7803
.pdfЗадание № 8
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности F (x, y, z) 0 в точке M (x0 ; y0 ; z0 ).
8.01
8.02
8.03
8.04
8.05
8.06
8.07
8.08
8.09
8.10
8.11
8.12
8.13
8.14
8.15
5( y 1) |
7x |
2 |
|
0, |
M 5; y |
|
|
; 7 |
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z 5 x |
2 |
7 y |
2 |
, |
M 7 ; 5; z |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
49 x2 25y2 |
z2 |
3675, |
M 5; 7; 35 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z x |
2 |
7 y |
2 |
, |
|
M |
7;1; z |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
49 x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
147, |
M 1; 7 ; 7 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z |
2 |
9 x 9 |
|
0, |
M x ; 9; 9 |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
( y 1) 9 x2 0, |
M 1; y0 ; 9 |
||||||||||||||||||||||||||
25 x |
2 |
|
|
9 y |
2 |
|
z |
2 |
675, |
M 3; 5;15 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z |
x |
2 |
9 y |
2 |
, |
|
M |
9; 1; z |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3z |
2 |
9 x 9 |
0, |
M x ; 9; 9 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
81x2 y2 z2 243, |
M 1; 9; 9 |
||||||||||||||||||||||||||
|
z |
2 |
7 x 7 0, |
M x ; 7; 7 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 7x2 0, |
M 1; y0 ; 7 |
||||||||||||||||||||||||
|
3z |
|
2 |
5 x 5 |
0, |
M x0 ; 5; 5 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5 x2 3y 3 0, |
M 3; y0 ; 5 |
40
8.16
8.17
8.18
8.19
8.20
8.21
8.22
8.23
8.24
8.25
8.26
8.27
8.28
8.29
8.30
3z |
2 |
7 x 7 0, |
M x |
|
; 7 ; 7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
2 |
|
y 1 0, |
M 1; y |
|
|
; 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
z 3, |
|
|
M |
2;1; 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
z x |
2 |
y |
2 |
6, |
M 2;1; 1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
4z |
2 |
|
4, |
M 2; 2;1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
3y |
|
2z 5, |
M 2; |
|
|
|
3 ; 4 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
z2 11x 11 0, |
M x ;11;11 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
|
27 , |
M 1; 3; 3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z 2 x |
2 |
4 y |
2 |
, |
M 2;1;12 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
z2 |
|
|
x2 |
|
y2 |
|
1, |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 1;1; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
11x |
2 |
|
y 1, |
M 1; y |
|
;11 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
z 9, |
|
M 1; 0; 9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
5 y |
2 |
|
z |
2 |
|
10, |
M 1; 1; 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z x |
2 |
|
11y |
2 |
, |
M 11;1; z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
121x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
363, |
M 1; 11;11 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41
Задание № 9
Исследовать на максимум и минимум следующие функции.
9.01 |
z 3 3 x |
2 |
|
2 y |
2 |
18 x 2 y |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9.02 |
z x |
2 |
|
8 x y |
2 |
|
2 y 17 |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9.03 |
z x2 y2 |
x y 9 x 6 y 20 |
||||||||||||||||||||||
9.04 |
z 4(x y) x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9.05 |
z 4 x |
2 |
|
8 x 2 y |
2 |
12 y 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
9.06 |
z 1 6 x x |
2 |
|
x y y |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9.07 |
z x |
2 |
|
4 x y |
2 |
|
6 y 13 |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9.08 |
z 6 x y 9 x |
2 |
9 y |
2 |
18 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9.09 |
z e |
7 x |
2 |
10 y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.10 |
z e |
9 x |
2 |
18 y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.11 |
z x |
2 |
|
4 y |
2 |
8 y |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9.12 |
z x |
3 |
|
8 y |
3 |
6 x y |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9.13 |
z 10 y 14 x x |
2 |
y |
2 |
6 |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
9.14 |
z 6 y 18 x x2 y2 18 |
|||||||||||||||||||||||
9.15 |
z 2 y 22 x x2 |
y2 |
30 |
9.16 |
z 2 x y 5 x |
2 |
5 y |
2 |
6 |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
9.17 |
z 5 5 x |
2 |
6 y |
2 |
50 x 2 y |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
9.18 |
z e |
5 x |
2 |
6 y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.19 |
z 6 x y 7 x |
2 |
7 y |
2 |
10 |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
9.20 |
z 9 9 x2 |
18y2 162 x 18y |
y( y x 2 )
9.21z e 2
9.22 |
z 2 y 6 x x |
2 |
y |
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
9.23 |
z e |
11x |
2 |
30 y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.24 |
z x |
2 |
x y |
y |
2 |
|
3 x 6 y |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
9.25 |
z 7 x y 2 x |
2 |
3y |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9.26 |
z 2 x y |
3 x |
2 |
|
|
3y |
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
9.27 |
z 11 11x |
2 |
30 y |
2 |
242 x 2 y |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
9.28 |
z x |
2 |
2 x |
3y |
2 |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9.29 |
z (x 1)2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9.30 |
z 3 x 6 y x |
2 |
|
x y y |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
42
Литература
1.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов. – СПб.: Лань, 2005. – 736 с.
2.Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А.
Математический анализ в вопросах и задачах. – М.: Физматлит, 2001. – 480 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб.
для студентов втузов. Т. 1. – М.: Интеграл-Пресс, 2001. – 415 с.
4. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. –
М.: Айрис-пресс, 2004. – 288 с.
43
Оглавление
§1. Основные понятия ……………………………………………………………3
§2. Предел и непрерывность функции двух переменных ……………………...6
§3. Частные производные ………………………………………………………..8
§4. Дифференцируемость функции двух переменных ……………………….10
§5. Полный дифференциал функции …………………………………………..12
§6. Применение полного дифференциала функции к приближенным вычислениям ……………………………………….............................................14 §7. Производная сложной функции ……………………………………………15
§8. Производная неявной функции …………………………………………….18
§9. Производная по направлению ……………………………………………...19 §10. Градиент ……………………………………………………………………21
§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ……………………….23
§12. Экстремумы функции двух переменных …………………………………25
Контрольные задания …………………………………………………………...30 Задание № 1 ……………………………………………………………………...30 Задание № 2 ……………………………………………………………………...31 Задание № 3 ……………………………………………………………………...33 Задание № 4 ……………………………………………………………………...34 Задание № 5 ……………………………………………………………………...36 Задание № 6 ……………………………………………………………………...37 Задание № 7 ……………………………………………………………………...39 Задание № 8 ……………………………………………………………………...40
Задание № 9 ……………………………………………………………………...42
Литература ………………………………………………………………………43
44
Драгунова Валерия Викторовна Кривдина Лариса Николаевна Опалева Галина Павловна Сенниковская Людмила Семеновна
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекциям и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки
09.03.04 Программная инженерия, направленность (профиль) Разработка программно-информационных систем
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru
45