7797
.pdf
|
f ( f |
|
|
f |
yy |
y |
|
( f ) (e |
x y |
|
|
|
|
|
|
yx |
y x |
|
|
В результате, получили, что |
|
|
|
f xy |
Пример 2. Найти |
u |
, |
u |
, |
||||||||||||
x |
y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u x |
4 |
y |
3 |
z |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. 1) |
u |
|
4 x |
3 |
y |
3 |
z |
2 |
; |
|||||||
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) (e |
x y |
x) |
e |
||
|
|
|
|
||
y |
e |
|
y |
|
|
x) |
x y |
x y e |
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f yx . |
|
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
2 |
, |
x y |
, |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
3 x |
4 |
y |
2 |
z |
2 |
; |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x
x
y |
x |
2 |
; |
|
|
|
|
||
y |
e |
x y |
( x y 1) . |
|
|
|
|
3 |
u |
|
|
|
3 |
u |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
, |
x |
2 |
y |
|||
y z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u |
2 x |
4 |
y |
3 |
z . |
||||
|
|
|
|||||||
z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
для функции
|
2u |
|
|
|
u |
|
|
(4 x3 y3 z 2 ) 12 x2 y3 z 2 ; |
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
2 |
u |
|
|
2 |
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 x |
3 |
y |
2 |
z |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x y |
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 x |
3 |
y |
2 |
z ; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x y z |
|
z x y |
z |
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
2 |
y |
y x |
2 |
y |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 3. Дана функция |
|
z e |
x y |
. Показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
x |
y |
y |
2 |
x |
y |
2 z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Находим |
|
|
|
e |
x y |
y |
; |
|
|
|
|
|
|
e |
x y |
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
Подставляем найденные производные в левую часть уравнения:
x y
e
x
y .
x y ex y x y ex y 2ex y x y 2ex y 2ex y 2 z
Правая часть уравнения имеет тот же вид. Значит, функция решением данного уравнения.
.
z e x y
является
§4. Дифференцируемость функции двух переменных
Напомним, что для функции одной переменной y f ( x) существование
производной в точке
x0
является необходимым и достаточным условием
дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными утверждениями, т.е из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.
10
Функция z f ( x, y) называется дифференцируемой в точке M ( x; y) ,
если ее полное приращение можно представить в виде
z A x B y x y ,
где A , B – некоторые числа, ( x, y ) , ( x, y ) – бесконечно малые при x 0, y 0 .
Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции).
Если функция z f ( x, y) дифференцируема в точке M ( x; y) , то она
непрерывна
аргументу |
|
|
|
||
|
в
z x
этой
и |
z |
|
y |
||
|
точке и имеет в ней
, при этом |
z |
A , |
|
x |
|||
|
M |
||
|
|
частные
z |
B |
|
y |
||
M |
||
|
производные по каждому
.
Обратная теорема не верна, т.е. непрерывность функции или существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.
|
Пример 1. Функция |
z |
x |
2 |
y |
2 |
непрерывна в точке |
(0; 0) , |
|
но |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
дифференцируема в этой |
точке, |
|
т.к. формулы |
z |
|
2 x |
|||||||||||
|
x |
x |
2 |
y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
|
2 y |
в этой точке теряют смысл. Действительно, зафиксируем |
||||||||||||||
y |
x |
2 |
y |
||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не
,
2
y
в этой функции. Пусть y производной в точке x 0.
x3 |
y3 |
|
|
|
|
|
y 2 |
|
Пример 2. z x2 |
||
|
0, |
|
|
0 |
, тогда z |
x2 x – функция, не имеющая |
|
|
|
,x2 y 2 0 ;
x2 y 2 0.
