7771
.pdf5.275. В круг радиуса R |
вписан квадрат, в квадрат вписан круг, в этот круг |
||||||||||||||||||||||||||
опять вписан квадрат и так |
n раз. Найти предел суммы площадей всех |
||||||||||||||||||||||||||
кругов и площадей всех квадратов при n → ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§4. |
|
Сравнение бесконечно малых |
|
|
|
||||||||||||
В задачах |
5.276-5.287 |
определить порядок малости функции |
β (x) |
||||||||||||||||||||||||
относительно x |
при x → 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
β (x ) = 1 − cos x . |
|
|
|
β (x) = x3 + 100x 2 . |
|
|
|
|
β (x) = 3 |
|
− |
|
|
|
||||||||||||
5.276. |
5.277. |
5.278. |
x2 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||||||
5.279. |
β (x) = |
x(x + |
1 |
) |
. |
5.280. |
β (x ) = sin x − tg x . |
5.281. |
|
β (x) = 3sin3 x − x4 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 + |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
β (x) = e |
|
|
−1 . |
|
|
|
β (x) = esin x − 1. |
|
|
|
β (x) = e x2 − cos x . |
|||||||||||||||
5.282. |
x |
5.283. |
5.284. |
||||||||||||||||||||||||
|
β (x) = sin( |
|
|
|
− |
|
|
). |
|
5.286. β (x) = cos x − 3 |
|
. |
|
|
|
||||||||||||
5.285. |
|
|
x + 2 |
2 |
cos x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.287. |
β (x ) = arcsin x . |
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
При x → 1 функции |
y = |
и y = 1 − |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5.288. |
x |
|
бесконечно малые. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Какая из них более высокого порядка малости ?
5.289. Убедиться в том что при |
x → 1 бесконечно малые 1 − x |
и |
1 − 3 |
x |
|||||||||||||||||||||||
будут одного порядка малости. Будут ли они эквивалентны ? |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5.290. Доказать, что при |
x → 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) sin mx ≈ mx ; |
2) tg mx ≈ mx ; |
3) 3 |
|
|
|
|
− 1 ≈ |
1 |
x ; |
4) ln(1 + x ) ≈ x . |
|||||||||||||||||
1 + x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.291. Какой из функций |
x 2 , |
x3 |
, |
|
x3 |
, x3 , |
x 2 |
|
при |
x → 0 |
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
эквивалентна бесконечно малая |
ln |
|
1+ x3 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.292. Какой из функций |
2x2 , x3 , x2 , 2x3 ,3x |
при |
x → 0 |
|
эквивалентна |
||||||||||||||||||||||
бесконечно малая |
tg 2x − 2 tg x |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.293. Исходя из эквивалентности при x → 0 |
|
|
|
− 1 |
|
|
1 |
x |
|||||||||||||||||||
функций |
1 + x |
и |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вычислить приближённо |
|
105 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5. Непрерывность функции. Точки разрыва
Найти точки разрыва и построить графики функций:
5.294. |
y = |
3 |
. |
5.295. y = tg x . |
5.296. y = |
|
1 |
. |
|
|
− x 2 |
||||||
|
|
x |
|
1 |
|
51
5.297. |
y = |
|
x +1 |
|
. |
5.298. |
y = x + |
|
x − |
1 |
|
. |
5.299. y = 2 - |
|
|
x |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x +1 |
|
|
x - |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.300. |
y = |
x3 |
|
+ |
|
x |
. |
5.301. |
y = |
|
|
4 − x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 5.302 - 5.304 найти точки разрыва функций:
1 |
|
1 |
|
|
x |
|||
5.302. y = 1 − 2 |
|
. |
5.303. y = 2 |
|
. |
5.304. y = 3 |
|
. |
x |
x−2 |
x + 3 |
В задачах 5.305-5.306 построить графики функций и указать точки разрыва. Какие из условий непрерывности в них выполнены и какие не выполнены?
