7701

Рис. 54

Производная

Пусть функция y f x определена на некотором интервале a;b .

dx

Итак, по определению

20

интервала a;b , называется дифференцируемой в этом интервале, а

Пример. Найти по определению производную функции y x2 .

Решение. Областью определения D данной функции является вся числовая ось, то есть D R . Выберем произвольную точку x R . Дадим

y y x x y x x x 2 x2

x2 2x x x 2 x2 2x x x 2 .

Поскольку данный предел существует, то производная функции y x2 в

точке x равна 2x , то есть x2 2x .

Пусть материальная точка (тело) движется неравномерно по закону прямолинейного движения S S t . Каждому значению истекшего времени t соответствует определенное расстояние S до некоторой фиксированной точки O . Тогда средняя скорость Vcp движения точки за время t равна:

21

Vcp St , где S S t t S t .

Предел средней скорости Vcp движения при стремлении к нулю

промежутка времени t называется скоростью V движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью)

.

Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t , то есть

Под касательной l к графику функции y f x в точке M 0 понимают

22

откуда 2x y 1 0, а искомое уравнение нормали:

откуда

x 2 y 3 0.

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с некоторыми трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью правил и формул.

Запишем формулы производных элементарных функций:

а также формулы, выражающие правила дифференцирования:

Пример. Найти производную функции y 2x 1 ex .

24

Решение. По правилу дифференцирования произведения двух

функций, находим:

y 2x 1 ex 2x 1 ex 2x 1 ex .

Далее, по правилу дифференцирования суммы двух функций и произведения числа на функцию и формул производных степеней и показательной функций, находим:

2 1 0 ex 2x 1 ex 2ex 2x 1 ex 2x 3 ex .

Производная сложной функции

Пусть функция y f u определена на множестве D1 , а функция u g x определена на множестве D2 , причем для любой точки x D2 ,

соответствует значение u g x D1 . Тогда на множестве D2 определена функция y f g x , которая называется сложной функцией от x (или функцией от функции).

произведению производной функции y по промежуточной переменной u

на производную промежуточной переменной u по независимой

Пример. Найти производную функции y e3 x .

25

Решение. Данная функция y является сложной, так как y eu , u 3x . По правилу дифференцирования сложной функции, находим:

y y .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается y , то есть

y y .

Производной n -го порядка (или n -й производной) называется производная от производной ( n -1)-го порядка и обозначается y n , то есть

y n y n 1 .

Пример. Найти производную третьего порядка от функции y cos 3x.

9sin 3x 3 27 sin 3x.

Итак, y y 27 sin 3x.

Дифференциал функции

26

функции y в точке x0 x .

Если данная функция y f x дифференцируема в точке x0 , то в точке x0 ; f x0 существует касательная l к графику функции y f x

(см. рис. 56). Тогда приращение функции y можно представить в виде:

y f x0 x x .

Главную часть линейную относительно приращения x

независимой переменной x в последнем равенстве, то есть выражение f x0 x называют дифференциалом функции y f x в точке x0 и

обозначают dy . Итак, dy f x0 x .

При x 0, то есть при x 0 приращение функции y

приближенно равно дифференциалу dy :

y dy или f x0 x f x0 x .

Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений функций в точке.

Пример. Вычислить e 0,02 .

при вычислении пределов от функции одного переменного, который основан на применении производных.

28

Исследование функций и построение их графиков

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построение их графиков.

Рекомендуемая схема исследования функции:

1.Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции.

2.Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, свойства симметрии.

3.Исследовать поведение функции при стремлении аргумента к граничным точкам области определения и к бесконечности, то есть найти асимптоты графика функции: вертикальные и наклонные. Проанализировать расположение графика функции и его асимптот.

4.Найти интервалы монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы.

29