Данная функция имеет в точке |
O ( 0; 0) |
частные производные, но не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
x 0; |
т.е. z ( x, 0) x и |
|||||||
дифференцируема в этой точке, т.к. z ( x, 0) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
x 0, |
|
|
|
|
|
|||
z |
|
|
( z ( x, 0)) |
|
1. Аналогично, |
зафиксировав |
|
x |
|
|
( x 0 ) , имеем |
|||||||||||||||||
x |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
( 0; 0) |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z (0, y ) y , |
|
|
z |
|
|
( z (0, y )) |
|
|
1. Итак, |
функция |
|
имеет |
частные |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
( 0; 0) |
|
y |
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
производные в точке O ( 0; 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Докажем, что функция не |
дифференцируема |
|
в |
|
точке |
O ( 0; 0) . |
|||||||||||||||||||||
Предположим противное, тогда приращение функции в этой точке |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z f ( x x, y y ) f ( x, y ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
( x x)3 |
( y y)3 |
|
x3 y |
3 |
|
x3 y3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 0 |
|
|||||
|
|
|
|
( x |
x) |
( y y) |
|
y |
2 |
x |
y |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно представить в виде:
z |
z |
|
x |
z |
|
x |
|
y |
|
||
|
( 0; 0) |
|
|
||
|
|
|
( 0 ; 0 ) |
||
|
|
|
|
Подставляя полученное, имеем:
y ( x, y )
( x,
y )
.
x3 y3 1 x 1 y ( x, y ) ( x,
x2 y2
или |
|
y |
|
|
x |
|
y |
|
x |
|
y |
|
x y |
|
|||
x |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
3 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
2 |
y |
2 |
x y |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
2 |
x |
2 |
y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
( x, y ) ( x, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т.е. |
lim |
x y2 x2 |
y |
|
|
|
0. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( x2 y2 ) |
|
x |
2 y2 |
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что этот предел не существует. Пусть |
x , |
|||||||||||
нулю так, что y k x |
(k 0) |
, тогда |
|
y )
y ) ,
y
x |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стремятся к
|
x k |
2 |
x |
2 |
x |
2 |
k x |
|
k |
2 |
k |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
( x |
2 |
k |
2 |
x |
2 |
) |
3 2 |
|
(1 k |
2 |
) |
3 2 |
||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Так как предел принимает различные значения, зависящие от |
k , то такой |
предел не существует. Следовательно, предположение о дифференцируемости функции было неверным и функция не дифференцируема в точке O ( 0; 0) .
Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции).
Если функция
z f ( x, y)
имеет частные производные в некоторой
окрестности точки |
M ( x; y) |
и эти частные производные непрерывны в самой |
точке M ( x; y) , то функция дифференцируема в этой точке.
Непрерывность частных производных в точке является достаточным условием дифференцируемости функции (но не необходимым!), т.к. если функция дифференцируема в точке, то частные производные существуют, но они не обязательно непрерывны в этой точке.
§5. Полный дифференциал функции
Пусть функция z f ( x, y) дифференцируема в точке M ( x; y) , т.е. ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:
z xz x yz y x y ,
12
где |
( x, y ) , |
( x, y ) |
– бесконечно малые при |
y 0 . |
|
|
|
|
Полным дифференциалом dz |
функции z f ( x, y) в точке |
x 0, M ( x; y)
называется главная часть приращения функции, и y :
dz |
z |
x |
z |
y |
|
x |
y |
||||
|
|
|
линейная относительно
.
x
Дифференциалы переменных, так Аналогично, для функции в точке
независимых переменных |
x и |
y есть приращения этих |
|||
как, если положить z x , |
то |
dz d x 1 x 0 y x . |
|||
z y получим dz dy. Поэтому полный дифференциал |
|||||
M можно записать в виде: |
|
|
|||
dz |
z |
d x |
z |
dy . |
|
x |
y |
|
|||
|
|
|
|
Выражения |
d x z |
z |
d x , |
d y z |
z |
dy |
|||
x |
y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
дифференциалами |
функции |
z f ( x, y) |
|
||||||
соответствующими приращениям аргументов |
x |
и |
называются
|
в |
точке |
y |
отдельно. |
частными
M ( x; y) ,
|
|
|
|
|
Геометрический |
смысл |
дифференциала |
|||||||
|
z |
|
функции двух |
переменных: |
если |
полное |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
приращение |
|
z |
функции |
в |
точке |
||||
|
|
|
|
|
геометрически |
|
представляет |
собой |
||||||
|
M1 |
|
приращение |
AM1 |