|
2 , |
|
|
|
x = 0, x = ±2 |
x |
|
x ¹ 2 |
|
||||||||||||
|
4 − x |
2 |
, |
|
0 < |
|
x |
|
< 2 . |
|
|
, |
при |
. |
|||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
5.305. y = |
|
|
|
|
5.306. y = |
|
|
x = 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 2 |
|
0 , |
при |
|
|||||
|
4 , |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
5.307. Исследовать функцию на непрерывность |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||
- |
|
arctg |
|
|
|
|
, x < - |
|
|
|
|
|
|
||||||||
π |
|
x + |
π |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) = |
ectg x , |
- π |
£ x < 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
x > 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 - ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При каком значении a функции непрерывны на всей числовой оси:
|
|
2 |
- 5x + 6, |
x ¹ 2 . |
|
x − 1, |
x ≤ 1 |
|
||
5.308. |
f (x) = x |
|
5.309. |
f (x) = |
2 |
− 2, x > 1 |
. |
|||
|
a , |
|
x = 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
Глава 6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§1. Производная функция
В задачах 6.1-6.9, пользуясь определением производной, найти
производные следующих функций: |
|
|
6.1. y = 3x + 5. |
6.2. y = x2 - 2x . |
6.3. y = x3 . |
52
|
|
|
|
|
y = |
1 |
|
|
y = |
1 |
|
||
6.4. |
y = x . |
6.5. |
. |
6.6. |
. |
||||||||
|
x |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
6.7. |
y = sin x . |
6.8. |
y = ln x . |
6.9. |
y = cos x . |
В задачах 6.10-6.27, пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производные следующих функций:
6.10. y = x2 - 2 + 3 .
3 x
6.13. |
s = |
|
2t4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|||
t2 + 3t +1 |
|||||||||
|
y = x2 ( |
|
|
+ tg x) . |
|||||
6.16. |
|
x |
|||||||
6.19. |
y =10x × log x . |
||||||||
|
|
|
|
7 |
|
||||
|
y = |
|
e x - ln x |
||||||
6.22. |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
e x + ln x |
||||||
6.25. |
y = |
|
2x |
- 2 |
. |
|
|||
|
|
|
|
arcsin x
|
3x3 |
3 |
|
2 |
|
|
|
x3 |
1 |
|
|||||
6.11. y = |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
+ |
|
. 6.12. y = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 x2 |
3 x5 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
3 - x |
6.14. |
y = |
5 |
+ |
ln x |
. |
sin x |
|
||||
|
|
|
x 2 |
6.17.y = x3 × 3x + ctg3 .
6.20.y = x × (log5 x - 1).
6.23. |
y = |
|
arctg x |
. |
|
|
|
||||
|
|
arcctg x |
|||
|
y = |
|
arccos x |
||
6.26. |
|
|
. |
||
|
e x + 3x |
6.15. y = |
|
|
|
|
x |
|
|
- |
|
|
x |
3 |
|
. |
||||
|
- cos x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
7 |
|
|
||||||||||||||
6.18. |
y = ex × arcsin x . |
|||||||||||||||||
|
y = |
3x2 |
+ ctg x |
|||||||||||||||
6.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
1 |
- 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||
6.24. |
y = |
arccos x |
. |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.27. |
y = |
arcctg x |
. |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
log2 x |
В задачах 6.28-6.69 найти производные сложных функций:
|
y = sin4x . |
|
|
|
|
|
|
|
y = tg 4 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6.28. |
|
|
|
|
|
|
6.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.30. |
|
|
|
x . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(x2 - 1)5 |
|
|
|||||||||||||||||
|
y = 5 × 5 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
1 + 4x − x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.31. |
4x + 3 |
6.32. |
6.33. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 − x 2 |
||||||||||||||||
|
y = 3 2x3 +1 + 4 |
|
|
6.35. y = x × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
. 6.36. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.34. |
3 |
. |
|
1 + 5x |
ln 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.37. |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
6.38. |
y = 2 arctg |
x |
|
3 |
. |
6.39. |
y = 3 (1 + sin 2 x)5 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 + x + x |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.40. |
y = |
|
|
|
1 - x3 |
|
. |
|
|
6.41. |
y = |
lnsin3x |
|
|
. |
|
|
|
|
6.42. |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
arcctge2 x |
|
|
lncos4x |
|
|
|
|
