7588

На правах рукописи

Лоторевич Евгений Андреевич

Геометрические преобразования пространства функциональновоксельной модели

05.01.01 – Инженерная геометрия и компьютерная графика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени

кандидата технических наук

Нижний Новгород – 2016

Работа выполнена в ФГБОУ ВО «Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»

Научный руководитель:

профессор, доктор технических наук Толок Алексей Вячеславович

Официальные оппоненты:

Косников Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Информационно-вычислительные системы»

ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет»; Короткий Виктор Анатольевич, кандидат технических наук, доцент,

доцент кафедры графики ФГБОУ ВО «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет)

Ведущая организация:

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный технический университет

имени Н.Э.Баумана (национальный исследовательский университет)»

Защита состоится 20 декабря 2016 года в 16-00 часов на заседании диссертационного совета Д 999.048.02 при ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет», ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.А. Алексеева» по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, д. 65, аудитория 202 (5 корп.)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» и на сайте организации www.nngasu.ru.

Автореферат разослан «10» ноября 2016 года.

Общая характеристика работы Актуальность темы исследования. Создание архитектуры вычислений,

основанной на применении графической информации, позволяет разрабатывать альтернативные способы решения задач геометрического моделирования. Метод функционально-воксельного моделирования (ФВМ) реализует один из таких компьютерно-графических подходов. Однородность структуры воксельных геометрических моделей (ВГМ) как основы ФВМ, построенных на локальных геометрических характеристиках (компонентов нормали в точке) (ЛГХ), позволяет создавать алгоритмы для решения оптимизационных задач математического программирования, вычисления интегральных характеристик для объектов сложной формы, нахождения экстремальных точек функции с применением алгоритма графического отыскания направления градиентного спуска и т.п. Возможность дифференциального исследования рельефа поверхности функции позволяет решать задачи трассировки пути между заданными функционально описанными объектами. Возможность включать в ВГМ описания физических законов создает базу для разработки средств решения задач физики прочности, термодинамики и т.п.

Однако работа с функциональным описанием объектов требует от разработчика определённой математической подготовки и отличается отсутствием наглядности представления, что усложняет применение в прикладных задачах. Время, затрачиваемое на аналитическое описание сложных геометрических моделей и их верификацию, влияет на снижение оперативности процесса проектирования. На сегодняшний день решение различных геометрических задач со сложными аналитическими моделями описания формы, представленными воксельной графической структурой на компьютере, приводит к длительному по времени расчёту даже элементарного преобразования сдвига, переноса, вращения и масштабирования. Традиционный координатный подход к вычислению поворота воксельной модели несёт потери в точности её обработки или требует полного перерасчёта её аналитического прототипа для определения его нового положения в воксельном пространстве. Повышение эффективности таких расчётов для функционально описанных и воксельно представленных объектов является актуальной задачей в развитии аналитических подходов в геометрическом моделировании.

Объектом исследования является метод функционально-воксельного моделирования.

Предметом исследования являются алгоритмы геометрических преобразований пространства функции, представленной локальными геометрическими характеристиками.

Цель исследования – повышение эффективности компьютерных вычислительных процедур для геометрических преобразований пространства функционально-воксельной модели.

Для достижения поставленной цели требуется решение следующих задач:

1.Провести анализ существующих способов геометрических преобразований для растровых изображений как двухмерной воксельной организации, а также рассмотреть метод построения функционально-воксельной модели, заданной нормальным векторным полем.

2.Разработать геометрические координатно-векторные модели и на их основе алгоритмы пространственных преобразований ВГМ с привязкой к матричным представлениям для функционально-воксельного моделирования.

3.Разработать функционально-воксельный и воксельный подходы к синтезу пространства ВГМ сложных геометрических объектов.

4.Проанализировать эффективность полученных алгоритмов на основе сравнения временных характеристик вычислительного процесса.

Методы исследования. Диссертационная работа базируется на методах: функционально-воксельного моделирования (ФВМ), R-функционального моделирования, а так же применяются теоретические основы аналитической, дифференциальной и компьютерной геометрии.

Научная новизна:

1.Разработаны геометрические координатно-векторные модели и алгоритмы, позволяющие решить задачу перемещения геометрических объектов, заданных нормальным полем в пространстве с увеличенной на единицу размерностью. Такой подход обеспечивает переход от традиционных координатных преобразований пространства к компонентному преобразованию нормального поля, что ведёт к упрощению операций над такими моделями, активно применяемыми в функционально-воксельном моделировании.

