7592
.pdf
50
Нормальные ускорения точек A, B, C, P во вращении колеса относительно полюса О по модулю будут одинаковы и направлены к
центру колеса:
‡‹< <‹ •‹< „‹< p ∙ 1 MA. ∙ 1м 1 Mм..
Суммируя |
|
в каждой |
точке три вектора ускорения по формуле |
||||||
!ƒ !‹ !ƒ9 |
‹ !ƒ< |
‹, |
получим, что |
|
м |
|
|||
‡ „ 1 |
м |
и |
|
А |
В √1 |
2 √5 |
. |
||
с. |
|
с. |
|||||||
Если на середине отрезка СР отметить точку Q, то можно заметить, что:
Ускорения в точках, расположенных на одинаковых расстояниях от точки Q (точках Р, О, С) одинаковы по величине;
Ускорения в точках, расположенных на разных расстояниях от точки Q пропорциональны расстояниям до этих точек |‹ŽŽ IIŠ• √5};
Ускорения в точках A, B, C, P направлены таким образом, что составляют одинаковый угол • с отрезками, соединяющими эти точки с точкой Q;
Ускорение в самой точке Q при этом равно нулю.
|
R |
aτBO |
|
B |
aO |
B |
β
a |
τ |
aBOn |
R |
AO |
|
aA |
|
|
|
|
A |
O |
|
C |
A |
β |
O |
|
R |
|
|
β |
||
R |
n |
|
R |
|
||
aO |
aO |
an |
|
|||
aAO |
a |
|
||||
|
|
|
CO |
O |
|
|
ε |
|
n |
aCOτ |
|
|
||
|
|
aPO |
|
|
|
β |
|
|
aτ |
|
R |
|
R |
|
|
|
|
a |
|
aP |
|
|
|
|
PO |
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R aB
R
aO C
β 
R aC
Q |
aQ = 0
P |
|
P |
|
|
|
Рис.2.13
Точка тела Q, ускорение которой в данный момент равно нулю, называется мгновенным центром ускорений.
Существуют правила, по которым можно найти положение мгновенного центра ускорений (МЦУ), после чего определение ускорение других точек тела сильно упрощается.
Задача решена
Задача 2.12. Плоскопараллельное движение твердого тела
51
В некоторый момент времени, движущийся плоский механизм находится в положении, показанном на рисунке. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью p 2 радс . Длина звена ОА =50 см.
Определить угловую скорость звена AD и скорости точек A и D.
|
D |
|
D |
|
|
|
v D |
A |
ω |
A |
O |
|
O |
|
|
|
|
v A |
ω1 = ω |
Рис.2.14
Решение:
1.Механизм состоит из трех тел: звеньев ОА и AD и ползуна D. Пронумеруем их и рассмотрим их движение.
2.Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.
Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=0. Угловая скорость задано, то есть pA p 2 радс .
Определяем скорость точки А.
Скорость '! направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА.
Ее модуль определяется по формуле Эйлера: ' p ∙ |‘’| 2 ∙ 50 100 смс .
3. Звено 2 (элемент ОD).
Направление скорости точки D определяется направляющими ползуна.
Следовательно, вектора '! и '!… параллельны.
Таким образом, мгновенный центр скоростей Р2 находится в бесконечности.
Скорости точек A и D одинаковы, то есть ' '… 1 мм.
Движение звена AD является мгновенно поступательным. Угловая скорость звена равна нулю: p 0.
Ответ: ' '… 1 мм , p 0.
Задача 2.13. Плоскопараллельное движение твердого тела
52
В некоторый момент времени, движущийся плоский механизм находится в положении, показанном на рисунке. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью p 2 радс .
Даны размеры элементов механизма: OA = 50 см, АВ = 80см, R=40 см, r=20 см.
Определить угловую скорость звена AВ и колеса В, а также скорости точек A, В и С.
ω1
O A
Рис.2.15
C |
R |
r |
B |
Решение:
1. Механизм состоит из трех тел: звеньев ОА и AВ и колеса В. Пронумеруем их и рассмотрим их движение.
ω1
O |
v A |
|
ω 2 |
|
v C |
|
C = P2 |
|
|
|
||
A |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
v B |
|
B |
|
|
ω3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P3 |
Рис.2.16
2. Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.
Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть ‘ A. Угловая скорость задано, то есть pA p 2 радс .
Определяем скорость точки А.
Скорость '! направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА.
Ее модуль определяется по формуле Эйлера: ' p ∙ |‘’| 2 ∙ 50 100 смс .
3. Звено 2 (элемент ОD). Движение плоскопараллельное.
53
Заметим, что c• KO•O A, следовательно, N 30O.
Линия действия скорости точки B направлена горизонтально (параллельно плоскости, по которой катится колесо В). Восстанавливая перпендикуляры к направлению скоростей вектора '! и '!•, получаем МЦС звена 2 (точку P2). Направление скорости '! показывает, что вращение звена 2 относительно точки P2 направлено против часовой стрелки, следовательно, скорость '!• направлена влево. Угловая скорость звена 2 определяем с помощью формулы Эйлера:
' p ∙ |’ |, где ’ Y’“ “ √80 40 69.3 см.
Получаем, что p | -‡•.| V”.LAOO 1.44 радс .
Также по формуле Эйлера определяем скорость точки В:
'• p ∙ |“ | 1.44 ∙ 40 57.72 смс .
4. Элемент 3 (колесо В). Движение плоскопараллельное.
Мгновенным центром скоростей колеса является точка P3 ( точка соприкосновения колеса и поверхности). Направление скорости '!• показывает, что угловая скорость p направлена против часовой
стрелки, а ее величина определяется с помощью формулы Эйлера:
'• pL ∙ |“ L|.
Отсюда получаем, что
По формуле Эйлера определяем скорость точки С: |
смс . |
'„ pL ∙ | L–| pL ∙ " $ 2.88 ∙ 60 172.80 |
Скорость направлена в сторону вращения перпендикулярно к отрезку |
|||||
L–. |
p 1.44 |
радс , |
pL 2.88 радс , |
' 100 смс , |
'• 57.72 смс , |
Ответ: |
|||||
'„ 172.80 смс . |
|
|
|
|
|
Задача 2.14. Плоскопараллельное движение твердого тела В некоторый момент времени движущийся плоский механизм
находится в положении, показанном на рисунке. |
Кривошип |
ОА в |
данный момент времени имеет угловую скорость |
p 2 радс . |
Длины |
звеньев равны: ОА = АС = СВ = СD = 50 см. |
|
|
Определить угловую скорость звеньев AB и CD, а также скорости точек A, B, C и D.
54
D
|
30° |
|
|
A |
|
|
60° |
|
ω |
C |
|
B |
||
|
||
|
30° |
|
|
O |
Рис.2.17
Решение:
1. Механизм состоит из пяти тел: звеньев ОА, AB, CD и ползунов В и
D.
Пронумеруем их и рассмотрим их движение.
2. Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.
Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=0. Угловая скорость задана, то есть pA p 2 радс .
Определяем скорость точки А.
Скорость '! направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА.
Ее модуль определяется по формуле Эйлера: ' p ∙ |‘’| 2 ∙ 50 100 смс .
3. Звено 2 (элемент АB).
Направление скорости точки В определяется направляющими ползуна.
Движение ползуна В поступательное. Вектор '!• имеет вертикальное направление. Восстанавливая перпендикуляры к направлению скоростей вектора '! и '!•, получаем МЦС звена 2 (точку P2). Она
совпадает с точкой О. Направление угловой скорости звена 2 |
||
определяется вектором скорости |
' |
(против часовой стрелки |
относительно точки О). Следовательно скорость ползуна В направлена вверх.
55
D |
v D |
|
90° |
v A |
|
A |
|
30° |
|
|
E |
|
ω 4 |
||
|
|
|
|
||
|
90° |
60° |
v C |
|
|
|
30° |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
P4 |
|
|
|
|
|
90° |
|
|
|
|
|
|
v B |
|
ω1 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
90° |
|
ω 2 |
|
|
|
30° |
B |
|
O = P = P |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Рис.2.18 |
|
|
Угловая скорость звена 2 определяется с помощью формулы Эйлера: ' p ∙ |’ |. Получаем, что p | -• | AOO 2 рад.