cos3 e2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
6.43. |
y = |
|
|
|
cos x |
|
. |
|
|
6.44. |
y = e |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.45. |
y = x |
2 |
×10 |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
+ lnsin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y = 2x |
2 |
|
|
× tg |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x3 × ctg |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6.46. |
y = x |
9 |
× 9 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
6.47. |
|
|
|
. |
6.48. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
3x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
y = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
6.51. y = |
|
|
1 - sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
6.49. |
|
|
|
|
x . |
|
6.50. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
arccos4 2x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
cos6 e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + cos x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.54. y = 2 × 3 x5 + 1 + |
5 |
. |
||||||||||||
6.52. |
arcsin2x |
. |
|
6.53. |
x + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 6.57. y = ln2 |
(3 9 − 5x ). |
|||||||||||||||||||||||
6.55. |
y = ln |
|
|
+ tg |
|
. |
6.56. |
y = ln arctg |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.58. |
y = arccos |
|
|
1 − x2 |
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.61. |
y = e x 2 ctg |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
3x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
||||
6.64. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = arcsin tg |
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
|
|||||||
6.67. |
y = arctg3 |
|
1 |
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
. |
6.59. |
y = arctg 3 2 x . |
|
|
|
|
6.60. |
y = 3x arctgsin x . |
|||||||||||||
|
|
y = 2x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
y = 5− x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6.62. |
x −1 |
|
|
|
|
6.63. |
tg2 |
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||
|
6.65. y = arccos |
|
2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 - x |
2 |
|||||||||
. |
|
|
|
|
. |
6.66. |
y = arcctg |
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 + x |
4 |
|
|
|
|
- 5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = log |
1 - e−x |
. |
|
||||||||||
|
6.68. |
y = ln |
1 + tg x |
. |
6.69. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 − ctg x |
|
|
6 |
|
ex |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 6.70-6.81 найти производные неявно заданных функций:
6.70. |
xy = y3 − 2x2 . |
6.71. |
|
x 2 |
+ |
y 2 |
= 1 . |
|
6.72. x2 − 5y2 + 4xy − 1 = 0 . |
||||||||||||||||||||||||
|
a 2 |
b2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.73. |
y = 1 + xe y . |
6.74. |
x 2 + e xy |
= y 2 . |
6.75. |
y = sin x + cos(x - y) . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x + y = ex + e y . |
|
|
|
|
ln y = arcsin |
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||||
6.76. |
6.77. |
|
. |
6.78. |
+ e x − 3 |
= 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
||||
6.79. |
2 xy = x 2 − y 2 . |
6.80. |
|
y = cos(2x + y) . |
6.81. |
sin(x × y) = x . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
В задачах 6.82-6.85 найти производные неявно заданных функций в |
||||||||||||||||||||||||||||||||
указанных точках: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке ( 0 ; 0 ) . |
|||||||||||||||
6.82. |
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
в точке |
2 |
2 |
|
|
|
. 6.83. x = y + sin y |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6.84. x2 + xy + y2 = 3 в точке (0 ; − |
|
). 6.85. (x − 1)y = ye y |
− xe x в точке (1;1) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В задачах 6.86-6.94 найти производные функций, используя метод |
||||||||||||||||||||||||||||||||
логарифмического дифференцирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6.86. |
y = x x . |
|
|
6.87. y = (sin x)cos x . |
6.88. |
|
y = xln x . |
54
|
|
|
|
x x |
|
|
|
sin x |
|
|
|
arcsin x |
|
|
|
|
|||||||
6.89. |
y = |
|
|
|
|
. |
6.90. |
y = (x2 + 1) |
. |
6.91. |
y = x |
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = (x + |
