7596

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образо-

вания «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

О.Л.Любимцева

СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ

Учебно-методическое пособие

по подготовке к лекциям занятиям, практическим занятиям (включая рекомендации обучающимся по организации самостоятельной работы) по дисциплине: «Статистический контроль», для обучающихся по направлению подготовки 27.03.01 «Стандартизация и метрология»,

направленность (профиль) Стандартизация и сертификация

Нижний Новгород ННГАСУ

2022

УДК

Любимцева О.Л. Статистический контроль: учебно-методическое пособие / О.Л. Любимцева; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород: ННГАСУ, 2022. – 21 с. : ил. – Текст : электронный.

Учебное пособие содержит теоретический материал, необходимый для овладения основами статистического контроля, решения задач и упражнения для самостоятельного выполнения.

Курс статистический контроль опирается на семестровый курс Теория вероятностей и является основой для курса Методология научных исследований. В результате изучения предмета студенты должны овладеть математическими методами исследования различных моделей статистического анализа.

Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине: «Статистический контроль», направления подготовки 27.03.01: Стандартизация и метрология, направленность (профиль) Стандартизация и сертификация.

© О. Л. Любимцева, 2022

© ННГАСУ, 2022.

Основные понятия

Под статистическим контролем качества понимается такой контроль,

при котором проверяются не все изделия изготовленной партии, а только вы-

борка из нее. При этом по результатам контроля судят о качестве всей партии.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относи-

тельно некоторого качественного или количественного признака, характери-

зующего эти объекты. Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обсле-

дуют каждый из объектов совокупности относительно некоторого признака.

Но сплошное обследование сопряжено с определенными трудностями, напри-

мер, с большим количеством объектов исследования или с уничтожением объ-

екта в результате исследования. Поэтому чаще проводят выборочное обследо-

вание, т.е. отбирают случайным образом ограниченное число объектов и под-

вергают их изучению.

Выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка. Объемом совокупности называют число объектов дан-

ной совокупности.

Повторной называется выборка, при которой отобранный объект перед отбо-

ром следующего возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генераль-

ную совокупность не возвращается.

Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупно-

сти, выборка должна быть репрезентативной (представительной).

Наблюдаемые значения xk, называются вариантами, а последовательность ва-

риант, записанных в возрастающем порядке - вариационным рядом.

Числа наблюдений называются частотами, а отношение частот к объему вы-

борки – относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соот-

ветствующих им частот или относительных частот.

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокуп-

ности. Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки x1, x2, … xn, полученные в результате n наблюдений.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределе-

ния называют функцию от наблюдаемых случайных величин, которая в свою очередь также является случайной величиной.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. При вы-

борке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оце-

ниваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам.

Выборочной средней х̅ называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности

х̅ = 1 ∑ =1 .

Выборочной дисперсией в2 называется среднее арифметическое квадратов от-

клонения наблюдаемых значений признака от их среднего арифметического значения

в2 = 1 ∑=1( − ̅)2.

Статистическая гипотеза - предположение о виде распределения или о неиз-

вестных параметрах генеральной совокупности, которое может быть прове-

рено на основании выборочных данных.

Основная гипотеза (нулевая) Н0 - та гипотеза, которую выдвигают. Альтерна-

тивная гипотеза (первая) Н1 - гипотеза, противоречащая основной.

Статистический критерий - правило, в соответствии с которым принимается или отвергается основная гипотеза.

Критические точки - точки, отделяющие критическую область от области при-

нятия гипотезы.

Характеристика лекционных занятий

Курс состоит из пяти разделов. Первый раздел «Случайные величины» явля-

ется главным для понимания предмета. Он знакомит студентов с основными понятиями математической статистики. При рассмотрении случайных вели-

чин главную роль играет не пространство элементарных событий, на котором определена случайная величина как числовая функция, а закон распределения этой случайной величины. Темы, рассмотренные в данном разделе: Дискрет-

ные случайные величины; Непрерывные случайные величины; Функция рас-

пределения; Плотность распределения вероятности; Мода, медиана, моменты случайных величин; Статистическое описание; Вычисление статистик случай-

ной выборки; Статистический ряд.

Второй раздел «Теоретические основы статистического контроля» знакомит студентов с методами точечного оценивания неизвестных параметров распре-

деления: Точечные оценки параметров распределений случайной величины по выборке. Метод доверительных интервалов. Методы максимального правдо-

подобия и моментов. Общие положения проверки статистических гипотез.

Критерий χ2 - согласия. Проверка гипотез о непрерывных распределениях. По-

верка гипотез об однородности распределения.

Третий раздел «Графические методы статистического контроля» позволяет ознакомиться студентам с типами графиков: ломаная линия, столбчатый гра-

фик, круговой, график-радар; картами сравнения плановых и фактических по-

казателей; гистограммой - как инструментом, позволяющим зрительно оце-

нить закон распределения статистических данных. Типом гистограмм. Срав-

нение гистограмм с границами допуска. является основным разделом курса.

Наконец, разделы четыре и пять представляют совсем специальные разделы статистического контроля.

В четвертом разделе «Контрольные карты Шухарта» рассмотрены типы кон-

трольных карт. Цель построения контрольных карт. Правила построения кон-

трольных карт и понятия, связанные с контролируемостью процесса. Условия корректировки процесса.