‡. [O с
Также по формуле Эйлера определяем скорость точки В:
'• p ∙ |“ | p ∙ |’“| ∙ EF830O 2 ∙ 100 ∙ √L 173 смс .
Скорость точки С направлена по перпендикуляру к отрезку СР2 в сторону вращения звена 2 относительно точки Р2 (рис. 2.18). Поскольку треугольник АСО равносторонний, то СР2=ОА=50см.
Тогда 'С p ∙ |С | 2 ∙ 50 100 смс . 4. Звено 3 (элемент ОB).
Направление скорости точки D определяется направляющими ползуна.
Движение ползуна D поступательное. Вектор '!… имеет горизонтальное направление.
Восстанавливая перпендикуляры к направлению скоростей вектора '!„ и '!…, получаем МЦС звена 4 (точку P4). Поскольку треугольник
CDP4 равнобедренный, то CP4 = DP4. Отсюда следует, что скорости точек C и D по модулю равны: '… '„ 100 смс .
Направление угловой скорости звена 4 определяется вектором |
||||||||
скорости |
'„ |
(по часовой стрелке относительно точки P4 ). |
||||||
Следовательно, скорость ползуна D направлена вправо. |
||||||||
Угловая скорость звена 4 определяется с помощью формулы Эйлера: |
||||||||
'С pK ∙ |С K|, |
где – K |
„˜ |
|
[ |
|
[O |
28.9 см. |
|
M™b LOˆ |
√L⁄ |
A.WL |
||||||
Получаем, что pK | -С | AOO 3.46 рад.
С‡€ •.” с
56
Ответ: p 2 радс , pK 3.46 радс , ' '„ '… 100 смс , '• 173 смс .
Задача 2.15. Плоскопараллельное движение твердого тела В некоторый момент времени движущийся плоский механизм
находится в положении, показанном на рисунке.
D
A |
45° |
ω |
C |
|
B |
||
|
||
|
O |
|
|
Рис.2.19 |
Кривошип ОА в данный момент времени имеет угловую скорость p 2 радс . Длины звеньев равны: ОА = АС = СВ = 50 см.
Определить угловую скорость звеньев AB и CD и скорости точек A, B, C и D.
Решение:
1.Механизм состоит из пяти тел: звеньев ОА, AB, CD и ползунов В и D. Пронумеруем их и рассмотрим их движение
2.Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.
Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=0. Угловая скорость задана, то есть pA p 2 радс .
Определяем скорость точки А.
Скорость '! направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА.
Ее модуль определяется по формуле Эйлера: ' p ∙ |‘’| 2 ∙ 50 100 смс .
3. Звено 2 (элемент АB).
Направление скорости точки В определяется направляющими ползуна. Движение ползуна В поступательное. Вектор '!• имеет горизонтальное направление и параллелен вектору ' . Отсюда следует, МЦС звена 2 находится в бесконечности, а движение звена 2 является
57
мгновенно поступательным. Все точки звена 2 имеют одинаковые скорости и '! '!• '!„
|
|
ω 4 |
90° |
5 |
|
|
|
||
|
|
P4 |
45° |
D |
|
|
|
|
|
v A |
A |
4 |
|
v D |
|
|
|||
|
90° |
45° |
|
|
|
90° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
1 |
|
30° |
|
|
v C |
C |
|
|
ω1 |
|
|
||
|
2 |
30° |
B |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
O = P |
|
v B |
3 |
|
1 |
|
||
|
Рис.2.20 |
|
|
|
4. Звено 4 (элемент CD).
Направление скорости точки D определяется направляющими ползуна. Движение ползуна D поступательное. Вектор '!… имеет вертикальное направление. Восстанавливая перпендикуляры к направлению скоростей вектора '!„ и '!…, получаем МЦС звена 4 (точку
P4). Легко заметить, что фигура CEDP4 представляет собой квадрат со стороной, равной –š –“ ∙ EF830O 50 ∙ √L 25√3 43.3 см.
Следовательно, CP4 = DP4=43.3 см.
Направление угловой скорости звена 4 определяется вектором скорости '„ (по часовой стрелке относительно точки P4). Следовательно скорость ползуна В направлена вверх.