1)3 × 4 |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - 2 |
||||||
6.92. |
y = x |
1 − x |
. |
|
6.93. |
y = x arcsin |
x |
. |
|
6.94. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 + x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 (x - 3)2 |
||||||||||
В |
задачах |
6.95-6.106 найти |
производные |
функций, |
заданных |
параметрически :
x = t 2 + 2
6.95.y = 1 t3 − t .3
|
|
t + 1 |
|
|
|
|
|||||||
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.98. |
|
t - 1 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 + t |
3 |
|
|
|
|||||||
|
x = |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
1 + t |
|
|
|
||||||||
6.101. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
3at |
2 . |
|
||||||||||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
1 + t |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x = |
|
|
|
|
|
t |
+ 1 |
|||||
6.104. |
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||
|
|
|
|
t × e |
|||||||||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
6.96. |
x = e− 3t |
. |
|
||
|
|
|
|
||
|
y = e2t |
|
|
||
6.99. |
x = a cos3 t |
|
|||
|
|
|
. |
||
|
y = a sin |
3 t |
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.102. |
2 . |
|
|||
x = sin |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y = cost |
|
|
||
|
x = sin t - t |
|
|||
6.105. |
|
|
|
- t |
. |
|
y = cos t |
|
|
x = a(t - sint) |
|
|
|||||
6.97. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
y = a(1 - cost) |
|
||||||
6.100. |
x = et |
sin t |
|
|
||||
|
. |
|
|
|
||||
|
y = et |
cost |
|
|
||||
|
x = arccos |
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
||||
6.103. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
t − t 2 |
|||||||
|
y = |
|
|
|
||||
6.106. |
x = ln(1 + t 2 ) |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y = t - arctg t |
|
|
В задачах 6.107-6.122 найти производные указанного порядка от заданных функций:
6.107. |
y = x3 + 2x2 − 4x , |
y ′′′ = ? |
|||||||
6.109. |
y = x5 , |
y (5) |
= ? |
|
|
||||
6.111. |
y = ex 2 |
, |
y ′′′ = |
? |
|
|
|||
6.113. |
y = (1 + x 2 )× arctg x , |
y′′ = ? |
|||||||
6.115. |
y = tg(x + y ), |
|
y′′ = ? |
|
|||||
6.117. |
s = 1 + te s , |
|
d 2s |
= ? |
|
||||
|
dt2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x = a cost |
|
|
d |
3 |
y |
= ? |
||
6.119. |
|
|
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
y = bsin t |
|
|
dx3 |
|
6.108. |
y = ln x , |
|
y (4) = ? |
|
||||||||||||
6.110. |
y = sin2 x , |
|
y (6) = ? |
|||||||||||||
|
y = ln(x + |
|
|
|
|
) , |
y′′ = ? |
|||||||||
6.112. |
1 + x2 |
|||||||||||||||
6.114. |
x3 − 3xy + y3 = 0 , |
|
|
y′′ = ? |
||||||||||||
6.116. |
xy = e x + y , |
|
|
|
d 2 y |
= ? |
||||||||||
|
|
|
dx2 |
|
||||||||||||
|
x = at2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
d |
2 x |
|
= ? |
|||||||||
6.118. |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
dy 2 |
|
||||||||||
|
y = bt |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x = ln t |
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
y |
|
= ? |
|||
6.120. |
|
|
2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
-1 |
|
|
|
dx2 |
|||||||||||
|
y = t |
|
|
|
|
|
|
55
|
x = a(ϕ − sinϕ ) |
|
d |
2 |
y |
= ? |
|
6.121. |
|
− cosϕ ) |
, |
|
|||
|
|
|
|||||
|
y = a(1 |
|
dx2 |
|
x = arcsin t |
d |
2 x |
|
||
6.122. |
|
− t 2 ) , |
|
|
= ? |
|
dy 2 |
||||||
y = ln(1 |
|
§2. Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
|
В задачах 6.123-6.125 найти приращение функции |
f и её |
||||||||||||
дифференциал df |
(используя определение дифференциала) : |
|||||||||||||
6.123. |
f (x) = x3 |
|
в точке |
x = 0 , |
если |
x = 0,3 . |
|
|||||||
6.124. |
f (x) = 6x2 + x |
в точке |
x =1, |
если |
x = 0,01 . |
|
||||||||
6.125. |
f (x) = x2 − 2x |
в точке |
x = 3 , |
если |
x = −0,01 . |
|
||||||||
В задачах 6.126-6.127 найти |
приращение функции |
и её дифференциал |
||||||||||||
(используя формулу |
′ |
|
|
|
|
|
||||||||
dy = y dx ) : |
|
|
|
|
||||||||||
6.126. |
y = |
|
|
|
|
|
в точке x = 4 , |
|
x = 0,41 . |
|
||||
|
|
x |
если |
|
||||||||||
6.127. y = |
|
2 |
|
|
|
в точке x = 9 |
, |
если |
x = −0,01 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В задачах 6.128-6.151 найти |
дифференциалы следующих функций: |
6.128.