аппликаты поверхности |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
M |
|
B |
|
z f ( x, y) , то дифференциал |
dz функции |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
A |
|
есть |
приращение |
AB |
|
аппликаты |
|||||
|
0 |
|
|
y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
касательной |
плоскости |
к |
поверхности |
||||||
x |
(x; y) |
|
|
|
z f ( x, y) |
в |
данной |
точке, |
когда |
|||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
(x x; y y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
независимые переменные |
x |
и |
y получают |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Рис. 6 |
|
приращения x и |
y |
(рис. 6). |
|
|
|||||||
|
Пример. Дана функция u ex 2 y 2 z 2 . Найти полный дифференциал du |
|||||||||||||
функции в точке M |
0;1; 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Найдем частные производные в точке M 0;1; 2 : |
|
|
u |
ex |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
2x |
x |
|
|
|
||||
M |
|
|
|
|
|
|
uz M
0 |
, |
u |
|
e |
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
2 y |
|
|
|
|
||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
M |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex 2 y 2 z 2 2 z |
4e5 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
2e |
5 |
|
,
Тогда du |
u |
M |
d x |
u |
dy |
u |
d z 2e5 d y 4e5 d z . |
|
M |
x |
|
y M |
|
z |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
§6. Применение полного дифференциала функции к приближенным вычислениям
|
Рассмотрим функцию |
z f ( x, y) |
, дифференцируемую в точке |
M ( x; y) : |
|||||
|
z |
z |
x |
z |
y x y , |
|
|
||
|
x |
y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
( x, y ) , |
( x, y ) |
– бесконечно малые |
при |
x 0, |
||||
y 0 . Эта формула фактически означает, что функция, дифференцируемая |
|||||||||
в точке M ( x; y) , “почти |
линейна” |
|
в окрестности точки |
M . Выделение |
линейной части функции называется ее линеаризацией. При достаточно
малых приращениях независимых переменных |
x |
и |
|
y |
|
можно полагать, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
что z d z . Переписав это более подробно
f ( x x, y y ) f ( x, y ) d z M ,
можно использовать полученное приближенное приближенного значения приращения функции
равенство в виде
f ( x x, y y ) f ( x, y ) |
|
f |
|
|
M |
x |
M |
|
|
равенство
z . Если
x f y M
для вычисления же записать это
y ,
то эту формулу используют для вычисления приближенных функции z f ( x, y) в точке M ( x; y) .
|
Пример |
1. Найти |
приближенное |
значение |
|
приращения |
|||||||
f |
( x, y ) 3 x |
2 |
9 y |
2 |
9 x y |
при |
переходе |
от точки |
M 0 ( x0 ; y0 ) |
||||
|
|
||||||||||||
M ( x0 x; |
y0 y) , если |
x0 9 |
, |
y0 3 , |
x0 x 9,09 |
, |
y0 y |
||||||
|
Решение. |
Так |
как |
z f |
(M ) f |
(M 0 ) d z |
M |
, |
найдем |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
частных производных в точке M 0 ( x0 ; y0 ) :
значений
функции к точке
2,94 .
значения
z |
(6 x 9 y) |
|
|
6 9 9 3 27 |
, |
||||
x |
M |
||||||||
|
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
(18y 9 x) |
|
|
|
18 3 9 9 27 . |
|||
y |
|
M |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
M |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, учитывая, что |
x 0,09 |
, y 0,06, получим: |
|
||||||
|
|
z 27 0,09 27 ( 0,06) 4,05. |
|
Пример 2. Вычислить приближенно ( 2 0,97 )3,02 . Решение. Для того, чтобы воспользоваться приближенного вычисления необходимо ввести функцию
формулой
z ( 2 |
x ) |
y |
|
для , для
которой ( 2 |
0,97 ) |
3,02 |
является частным значением при |
x 0,97 |
, |
y 3,02 |
, и |
|
подобрать “хорошую”, близкую к данной, точку, в которой вычисления не представляют труда. В качестве такой точки возьмем M 0 ( x0 ; y0 ) , где x0 1,
y0 3 , тогда x0 x 0,97 , y0 y 3,02 и x 0,03, y 0,02.
Найдем частные производные в точке M 0 ( x0 ; y0 ) :
14
Значит,
( 2
|
z |
|
|
y ( 2 |
|
x ) |
y 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
, |
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
M |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
M |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
( 2 |
|
x ) |
y |
ln ( 2 |
|
x ) |
|
|
0 . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
M 0 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,97 ) |
3,02 |
(2 |
1) |
3 |
|
|
3 |
|
( 0,03) 0 |
0,02 1,045 . |
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Линеаризуя функцию
f |
( x, y ) y |
x |
|
в точке
( 1;1)
, найти
приближенно
f
( 1,01;1,05)
.
