × y × z = a 3 .

9.73.

e z

- x × y × z = 0 .

9.74.

e z = cos x × cos y .

9.75.

sin(x × y + x × z + y × z) = x × y × z .

9.76.

= ln(x × y × z ).

x × z

1)

z =

x

;

2) z = e yx ;

3) z = x × sin xy ;

y

4) z = ln(x 2 + y 2 );

5) u = x yz ;

6) u = x -

yz

+

.

x + y + z

x

вычислить частный дифференциал d y z

9.78. Для функции

z = 3 x + y2

при

x = 2 , y = 5,

y = 0,01 .

z =

вычислить частный дифференциал d x z

9.79.

Для функции

ln(x × y)

при

x = 1, y = 2 ,

x = 0,016 .

9.80.

Для функции

z = e yx

найти значение полного дифференциала

dz при x = 1, y = 1,

x = 0,15, y = 0,1.

1)

z = x 2 + 11 y 2 − 20 xy ,

M 0 (11 ; 1) , если

x = 0,11 ,

y = −0,02

;

2)

z = 2 x 2 + 3 y 2 − 5xy

при переходе

от точки

M 0 ( 9 ; 3)

к точке

M1 ( 9,02;2,96).

(1,08)3,96 ;

× (1,03)3,98

;

sin 2 0,05 + 8e0,015

1)

2)

3,98

;

3)

5) 2 2 × ( 2,94)2 + 9 × 2,94 ×1,07 ;

;

4)

1,041,99

+ 3,02

;

6)

3,022 + 3,982

ln (0,113 + 1,033 )

2,032

7)

3 4,97 2 + 1,06 2 + 1 ;

8)

;

9)

;

2,033 + 1,053 +

7

5,03

5,01

(2,953 + 2,032 +

1)

1

10)

;

11)

arcctg

;

12)

5 .

4,98

3

+

1,96

3

5,03

7)

z = sin(π × x × y),

M 0 (1; 1 ),

= {1 ; − 1 } ;

a

8)

z = ln(x + y 2 ),

M 0 ( 3 ; 4 ),

= {6 ; − 8 };

a

z =

x × y

M 0 ( 0 ;1),

= {− 1; − 1}.

9)

,

a

x2 + y 2 + 1

1)

z =

1

,

M 0 (1; 1 ) ;

2) z = ln(5x − 4 y ),

M 0 ( 2 ; 1 ) ;

x2 + y 2

z = arctg(x × y),

M 0 (1; 1 ) ;

4)

z = 3

,

M 0 (1; 1 );

3)

x + 7 y

5)

z = arcsin

x

,

M 0 (1; 2 ) ;

6)

z = e x

2 + y 2 ,

M 0 ( 2 ; 1 ).

y

1) z = ln(x 2 + 4 y 2 ) в точке ( 6 ; 4 ; ln 100);

2) z = x y

в точке ( 2 ; 2 ; 4).

9.94.

Каково

направление

наибольшего

изменения

функции

u = x × sin z - y × cos z

в начале координат ?

1

16

9.95. Найти точку, в которой градиент функции z = ln x +

равен i −

j .

9

y

9.96.

Найти производную функции u =

1

в направлении её

x2 + y2 + z2

1)

x 2 + y 2 + z − 8 = 0 ,

M 0 (1; 2 ; 3 ) ;

2) x 2 + y 2 − z 2 = −1 ,

M 0 ( 2 ; 2 ; 3 );

3)

z = ln(x 2 + y 2 ),

M 0 (1; 0 ; 0 ) ;

4) z = 3x 2 + y + 1 ,

M 0 (1; y0 ; 3 ) ;

5)

z = x 4 + 2 x 2 y − xy + x , M 0 (1; 0 ; 2 );

6) x 2 + y 2 − 5 = 0 ,

M 0 (1; 2 ; 4 ) ;

7)

x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y − 8z − 1 = 0 ,

M 0 (1; 2 ; 2 ) .

1)

y 2 + z − 3 = 0 ,

M 0 ( − 2 ;1; 2 ) ;

2)

z = 1 + x 2 + 2 y 2 ,

M 0 (1;1; 4 ) ;

3)

x 2

+ 5 y 2

+ z 2 = 10 ,

M 0 (1; − 1; 2 )

;

4)

z = x 2 + y 2 − 6 ,

M 0 ( 2 ;1; − 1 );

5)

x 2

− 2 y 2

+ 3z 2 = 6 ,

M 0 (1; − 1;1 )

;

6)

z = 3x 4 − xy + y 3 ,

M 0 (1; 2 ; 9 );

7)

x 2 + 2 y 2 − 3z 2 + yx + yz − 2 xz + 16 = 0 ,

M 0 (1; 2 ; 3 ).

9.99. z = − x 2 − 4 y 2 − 8 y − 4 .

9.100. z = e− 7 x 2 −12 y 2 .

9.101.

z = x 2

+ 3 y 2 + 2 x + 1.

9.102. z = x 2 + 2 y 2 − 4 y + 4 x + 2 .

9.103.

z = x 2

− xy + y 2 − y − 2 x .

9.104.

z = y

− y 2 − x + 6 y .

x

9.105.

z = 4(x − y ) − x 2 − y 2 .

9.106.

z = e

y

(y + x 2 ).

2

9.107.

z = x 2 - y 2 - xy + 9 x - 6 y + 20 .

9.108.

z = 1 - x 2 - y 2 - xy + 6x .

9.109. z = 9 - 9 x 2 - 20 y 2 + 162 x + 2 y .

9.110.

z = x 3 - 6x × y + 8 y 3 + 1 .

9.111.

z = x 3 - 3x × y + y 3 .

9.112. z = 2 x 3 + x × y 2 + 5x 2 + y 2 .

3

10

14

17

37

1.4. 5 и 8.

1.6. 4 и 7.

1.13.

1.8.

-

.

1.9.

0 .

− 19

.

47

8

6

− 16

9 0

0

14

-10 -13

1.16. (14 ).

- 10

1.19. 0

25

0 .

1.22.

25

0 . 1.30. x = 12 .