6.131.
6.134.
6.137.
6.140.
6.143.
y = 2sin x .
v = |
1 |
|
||
|
|
|
||
1 - u2 . |
||||
|
y = |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
49 − x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
y = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ln x |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = 3x |
+ |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
22x |
||||||||||||||
y = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
sin |
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 x |
6.129. |
s = |
gt 2 |
. |
|
|
|
6.130. s = a cos (ω × t + ϕ 0 ). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.132. |
ρ = a cos2 2ϕ . |
|
|
6.133. |
|
1 |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
y = x2 ×10 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||
6.135. |
y = 2sin x . |
|
|
|
|
6.136. |
y = 10x×arcsin x . |
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||
6.138. |
y = e |
|
× log5 x . |
|
|
6.139. |
y = x9 × 9 |
|
|
. |
|
||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
ln x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
x |
|
y = arctg |
3 |
1 |
|
|
|
|||||
6.141. |
y = ln cos |
4 |
+ |
|
|
. 6.142. |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
y = |
1 |
|
|
|
|
|
y = log6 |
1 - e |
− x |
|||||||||||
6.144. |
|
. |
|
|
6.145. |
|
. |
||||||||||||||
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
arctg |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
56
6.146.
6.149.
|
π |
|
|
y = ln sin |
2 |
− x . |
|
|
|
|
y = arctg x2 + 1.
6.147. |
y = 4ln sin 2 x . |
6.148. |
||
|
y = x2 × sin |
|
. |
|
6.150. |
x |
6.151. |
y = |
1 |
ln |
x − 5 |
|
||
|
x + 5 . |
|||||
2 |
|
|||||
y = |
|
|
cos x |
|||
|
|
|
|
|
||
|
− sin x . |
|||||
1 |
6.152. |
Вычислить |
f (1,05 ) , если |
f (x ) = e0,1x(1− x) . |
|
|
|
|
||||||||||
6.153. |
Вычислить приближенно : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
; |
2) |
|
|
; |
3) |
|
|
; |
4) |
3 |
7,98 |
; |
1) |
|
70 |
|
5 |
17 |
||||||||||||
|
|
|
(1,11)9 ; |
|
(0,98)8 ; |
|
|
||||||||||
5) |
4 |
15,8 |
; |
6) |
7) |
8) |
e 0,1 ; |
||||||||||
9) |
e −0,03 |
; |
10) |
ln0,984 ; |
11) |
tg 45030′ ; |
12) |
tg 440 ; |
|||||||||
13) |
tg 460 |
; |
14) |
sin1,55; |
15) |
arcsin0,54 ; |
16) |
arctg 0,96 . |
|
§3. Применение производной в геометрии и физике |
|||||||||||
В задачах 6.154-6.167 написать уравнения |
касательной |
и нормали к |
||||||||||
кривым в заданной точке: |
|
|
|
|
|
|||||||
6.154. |
f (x) = x 2 + 4 x − 3 , |
точка |
(1 ; 2 ). |
|
|
|||||||
6.155. |
f (x) = x 3 + 2 x 2 − 4 x − 3 , точка |
(1 ; − 4 ). |
|
|||||||||
6.156. |
f (x) = x 2 − 2 x + 5 |
в точке с абсциссой |
x 0 = 2 . |
|
||||||||
|
y = 3 |
|
|
|
|
|
|
абсциссой x 0 = 9 . |
|
|||
6.157. |
x − 1 |
в |
точке с |
|
||||||||
6.158. |
y = ln x |
в точке с абсциссой |
x 0 |
= e . |
|
|||||||
6.159. |
y = 2x − ln x |
в точке с абсциссой |
x 0 |
= 1 . |
|
|||||||
6.160. |
y = arcsin |
x − 1 |
|
в точке пересечения кривой с осью |
OX . |
|||||||
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.161. |
y = arccos3x |
в точке пересечения кривой с осью OY . |
||||||||||
6.162. |
f (x) = tg 2x , |
в начале координат . |
|
|
||||||||
6.163. |
y = x 3 + 2 x 2 − 1 в точке пересечения этой кривой с параболой y = 2 x 2 . |
|||||||||||
6.164. |
y 4 = 3x3 в точке |
( 3 ; 3 ) . |
|
|
|
|
|
|||||
6.165. |
x5 + y5 − 2 xy = 0 |
в точке |
(1 ; 1 ) . |
|
|
|
57
6.166. |
x 4 + 2 y 3 − 3xy = 0 |
в точке (1 ; 1 ) . |
|
|
|||
6.167. |
x2 |
− |
y2 |
= 1 |
в точке M (− 9 ; − 8 ). |
|
|
9 |
|
|
|||||
|
8 |
|
|
|
|
||
6.168. |
Написать уравнение касательной |
к кривой |
y = x ln x в точке, в |
||||
которой нормаль к этой |
кривой параллельна прямой |
2x − 2 y + 3 = 0 . |
В задачах 6.169-6.172 написать уравнения касательной и нормали к кривой, заданной параметрически :
x = t 2
6.169. 3 в точке с координатами ( 4 ; 8 ) .