В пятом разделе «Дисперсионный анализ» рассмотрены простые модели од-

нофакторного анализа и оценивание параметров статистической модели одно-

факторного эксперимента. Сравнение отдельных средних по обработкам. ме-

тоды регрессионного анализа, доказаны основные свойства полученных оце-

нок.

Характеристика практических занятий

В ходе подготовки к практическим занятиям необходимо изучать основную литературу, знакомиться с дополнительной литературой. При этом необхо-

димо учесть рекомендации преподавателя и требования учебной программы.

В соответствии с этими рекомендациями и подготовкой полезно дорабатывать свои конспекты лекции, делая в нем соответствующие записи из литературы,

рекомендованной преподавателем и предусмотренной учебной программой.

Раздел 1. Эмпирические распределения, представляемые для дискретных ва-

риационных рядов в виде полигона и кумуляты, а для непрерывных – в виде гистограммы и кумуляты, позволяют предположить вид генерального распре-

деления. Статистический ряд является такой формой представления, когда данные группируются и определяются частоты.

Примеры заданий.

1. Анализируется объем ежедневных продаж некоторого товара за 60 дней.

Получены следующие данные: 5, 6, 3, 2, 7, 7, 6 , 6 , 10, 11, 6, 4, 5, 6, 3, 12, 9, 10, 7, 4, 6, 7, 8, 8, 10, 5, 5, 4, 3, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 10, 6, 4, 5, 6, 12, 7, 7, 8, 11, 9, 10, 5, 6, 4, 2, 7, 11, 8, 7, 9, 5, 6, 9, 5.

Необходимо:

а) построить статистический ряд;

б) определить размах выборки;

в) построить полигон относительных частот.

2.Построит эмпирическую функцию распределения по данным:

144,143,139,162,134,136,157,158,144,138,155,162,151,134,141,121,137,162,133, 147,125,154,150,145,157,165, 157, 152,164.

Раздел 2. Кроме этого на практике часто используются числовые характери-

стики для описания ряда наблюдений. Данные характеристики позволяют про-

анализировать ряд наблюдений другим способом. Они включают меры распо-

ложения, меры рассеивания и меры, характеризующие форму распределения.

Вычисление этих характеристик зависит от того как представлены результаты наблюдений: в виде статистических рядов или в виде простого статистиче-

ского ряда (исходной выборки).

Примеры заданий.

1.Из 1500 деталей отобрано 100, распределение которых по размеру за-

дано в таблице.

Найти реализацию оценки матожидания и несмещенной оценки дисперсии.

2.Пусть Х1,Х2,…,Хn независимые одинаково распределенные с.в., име-

ющие распределение Парето P(a,c) с плотностью вероятности

ного правдоподобия параметров a и c.

Раздел 3. Найденные по выборке статистики используют для формулировки заключения о генеральной совокупности, то есть о законе распределения ис-

следуемого признака и его параметрах. При этом всегда существует риск ошибки ввиду неполноты информации. Отсюда возникает проблема количе-

ственной оценки степени риска в ситуации с неопределённостью. Используе-

мый при этом инструмент хорошо известен – это метод проверки гипотез.

Примеры заданий.

Исследовать случайную величину ‒ число правонарушений в течение одних суток в некотором городе N.

Получены данные за первые 150 суток года.

3 5 4 4 5 8 2 3 1 6 6 1 2 5 5

4 4 4 3 4 5 5 2 2 3 4 3 2 4 4

8 10 1 4 3 3 2 5 7 5 3 6 7 5 6

1 4 6 4 5 4 5 7 6 5 3 5 5 8 7

7 5 5 4 5 3 3 6 3 5 2 2 2 6 2

5 6 8 4 4 8 3 6 4 4 5 5 7 5 5

3 5 4 5 5 4 7 6 9 3 3 5 6 6 3

4 5 2 6 7 5 5 4 2 5 4 2 6 2 7

5 5 8 5 3 5 2 5 3 7 4 6 3 6 0

4 4 4 5 2 7 7 3 1 1 3 6 5 7 6

Требуется провести первичную статистическую обработку данных, проверить гипотезу о виде распределения случайной величины с помощью критерия со-

гласия Пирсона.

Раздел 5. Дисперсионный анализ предназначен для проверки наличия зависи-

мости нормально распределенной результативной случайной величины Y от нескольких факторов (факторных величин), а именно для выявления при-

чинно-следственных связи между вариацией факторов и вариацией результа-

тивных признаков. Среди факторов будем различать случайные и неслучай-

ные величины. Суть дисперсионного анализа состоит в разложении дисперсии признака на составляющие, обусловленные влиянием конкретных факторов, и

проверке гипотез о значимости их влияния.

Примеры заданий.

1.Текстильная компания изготавливает волокно на большом числе станков. Желательно, чтобы станки не отличались друг от друга, т.е.

чтобы изготавливаемое волокно обладало одинаковой прочностью.

Инженер-технолог предполагает, что помимо обычной изменчивости прочности среди образцов волокна с одного и того же станка, могут существовать и значимые различия между станками. Для проверки этого предположения он случайным образом выбирает 4 станка и де-

лает 4 измерения прочности волокна, изготовленного на этом станке.

Результаты вынесены в таблицу:

Проверить гипотезу о значимости различий.

2.Измерены 100 обработанных деталей, отклонения от заданного размера

Проверить гипотезу о нормальности распределения генеральной совокупности