( x;
Решение. Линеаризуя функцию |
f |
|
|
y) , достаточно близких к точке ( 1;1) |
|||
f ( x, y ) f ( 1, 1) f |
|
|
|
x |
(1;1) |
|
|
|
|
( ,
(
x, y ) в точке ( 1;1) , получим при |
|
приближенное равенство |
|
|
( y 1) , |
x 1) f y |
|
|
(1;1) |
где
x
x 1, y y 1 |
. Подставляя в это равенство |
|
|
|
||||||||||
f (1,1) 1, |
|
|
y |
x |
ln y |
|
|
0 , |
|
|
x y |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f x |
(1;1) |
|
|
|
f y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(1;1) |
|
|
|
(1;1) |
|
|
(1;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
,
получим при
( x;
y)
, близких к точке
f ( x, y )
( 1;1) 1 ( y
:
1)
y
.
Следовательно,
x |
y |
|
y
. В частности,
f
( 1,01;1,05) 1,051,01
1,05
.
§7. Производная сложной функции
I. Если задана функция двух переменных |
z f ( x, y) , в которой каждая |
из переменных |
x и y |
является функцией одной переменной |
t , т.е. |
x x (t) , |
|||
y y (t) , то |
функция |
z f ( x(t), y (t)) является |
сложной функцией |
одной |
|||
переменной |
t . |
При |
этом t – независимая |
переменная, |
а x |
и |
y – |
промежуточные переменные.
Теорема 1. Пусть z f ( x, y) – дифференцируемая в точке M ( x; y)
функция, а |
x x (t) , |
y y (t) – дифференцируемые функции в точке t . Тогда |
сложная функция z f ( x(t), y (t)) также дифференцируема в точке t |
: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
d z |
|
z |
|
d x |
|
z |
|
dy |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dt |
x |
dt |
y |
dt |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 1. Найти |
d z |
, если |
z log4 (x2 5 xy) |
, |
x 7t , |
y sin3t . |
|
||||||||||||
dt |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем |
|
z |
, |
z |
, |
d x |
, |
|
dy |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
y |
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z
x (x2
15 xy) ln 4 d x dt
(2 x
7t ln
5 7
y)
,
,
z
y (x2
dy |
3cos 3 |
|
dt |
||
|
15 xy) ln 4
t .
( 5 x)
,
Тогда по формуле производной сложной функции одной переменной получаем:
d z |
|
|
|
2 x 5y |
7 |
t |
ln 7 |
|
|
|
5 x |
3cos 3 t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dt |
(x |
2 |
5 xy) ln 4 |
|
(x |
2 |
5 xy) ln 4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 x 5y) |
7 |
t |
ln 7 |
15 x cos 3 t |
|
|
(2 7 |
t |
5sin3 t) 7 |
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(x |
2 |
5 xy) ln 4 |
|
|
|
|
|
(7 |
2t |
5 7 |
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2 7 |
t |
5sin 3 t) ln 7 15cos 3 t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(7 |
t |
5sin 3 t) ln 4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 7 15 7 |
t |
cos 3 t |
|
|
|
||
sin 3 t) ln 4 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Рассмотрим частный случай: пусть задана функция z f ( x, y) , где y зависит от одного аргумента x , т.е. y y (x) . Тогда функция z f ( x, y (x))
является сложной функцией одной переменной x , и можно ставить вопрос о
нахождении производной
d z d x
. Этот случай является частным случаем
предыдущего, где роль переменной t |
играет |
x : |
|
|
|||||||||||
|
|
d z |
|
z |
|
d x |
|
z |
|
dy |
|
z |
|
z |
|
|
|
d x |
x |
d x |
y |
d x |
x |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Полученная |
формула |
носит |
название |
формулы |
|||||||||||
производной |
d z |
(в отличие от частной производной |
|||||||||||||
d x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
. |
||
d x |
||||
|
|
|||
для |
|
вычисления полной |
||
z |
). |
|||
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d z |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
||
Пример 2. Найти |
, если |
z |
|
x |
3 |
y , |
|||||||||||||||
|
|
y |
|||||||||||||||||||
d x |
|
|
|||||||||||||||||||
Решение. Найдем |
z |
, |
z , |
|
dy |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
z |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
3 x |
|
3 |
y , |
|
x |
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
d z |
|
|
|
3 x |
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||
|
|
d x |
|
y |
|
|
y |
2 |
3 3 y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
cos 2 x |
||||||||||||||
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Если задана функция двух переменных
y cos x .
|
|
1 |
, |
dy |
sin x . |
|
|
d x |
|||
3 |
3 |
y |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
sin x
2
1 |
|
|
|
|
|
|
xsin x . |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
z f ( x, y) , в которой каждая
из переменных x и y является функцией двух переменных u и v , т.е.