y = t
6.170. |
x = 2e t |
|
|
точке, |
соответствующей значению параметра t = 0 . |
||||||||||
|
−t |
в |
|
||||||||||||
|
y = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x = sin t |
|
при t = 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
6.171. |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y = a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t − sin t |
в точке , для которой t = π . |
|
|
|
||||||||||
6.172. |
|
− cos t |
|
|
|
||||||||||
|
y = 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
6.173. |
Написать уравнения касательных |
к кривой |
x2 |
− |
y 2 |
= 1 , которые |
|||||||||
|
7 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 4 y − 3 = 0 . |
2 |
|
|
|||
перпендикулярны |
|
прямой |
|
|
|
|
|
||||||||
6.174. |
В какой точке касательная к кривой |
y 2 = x 3 |
|
перпендикулярна |
|||||||||||
прямой 4x − 3y + 2 = 0 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6.175. На линии |
|
y = |
|
1 |
найти точку, в которой касательная параллельна |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
оси абсцисс. |
|
|
|
|
|
x 2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.176. На кривой |
|
y = x 3 |
найти точку, в которой касательная параллельна |
||||||||||||
биссектрисе первого координатного угла. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6.177. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии: |
|||||||||||||||
1) y = x 2 и y = x 3 ; |
2) y = x 2 и y = kx ; |
3) x 2 + y 2 = 4 и x + 2 y = 2 . |
|||||||||||||
6.178. |
Точка движется прямолинейно |
по |
закону s = 3t 2 + t − 1 . Найти |
||||||||||||
скорость и ускорение точки для моментов времени t0 = 0 , |
t1 = 1 , t2 = 2 |
||||||||||||||
( s дается в метрах, t |
- секундах). |
|
|
|
|
|
|
6.179. Точка совершает колебательное движение по оси абсцисс по закону x = cosω t . Найти момент времени, когда скорость равна нулю. Чему в это время равно x ?
58
6.180. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента t = 0 , определяется формулой Q = 2t 2 + 3t + 1 . Найти силу тока в конце десятой секунды.
§4. Правило Лопиталя для вычисления пределов
В задачах 6.181-6.198 вычислить пределы, раскрыв неопределенности
0
вида 0 :
6.181.
6.184.
6.187.
6.190.
6.193.
6.196.
lim sin3x .
x→0 x
x − 1 lim .
