7762

2.72. Доказать,

,

+

,

b

и

векторы

b

что для любых заданных векторов

a

c

a

+

и

−

компланарны.

b

c

a

c

α

=

+

= {0 ; 1; 0 },

a

i

j

2.73.

При

каком значении

векторы

+ α × k

,

b

= {3;0 ; 1 }

компланарны?

с

2.74.

,

,

правую тройку,

b

Векторы

a

и

с

образующие

взаимно

= 4 ,

= 2 ,

= 3 , вычислить

(

).

перпендикулярны. Зная, что

b

a

c

a

b

c

= {1; − 1; 3 },

= {− 2 ; 2 ; 1 },

= {3;−2 ; 5 }.

2.75. Даны три вектора:

b

a

с

Вычислить (

).

b

a

c

2.76. Даны вершины тетраэдра:

A( 2; 3; 1 ),

B ( 4 ; 1;−2 ),

C ( 6; 3; 7 )

и

D ( − 5; − 4; 8 ) .

Найти длину высоты, которая опущена из вершины D .

2.77.

Найти

объём

треугольной

призмы

построенной

на

векторах

=

+ 2

+

= 2

+ 4

+

и

= 2

−

.

i

j

3k

i

j

k

c

i

j

,

b

a

2.78.

Объем

тетраэдра

V = 5 .

Три его

вершины находятся

в точках

A ( 2 ; 1 ; − 1 )

,

B ( 3 ; 0 ; 1 ) и

C ( 2 ; − 1 ; 3 ).

Найти координаты

четвертой

вершины D , если известно, что она лежит на оси

OY .

2.79.

Дана пирамида

с

вершинами

в точках

A1 (1 ; 2 ; 3 ) ,

A2 ( − 2 ; 4 ;1),

A3 ( 7 ; 6 ; 3 ), A4 ( 4 ; − 3 ;1).

Найти:

1) длины рёбер

A1 A 2 ,

A1 A 3 ,

A1 A 4 ;

2) площадь грани

A1 A2 A3 ;

3) угол между рёбрами A1 A 2 и A1 A 3 ;

4) объём пирамиды A1 A 2 A 3 A 4 ;

5) длину высоты пирамиды на грань A1 A2 A3 .

3.30.

Даны

уравнения двух

сторон

прямоугольника 3 x − 2 y − 5 = 0 ,

2 x + 3 y + 7 = 0

и одна из его вершин

A ( − 2 ; 1 ). Вычислить площадь этого

прямоугольника.

3.31.

Доказать, что прямая 2 x + y + 3 = 0

пересекает отрезок, ограниченный

точками M 1 ( − 5 ; 1 ) ,

M 2 ( 3 ; 7 ).

3.32.

Доказать, что

прямая

2 x − 3 y + 6 = 0 не пересекает отрезок,

ограниченный точками

M 1 ( − 2 ; − 3 ),

M 2 (1 ; − 2 ) .

3.33.

Вычислить расстояние d

между параллельными прямыми в каждом

из следующих случаев:

1)

3 x − 4 y − 10 = 0 ,

6 x − 8 y + 5 = 0 ; 2) 5 x − 12 y + 26 = 0 , 5 x − 12 y − 13 = 0 ;

3)

4 x − 3 y + 15 = 0 ,

8 x − 6 y + 25 = 0 ; 4) 24 x − 10 y + 39 = 0 , 12 x − 5 y − 26 = 0 .

3.34.

Доказать,

что

прямая

5 x − 2 y − 1 = 0 параллельна

прямым

5 x − 2 y + 7 = 0 и

5 x − 2 y − 9 = 0 и делит расстояние между ними пополам.

3.35. Составить

уравнение прямой,

проходящей через точку пересечения

прямых 3 x − 2 y + 5 = 0 ,

4 x + 3 y − 1 = 0 и отсекающей на оси ординат

отрезок b = − 3 .

3.36. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку

пересечения прямых 2 x + y − 2 = 0 ,

x − 5 y − 23 = 0 и делит пополам отрезок,

ограниченный точками M ( 5 ; − 6 )

и

N (− 1 ; − 4 ).

§2. Плоскость

3.37.