2.Разработаны геометрические координатно-векторные модели и алгоритмы, позволяющие решить задачу масштабирования геометрических объектов, заданных нормальным полем в пространстве с увеличенной на единицу размерностью. При этом обеспечивается дискретное приближение компонентов нормального преобразованного поля к компонентам её преобразованного аналитического прототипа.

4

3. Разработаны функционально-воксельный и воксельный подходы к выполнению теоретико-множественных операций над функциональновоксельной моделью на основе применения аппарата R-функций, которые позволяют приводить вычисление сложных функций к вычислению простого компонентного выражения, а также применять арифметику с компонентами нормального поля для построения R-функционального выражения.

Практическая значимость и внедрение. Данная работа выполнена в рамках ФЦП Министерства образования и науки РФ (соглашение о предоставлении субсидии №14.574.21.0079 от 08 июля 2014 года, идентификатор проекта: RFMEFI57414X0079).

Разработанные геометрические принципы воксельного моделирования реализованы и внедрены в программную платформу воксельного моделирования при лаборатории компьютерной графики ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на следующих научно-технических конференциях, симпозиумах, форумах и семинарах: 40-й международной конференции «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе» (г. Ялта-Гурзуф, 2012 г.); 12-й международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (CAD/CAM/PDM)» (г. Москва, 2012 г.); 13-й международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (CAD/CAM/PDM)» (г. Москва, 2013 г.); научной конференции «XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ» (г. Москва, 2014 г.); 15-ой международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (CAD/CAM/PDM)»(г. Москва, 2015 г.).

Положения, выносимые на защиту:

1.Геометрические модели, организующие взаимосвязь компонентов нормали в пространстве увеличенной размерности с пространственным положением окрестности точки функционального объекта.

2.Алгоритмы функционально-воксельного подхода к преобразованию пространства воксельной геометрической модели.

3.Алгоритмы воксельного подхода к преобразованию пространства воксельной геометрической модели.

5

4. Алгоритмы функционально-воксельного и воксельного подходов к выполнению теоретико-множественных операций над воксельной геометрической моделью.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 10 печатных работах, в том числе 5 научных работ – в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав с выводами, заключения и списка используемой литературы. Общий объём составляет 111 страниц, 77 рисунков, 3 таблицы. Библиографический список включает 72 наименований, в том числе 10 иностранных.

Основное содержание работы Во введении обоснована актуальность темы, определена цель

исследований, поставлены задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели, сформулированы научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе проанализированы научные исследования в области моделирования воксельного пространства отечественных и зарубежных учёных таких, как: А.В. Толок, С.И. Вяткин, А.Д. Мерзагитович, А.В. Петрухин, А.В. Золотарев, Н.И. Витиска, Н.А. Гуляев, А.Ю. Сидоренко, Р. Ягель, В.А. Макнили, К.Д. Путербог, Дж.Дж. Трой, Дж. Ашбернер, К.Дж. Фристон, Р. Хонеа, Т. Дж. Кроу, Д. Пэссингем, Э. Маккей, С. Гибсон и др.

Приведены основные принципы пространственных преобразований компьютерных представлений геометрической модели (полигональные и растровые). В качестве операций компоновки, выполняемых над ними, рассмотрены способы параллельного переноса, поворота и масштабирования.

Основным отличием существующих алгоритмов для растровых геометрических преобразований является тот факт, что в процессе их выполнения участвует абстрактный графический объект (изображение). Геометрическим инвариантом здесь может выступать расстояние между парой точек растра, который невозможно увязать с локальными геометрическими характеристиками ВГМ.

Традиционные воксельные геометрические модели, отличные от функционально-воксельных, построены на каркасной основе и представляют собой кубическую ортогональную решётку. Алгоритмы геометрических преобразований такого представления сводятся к тем же алгоритмам преобразования полигональных моделей и не приводят к получению

6

характеристик для описания функционально-воксельной модели, поскольку полигональный вид модели не содержит достаточного количества локальных характеристик для полного представления функционального пространства. Исследования, проведённые в первой главе, показывают потребность в разработке новых средств геометрического преобразования пространства для ФВМ.

Во второй главе рассмотрены основы метода построения функциональновоксельной модели, предложенные в работах профессора Толока А.В., где приведены принципы вычисления локальных геометрических характеристик (ЛГХ) и операторы, обеспечивающие согласованность ВГМ с исходным функциональным описанием в контексте этого метода. Рассмотрена идея метода о тройственности вычислительного подхода к функционально-воксельному моделированию, а также приведены существующие примеры использования ЛГХ в математических операциях над функциями, представленными в виде функционально-воксельной модели.