x →1 3 x − 1
lim x − 1 . x →1 ln x
lim |
tg x − sin x |
|
|||
x − sin x . |
|||||
x →0 |
|||||
|
|
eax − ebx |
|||
lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
x →0 |
sin x |
lim |
x |
4 − 16 |
|
|
|
. |
|
|
|
||
x → −2 |
x + 2 |
|
lim |
|
|
|
tg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x7 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.182. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
6.183. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x →1 x9 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6.185. |
lim |
1 + cos x |
. |
|
|
6.186. |
lim |
e x − 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x →π |
|
|
|
x − π |
|
|
|
|
x→0 sin2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6.188. |
lim |
1 − cos x |
. |
|
|
|
6.189. |
lim |
|
x − sin x |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x →0 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim |
|
x − arctg x |
|
lim |
1 − 2 sin x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6.191. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
6.192. |
x → |
π |
cos 3x |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.194. |
lim |
|
x3 − 1 |
. |
|
|
|
|
|
6.195. lim |
|
|
|
|
|
x2 − 16 |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 5x + |
4 |
||||||||||||||||||
|
x→1 ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→4 x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
1 − |
4sin |
2 πx |
||||||||||||||||
6.197. |
lim |
|
1 + 5x − e |
. |
6.198. |
|
|
|
6 . |
||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
sin |
2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →1 |
|
|
|
|
В задачах 6.199-6.209 вычислить пределы, раскрыв неопределенности
∞ вида ∞ :
6.199. |
1) lim |
e x |
, |
2) lim |
e x |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
x →+∞ x3 |
|
|
|
|
x →−∞ x |
3 |
|||||
6.202 |
lim |
|
x3 − 16 |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||
|
x →∞ x4 + 3x |
2 |
|
8 |
|
|
||||||
6.205. |
lim |
lnsin5x |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x →0 lnsin2x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
6.208. lim x × e 2 .
x → ∞ x + e x
. |
6.200. lim |
ln x |
. 6.201. lim |
ln x |
. |
|
|
||||
|
|||||
|
x → ∞ x |
x →0 ctg x |
6. 203.
6.206.
6.209.
lim |
tg x |
|
||
tg 3x . |
||||
x → |
π |
|||
2 |
|
|
||
|
|
|
lim ln(1 + e x )
x →∞ x
ctg(x − 1) lim ( − ) x →1 ln 1 x
|
|
tg πx |
|
||||||
6.204. |
lim |
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
− x) |
|||||||
|
x →1 ln(1 |
|
|||||||
|
lim |
ln2 x |
|
||||||
. 6.207. |
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
x →+∞ 100 x |
|
.
59
В задачах 6.210-6.224 вычислить пределы, раскрыв неопределенности
вида |
|
[0×¥] |
|
, |
|
|
|
|
[¥ - ¥] |
, |
|
|
1∞ |
, |
00 |
|
|
∞0 |
|
|
|
|
|
|
сведением их к неопределенностям |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
путем алгебраических преобразований: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.210. |
lim (π - x)× tg |
x |
|
. |
6.211. |
|
|
|
lim (1 - e2 x )× ctg x . 6.212. |
lim x × ln x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
lim x × e x |
- 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.213. |
|
6.214. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 6.215. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → |
2 x |
- 2 x 2 - 4 |
|
|
x →1 x |
- 1 ln x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6.216. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
6.217. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
6.218. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x → |
0 x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim (sin 2x)cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
6.219. |
x → π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
6.220. |
|
|
|
lim |
1 |
+ |
|
|
|
. |
6.221. |
lim |
1 + |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → ∞ |
|
|
|
x |
|
|
|
x →∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|||||||||||||||||||
6.222. |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
6.223. |
|
|
|
lim (ln x ) . |
6.224. |
lim (ctg x ) |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x → 0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
§5. Исследование функций и построение графиков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
В задачах 6.225-6.233 определить интервалы монотонности |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.225. |
y = x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.226. |
y = x 3 + 2 x - 5 . |
6.227. |
y = 1 - x + 2 x 4 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = 3 |
|
|
+ |
2 |
x . |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
y = x ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.228. |
x2 |
6.229. |
y = |
|
|
|
|
6.230. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6.231. |
y = 2 x 2 - ln x . |
6.232. |
|
y = x 2e− x . |
|
|
|
|
6.233. |
y = x + cos x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
В задачах 6.234-6.242 исследовать функцию на экстремум: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.234. |
y = x |
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.235. |
y = |
|
1 |
|
x |
4 |
- |
2x |
2 |
+ 3. |
6.236. |
y = |
x2 |
+ 1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y = 1 − ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.237. |
|
|
|
6.238. |
|
y = x 2 − x2 . |
|
6.239. |
|
|
|
2 |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x |
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
ln |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x − arctg x . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
6.240. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
6.241. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
6.242. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = x |
|
|
- x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60