Найти точки пересечения

плоскости 2 x − 3 y − 4 z − 24 = 0

с осями

координат. Плоскость построить.

3.39. Дано уравнение

плоскости

x + 2 y − 3 z − 6 = 0 . Написать для нее

уравнение в отрезках.

Плоскость построить.

3.40.

Составить

уравнение

плоскости,

которая проходит

через

точку

M ( 2 ; − 3 ; − 4 )

и

отсекает

на

координатных осях

отрезки

одинаковой

величины. Плоскость построить.

3.41.

Составить

уравнение

плоскости,

которая

проходит

через

точкиM 1 ( − 1 ; 4 ; − 1 ),

M 2 ( − 13 ; 2 ; − 10 )

и

отсекает

на

осях

абсцисс и

аппликат отрезки одинаковой длины. Плоскость построить.

3.42. Плоскость проходит через

точку

M ( 6 ; − 10 ; 1)

и

отсекает

на оси

1)

2 x − 3 y + 5 z − 7 = 0

и

2 x − 3 y + 5 z + 3 = 0 ;

2)

4 x + 2 y − 4 z + 5 = 0

и

2 x + y + 2 z − 1 = 0 ;

3) x − 3z + 2 = 0

и 2 x − 6 z − 7 = 0 .

3.45. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 3 ; 4 ; − 5 )

параллельно плоскости

2 x − 3 y + 2 z − 10 = 0 .

3.47.

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку

M (3 ; − 2 ; − 7 ) параллельно плоскости

2 x − 3 z + 5 = 0 .

3.48.

Даны две точки M ( 3 ; − 1 ; 2 )

и

N ( 4 ; − 2 ; − 1 ). Составить уравнение

плоскости, проходящей через точку

M перпендикулярно вектору

.

MN

1)

3x − y − 2 z − 5 = 0 ,

x + 9 y − 3 z + 2 = 0 ;

2)

2 x + 3 y − z − 3 = 0 ,

x − y − z + 5 = 0 ;

3) 2 x − 5 y + z = 0 ,

x + 2 z − 3 = 0 ;

4)

x + y + z = 1 ,

2 x − 3 y + z − 7 = 0 .

3.55. Составить уравнение плоскости,

которая

проходит через

точкуM (2 ; − 1 ; 1 ) перпендикулярно плоскости 2 x − z + 1 = 0

и параллельно

вектору

= {1; − 2 ; 1 } .

b

3.56. Установить, что три плоскости

x − 2 y + z − 7 = 0 , 2 x + y − z + 2 = 0

и

x − 3 y + 2 z − 11 = 0 имеют одну общую точку. Вычислить ее координаты.

3.57. Составить уравнение плоскости, которая проходит через:

1)

точки

M 1 ( 0 ; 1; 3)

и

M 2 ( 2 ; 4 ; 5 )

параллельно оси

OX ;

2)

точки

M 1 ( 3; 1; 0)

и

M 2 (1; 3; 0 )

параллельно оси

OZ ;

3)

точки

M 1 (3; 0; 3)

и

M 2 ( 5; 0; 0 ) параллельно оси

OY .

3.58. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку

M ( 2 ; − 4 ; 3) и через :

1)

ось OX

;

2)

ось

OY ;

3)

ось OZ .

3.59. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1)

через точку

M ( 2; − 3; 3 )

параллельно плоскости

XOY

;

2)

через точку

N (1; − 2 ; 4 )

параллельно плоскости

XOZ ;

3)

через точку

P ( − 5; 2 ; − 1 )

параллельно плоскости

YOZ .

3.60. Вычислить расстояние

d

точки

M

от плоскости

в каждом

из

следующих случаев:

1)

M ( − 2 ; − 4 ; 3), 2 x − y + 2 z + 3 = 0 ; 2) M ( 2 ; − 1; − 1 ), 16 x − 12 y + 15 z = 0 ;

3)

M (1; 2 ; − 3 ) ,

5 y + 4 = 0 ;

4) M ( 3; − 6 ; 7 ) ,

4 x − 3z − 1 = 0 .

3.61. Вычислить

расстояние d

от точки

P ( − 1 ; 1 ; − 2 )

до плоскости,

проходящей через три точки: M 1 (1 ; − 1 ; 1 ) ,

M 2 ( − 2 ; 1 ; 3 ) ,

M 3 ( 4 ; − 5 ; − 2 ) .