Втретьей главе рассматриваются принципы геометрических преобразований для пространства ВГМ. В отличие от традиционных преобразований координатного пространства, где преобразуется положение точки с определённым неизменным значением функции, каждая точка ВГМ содержит набор локальных геометрических характеристик её окрестности как компонентов нормали, осуществляющих параметрическое задание этой окрестности в пространстве увеличенной размерности. Поскольку каждая из компонент привязана к исходной системе координат, то любое движение точки влечёт за собой пересчёт каждого из этих параметров. В свою очередь, параметры достаточно просто группируются по понятию формы и положения. За положение окрестности в пространстве увеличенной размерности отвечает параметр углового отклонения нормали от дополнительной оси. Остальные параметры относятся к описанию формы и задают наклон самой окрестности относительно осей исходного пространства.

Вкачестве операций моделирования выведены закономерности изменения угловых параметров для сдвига, поворота и масштабирования пространства ВГМ. Все преобразования рассмотрены в контексте тройственности

(функционального, функционально-воксельного и воксельного) подхода к вычислению результата. Разработанные подходы обобщены до преобразования многомерного пространства.

Преобразование массива значений ВГМ сводится к матричному преобразованию системы координат для смещения, где вместо привычных

7

координат пространства Oxyz, используются целочисленные индексы массива ijk, представляющие воксельное пространство. В основе работы всех рассмотренных алгоритмов лежит метод последовательного индексного перебора точек массива с занесением соответствующих расчётных значений. Принцип определения преобразованных значений с учётом угла поворота демонстрируется на рисунке 1.

Алгоритм заполнения состоит в следующем:

значениями. В качестве способа заполнения элементов массива значениями при увеличении коэффициента масштабирования был принят способ одиночной связи. При уменьшении массива ближайшее известное значение функции заносится в определённую масштабом ячейку.

Функциональный подход к вычислению преобразований известен и получает значения в каждой точке функции xi f (x1, x2 ,...xm ) посредством математического аппарата матричных преобразований координат. Полученное

воксельной модели.

Функционально-воксельный подход к преобразованию подразумевает использование данных исходной ВГМ для построения линейной функциональной

используем при формировании преобразованной воксельной геометрической модели.

При воксельном подходе к преобразованию так же используется ВГМ. Отличие состоит в том, что для выполнения преобразования нет необходимости находить значение функции в явном виде и, как следствие, выполнять линейную

8

переаппроксимацию. Для каждого из преобразований строится собственная модель, выявляющая соответствующие взаимосвязи. Модели основаны на принципе параметрического задания положения окрестности точки с применением пространства увеличенной размерности.

При аппроксимации функции касательными формируется поле векторов нормалей в точках поверхности данной функции. Рассмотрим двумерный случай построения ВГМ, где исходная функция задана уравнением x2 f (x1) . Чтобы доопределить положение касательной прямой в каждой точке через компоненты нормали N 2 , предлагается по правилу перехода к однородным координатам увеличить размерность пространства на единицу. При этом нормаль в каждой

точке становится трёхкомпонентной N 3 и переносится в начало координат в виде перпендикуляра к плоскости, проходящей через начало координат трёхмерного пространства и пересекающей плоскость двухмерного пространства в

в двумерном пространстве демонстрируется с помощью специальной геометрической модели сдвига (рис. 2).

установить зависимость значений компонентов нормали N 3 и N 3 ' между собой с учётом величин смещения x и y вдоль осей.

Для нахождения взаимосвязи можно воспользоваться преобразованиями по аналогии с матричными преобразованиями в декартовом пространстве, но учитывающими специфику данного смещения:

Смещение воксельных геометрических моделей в пространстве заключается в композиции смещений вдоль осей координат. Преобразование характеристик ВГМ заключаются в нахождении новой величины параметра положения C , характеризующего удалённость прямой от начала координат. Параметрами формы выступают коэффициенты А и В, задающие наклон прямой относительно осей и остаются неизменными при любой комбинации сдвига.

На рисунке 3 представлены М-образы ВГМ для функции с нулевым значением в виде контура треугольника (далее по тексту «функция треугольника»). Результат сдвига ВГМ функции треугольника вдоль оси OX тремя подходами отразился изменением каждого М-образа, показанного на рисунке 4.

Рис. 4. Смещение пространства, содержащего функцию треугольника, вдоль оси OX

10