Угловая скорость звена 4 определяется с помощью формулы Эйлера: |
|||||
'С pK ∙ |– K|. |
Получаем, что pK |
-› |
KL.LAOO 2.31 радс . |
|
|
|„‡€| |
|
|
|||
Также по формуле Эйлера определяем скорость точки В: |
'… |
'„ pK ∙ |
|||
Так как CP4 = DP4, то скорости точек C и D равны: |
|||||
|– K| pK ∙ |œ K| |
100 смс . |
|
|
||
Ответ: p 0 |
радс , pK 2.31 радс , ' '• '„ '… 100 смс . |
||||
Задача 2.16. Плоскопараллельное движение твердого тела В некоторый момент времени движущийся плоский механизм
находится в положении, показанном на рисунке. Кривошип ОА
58
вращается с угловой скоростью p 2 радс . Длина звена ОА = AD = 50 см.
Размер a = 25см. Радиус колеса R = 20 см. Определить угловые скорости звеньев AD , ВС и колеса D, скорость ползуна С, а также скорости точек A, D, Е и F.
Решение:
1.Механизм состоит из пяти тел: звеньев ОА, BC, AD и ползуна C и колеса D.
Пронумеруем их и рассмотрим их движение.
2.Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.
Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=0. Угловая скорость задана, то есть pA p 2 радс .
Определяем скорость точки А.
|
2a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
O |
ϕ1 |
F |
30° |
30° |
||
|
D |
|
|
ω1 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
C |
Рис.2.21
Скорость '! направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА.
Ее модуль определяется по формуле Эйлера: ' p ∙ |‘’| 2 ∙ 50 100 смс .
Скорость '!• также направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА. Ее модуль равен: '• p ∙ |‘“| 2 ∙ 25 50 смс .
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
P4 |
ω 4 |
|
|
|
|
|
|
|
60° |
|
v A |
|
|
|
|
|
v E |
|
|
|
|
|
|
E |
60° |
90° |
v B |
|
|
|
|
v F |
|
A |
|
|
ω1 |
|
|
60° |
|
B |
90° |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
F |
D |
30° |
|
|
30° |
|
|
|
90° |
v D |
|
|
|
|
O = P |
|
|
|
|
|
1 |
||
|
P5 |
ω5 |
|
|
|
|
ω 2 |
|
|
|
|
|
v C |
||
|
|
|
|
|
|
|
30° |
|
|
|
|
|
|
C |
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2.22
3. Звено 2 (элемент BC).
Направление скорости точки C определяется направляющими ползуна.
Движение ползуна C поступательное. Вектор '!„ имеет вертикальное направление.
Восстанавливая перпендикуляры к направлению скоростей вектора '!„ и '!•, получаем МЦС звена 2 (точку P2).
Направление угловой скорости звена 2 определяется вектором |
|||||||||||||||
скорости |
'• |
(по часовой |
стрелке относительно точки P2). |
||||||||||||
Следовательно скорость ползуна С направлена вверх. |
|||||||||||||||
Угловая скорость звена 2 определяется с помощью формулы Эйлера: |
|||||||||||||||
'• p ∙ |“ |. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Найдем длину отрезка BP2. |
„‹ |
|
8C4 30O A. |
||||||||||||
‹‡. |
|||||||||||||||
Следовательно, ‘ 2 ∙ –‘ 4 100 см. |
|||||||||||||||
И тогда “ “‘ ‘ 4 125 см. |
|||||||||||||||
Получаем, что p |
-• |
|
[O |
|
0.4 радс . |
||||||||||
|•‡.| |
A [ |
||||||||||||||
Поскольку |
‹‡„‡.. EF8 30O |
√L |
, |
то – ‘ ∙ |
√L |
100 ∙ |
√L |
50 ∙ √3 |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
86.6 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда скорость ползуна C найдем по формуле Эйлера: |
|||||||||||||||
'„ p |
∙ |– | 0.4 ∙ 86.6 34.64 смс . |
||||||||||||||
4. Звено 4 (элемент AD).
Движение звена 4 плоскопараллельное. Вектор '!… имеет горизонтальное направление (определяется движением центра колеса).