16
x
x(
u ,v)
,
y
y (
u,v)
, то функция
z f ( x( u,v), y ( u,v))
является сложной
функцией двух переменные, а x
переменных |
u |
и |
v . При этом |
u |
и |
y |
– промежуточные переменные. |
и |
v |
– независимые |
Теорема 2. |
Пусть |
z f ( x, y) |
– |
дифференцируемая в точке |
M ( x; y) |
|||
функция, |
а x x( u ,v) , |
y y ( u,v) |
– |
дифференцируемые функции в точке |
||||
( u ;v) . |
Тогда |
сложная |
функция |
z f ( x( u,v), y ( u,v)) |
также |
дифференцируема в точке ( u ;v) и ее частные производные находятся по формулам:
z |
|
z |
|
x |
|
z |
|
y |
, |
|
u |
x |
u |
y |
u |
||||||
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти
Решение. Найдем
z 1 2 x
x y
z u z x
y
|
z |
|
|
v |
|
, |
z |
|
v |
||
|
||
, |
z |
|
y |
||
|
||
cos ( |
zx
,если
x
,,
u
xy) ,
x |
|
z |
||||
v |
y |
|||||
|
|
|||||
z |
x2 |
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|||||
|
|
y |
|
|||
x |
, |
y |
, |
|||
v |
u |
|||||
|
|
|||||
z |
x |
2 |
||||
|
|
|||||
y |
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
. |
|
v |
|||
|
|
sin ( xy) ,
y
:
v
1
2y
x
x
u |
, |
|
v |
||
|
cos
y e |
uv |
|
( xy) ,
.
x |
|
1 |
, |
x |
|
|
1 |
|
, |
|
u |
v |
v |
u |
v |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно формулам для нахождения функции двух переменных получаем:
y |
ve |
uv |
, |
y |
u e |
uv |
. |
|
|
||||||
u |
|
v |
|
||||
|
|
|
|
|
|
частных производных от сложной
|
z |
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y cos ( xy) |
|
|
|
|
|
|
2 |
x cos ( xy) |
|
ve |
|||||||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2u |
|
|
uv |
|
u e |
uv |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
|
u |
|
|
u e |
uv |
|
|||||||||||
|
e |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
uv |
|
|
|
|
|
v |
|
|
v |
|
|
|
|
|
2 |
e |
2uv |
|
v |
|
|
|
v |
|
|
|
|||||||||
z |
ve |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y cos ( xy) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
x cos ( xy) |
|
||||||||||||||||||||||
v |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2u |
|
|
|
uv |
|
u e |
uv |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
u |
|
|
u e |
uv |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
uv |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2uv |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
v |
|
|
|
|
|
e |
|
v |
|
|
|
|
v |
|
||||||||||||||
|
ve |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uv |
|
|
|
|
|
||
ve |
uv |
||
|
|||
u e |
uv |
||
|
|
||
|
|
|
|
|
u e |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
,
uv
.
Эти формулы могут быть обобщены для случая большего числа переменных.