65. На оси OX найти точку,

равноудаленную

от двух

плоскостей:

12 x − 16 y + 15 z + 1 = 0 ,

2 x + 2 y − z − 1 = 0 .

§3. Прямая в пространстве

3.66. Построить прямые: 1)

y = 3

;

y = 2

; 3)

x = 4

. Определить

2)

= x +

1

z = 3

z

z = y

их направляющие векторы.

3.67. Написать уравнения

прямой,

проходящей через точку

A (4 ; 3 ; 0 )

= {− 1; 1 ; 1 }. Найти след прямой на плоскости YOZ .

параллельно вектору

u

x = z + 5

x − 3

=

y − 2

=

z − 3

3.68. Построить прямые

и

и найти их

1

y = 4 − 2z

2

1

следы на плоскостях

XOY

и XOZ .

3.69. Составить канонические уравнения прямых, проходящих через точку

M ( 2; 0; − 3 )

параллельно:

x − 1 = y + 2 = z + 1

a = {2;−3; 5 }

OX

1)

R

;

2) прямой

;

3) оси

;

вектору

5

2

− 1

2x − 5y + z − 3 = 0

x = 3t − 1

4) оси

OY ;

; 6)

5) прямой

прямой

y = −2t + 3 .

x + 2 y − z + 2 = 0

= 5t + 2

z

1)

(1 ; − 2 ; 1 ) и ( 3 ; 1 ; − 1 );

2) ( 3 ; − 1 ; 0 ) и (1 ; 0 ; − 3 );

3)

( 2 ; − 1 ;− 3 ) и ( 2 ; − 1 5 );

4) ( 4 ; 4 ; 4 )

и ( − 4 ; 4 ; − 2 ).

1) ( 3 ; − 1 ; 2 ) и ( 2 ; 1 ; 1 ) ;

2) ( 1 ; 1 ; − 2 ) и ( 3 ; − 1 ; 0 ) ;

3) ( 2 ; − 1 ;− 3 ) и ( 2 ; − 1 5 ) ;

4) ( 2 ; − 1 ; − 1 ) и ( 2 ; 1 ; 1 ).

27

3.72. Написать уравнения траектории точки

M ( x ; y ;

z ), которая,

выйдя из

точки

A ( 4 ; − 3; 1 ), движется со скоростью

V ( 2; 3; 1 ).

3.73.

Через точки M 1 ( − 6; 6; 5) и M 2 (12 ;−6; 1 )

проведена

прямая.

3.75. Написать уравнения прямой,

проходящей через точки A (− 1; 2; 3 ) и

B ( 2 ; 6; − 2 ). Найти направляющие косинусы прямой.

3.76. Составить канонические уравнения прямой,

проходящей через точку

M ( 2; 3; − 5 ) параллельно прямой

3x − y + 2z − 7 = 0

.

= 0

x + 3y − 2z + 3

3.77. Написать уравнения

прямой, проходящей через точку M (1 ; 4 ; − 1 )

x − y = 2

.

параллельно прямой

y = 2z + 1

x − 2 y + 3z − 4 = 0

x = 0

y − 3 = 0

1)

3x + 2 y − 5z − 4 = 0 ;

2)

3y + 2z + 1 = 0 ;

3)

z + 1 = 0 .

2x + 3y − z − 4 = 0

x + 2 y − z − 6 = 0

1)

3x − 5y + 2z + 1 = 0 ;

2)

2x − y + z + 1 = 0 .

x

=

y

=

z

y = x + 1

3.81. Показать, что прямая

перпендикулярна к прямой

− x

1 2 3

z = 1

x + y − 3z − 1 = 0

2x + y + 2z + 5 = 0

3)

2x − y − 9z − 2 = 0 и

2x − 2 y − z + 2 = 0 .

3.83. Найти

острый угол

между прямыми:

x − 3 = y + 2 = z

и

1

− 1

2

x + 2 = y − 3 = z + 5

1

1

.

2

x = 3t − 2

x = 2t − 1

= 0

3.84. Найти тупой угол между прямыми y

и

y = 0 .