17
§8. Производная неявной функции
F(
I. Функция y f ( x) называется неявной, если она задается уравнением x, y) 0, неразрешенным относительно y .
Производная |
dy |
неявной функции |
y , заданной уравнением |
||
d x |
|||||
|
|
|
|
||
(предполагается, что |
|
0 ), находится по формуле: |
|||
Fy |
F( x, y) 0
Пример 1. Найти |
dy |
|
d x |
||
|
Решение. Уравнение
dy |
|
F |
. |
||||
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
d x |
|
|
|
F |
|
||
|
|
|
|
|
y |
|
|
, где sin (xy) |
x |
. |
|||||
y |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
sin (xy) |
x |
определяет |
|||||
|
2 |
||||||
y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
y
как неявную функцию
от |
x . Здесь F ( x, y) sin (xy) |
|||||
|
|
|
F y cos ( |
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y cos ( xy) |
1 |
||
|
|
dy |
y |
2 |
||
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|||
d x |
|
2 x |
||||
|
|
x cos ( xy) |
||||
|
|
|
y |
3 |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Функция |
z f ( x, |
|
x |
. Найдем |
|
|
: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
y |
2 |
Fx |
, Fy |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy) |
1 |
, |
|
x cos ( xy) |
2 x |
. |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
y |
2 |
Fy |
y |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y cos ( xy) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
2 |
|
y ( 1 y |
3 |
cos ( xy)) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
2 x |
x ( y |
3 |
cos ( xy) 2) |
||||||
|
x cos ( xy) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y) |
|
|
называется |
неявной, |
если она |
задается
уравнением F( x, y, z ) 0 |
, неразрешенным относительно z . |
||
Уравнение |
F( x, y, z ) 0 |
определяет неявно одну |
|
однозначных функций z |
от x |
и y . Например, уравнение |
или несколько
x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
4 |
1 |
9 |
|||||||
|
|
|
неявно определяет две непрерывные функции z от x выразить явно, разрешив уравнение относительно
получаем: |
z 3 |
1 x2 |
y2 |
и z 3 |
1 |
x2 |
|
y2 |
. |
|
|
||||||||
|
|
4 |
1 |
|
4 |
1 |
|
и
z
y , которые можно
. В этом случае
Частные производные
z |
и |
z |
|
x |
y |
||
|
неявной функции
z
, заданной
уравнением |
F( x, y, z ) 0 |
(предполагается, |
что |
|
0 ), |
||||||
Fz |
|||||||||||
формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
Fx |
, |
z |
|
Fy |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
Fz |
|
y |
|
Fz |
|
|
Аналогичным образом определяются неявные функции переменных и находятся их частные производные.
18
находятся по
любого числа
Пример 2. Найти |
z |
|
и |
|
z |
, где e |
||||||||||
x |
|
|
y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Уравнение |
|
|
e |
z |
x |
3 |
y |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
функцию от x и y . Здесь |
|
F ( x, y, z ) e |
||||||||||||||
|
F |
3 x |
2 |
y |
, |
|
F |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
3 x |
2 |
y |
|
|
|
|
3 x |
2 |
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
e |
z |
|
|
1 |
1 e |
z |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
x |
3 |
y |
z 5 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
z 5 0 |
определяет |
z |
|
как |
неявную |
|||||||||||||||
z |
x |
3 |
y |
z 5 |
. Найдем |
F , F |
и F : |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
z |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x , |
|
|
e |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Fz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
y |
e |
z |
1 |
1 e |
z |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§9. Производная по направлению
Пусть
M |
0 |
( x |
; y |
0 |
|
0 |
|
вектором
|
функция |
z f ( x, y) определена в некоторой окрестности точки |
|||
) |
|
и задано некоторое |
направление, |
определяемое единичным |
|
|
cos |
; cos , где |
cos , cos |
– направляющие косинусы |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора l , |
. Для |
характеристики |
скорости |
изменения |
функции |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z f ( x, y) |
в точке |
M 0 ( x0 ; y0 ) в направлении вектора |
l вводится понятие |
||||||||||||||||||
производной функции в точке по направлению вектора. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При перемещении точки M 0 ( x0 ; y0 ) |
в направлении вектора l |
в точку |
|||||||||||||||||||
M ( x0 x; y0 y) |
|
функция |
|
z f ( x, y) |
|
получает |
|
приращение |
|||||||||||||
l z f ( x0 |
x; y0 |
y) f |
( x0 |
, y0 ) , |
которое |
называется |
приращением |
||||||||||||||
функции z f ( x, y) |
в точке M |
0 ( x0 |
; y0 ) |
в данном направлении вектора |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через |
|
l |
величину отрезка |
M 0 M , при |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
этом |
l |
( x)2 ( y)2 , |
если |
вектор |
M 0 M |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
( x) |
2 |
( y) |
2 |
|
||
|
|
|
|
сонаправлен |
вектору |
l , |
и |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
если |
вектор |
|
M |
0 M |
противоположно |
|
направлен |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектору l |
(рис. 7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производной |
z |
функции двух |
переменных |
z f ( x, y) |
|
в точке |
|||||||||||||||
l |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 ( x0 ; y0 ) |
по направлению вектора |
|
l |
называется |
предел |
отношения |
приращения функции в точке M 0 по этому направлению к величине перемещения l при стремлении l к нулю, т.е.
19