Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7452

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Она имеет единственное решение то есть – единственная точка возможного экстремума функции при заданных условиях связи.

Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа и подстав-

ляя и , найденное из первого уравнения связи, получаем положительно определенную квадратичную форму от переменной при . Отсюда следует, что функция при заданных условиях связи имеет в точке условный ми-

нимум.

Пример 3. (показывает, что в правиле множителей Лагранжа не всегда можно полагать 0 1).

32 fx,xxinf;fx,xxx0.

0121 11212

Решение. Функции f0						и f1	непрерывно дифференцируемы. Из условия
3	2				3	2
x x 0 следует,				что x x 0 x 0. Поэтому очевидно, что решение задачи
1	2				1	2	1
x 0, 0								1
x 0, 0		Если прямо следовать Лагранжу, то надо положить 0							, составить
	.	Если прямо следовать Лагранжу, то надо положить 0							, составить
					3 2
сумму		Lx x x					далее решать систему		уравнений
сумму			1	1 2 и			далее решать систему		уравнений
L0			2

x
1		13x 0
			1		. Из последней системы следует, что 0 (так как в про-
			1

L0		2x0
x		2x0
x
2		2

тивном случае не будет удовлетворяться первое уравнение системы), тогда решение


		1
системы имеет вид:	x		, x0			x , x	не будет удов-
системы имеет вид:	1	3		2	. Но при этих значениях	1 2	не будет удов-
	1	3		2
		3		2	0. Таким образом, получим что решения нет,
летворяться уравнение связи x				x	0. Таким образом, получим что решения нет,
		1		2

а это неверно.

Пример 4. (показывает, что экстремум функции Лагранжа как задачи без огра-

ничений может не совпадать с экстремумом исходной задачи с ограничениями).

2 3 fx;xxxinf;fx;xxx0.

01221 11211

Решение. Очевидно, что решение задачи

x 0, 0

(так как

из

условия

0 следует,

что x

0 , а решение задачи

0 ). Функ-

x x

inf имеет вид

ция Лагранжа записывается в виде:

L xx xx

1 1 1. Необходимое усло-

13x 0

, то 0 и из первого

вие экстремума:

. Если

L 0

2x 0

1 3x 0

уравнения системы следует,

что

– противоречие. Значит,

. Поло-

жим

. Тогда функция Лагранжа примет вид:

Lx x xx

2 1

1 1. Очевид-

но,

что

L0, 0 0

Пусть

0 произвольное действительное

число. Тогда

L,0 1

L, 0 0

, при

при

1) Если 0 , то 10. Тогда

0 .

2) Если 0 , то

L, 0

L, 0 0

при 0

L, 0 0

при

. Тогда

0 .

L, 0 0

Если

0 1,

то

при

L, 0 0

L, 0

Если

, то

и, следовательно,

при

L, 0 0

0 .

при

L, 0 0

Если

то

следовательно,

при

0 и

10и,

L, 0 0

0 .

при

Таким образом, при любых функция L принимает в любой достаточно малой

окрестности точки 0,

как положительные значения, так и отрицательные значе-

ния. А это означает, что ни при каких

эта функция в точке

x 0, 0

не имеет да-

же локального минимума. Значит, точка x 0, 0 не является решением задачи, а

это неверно.

Задача 5.

На развитие двух предприятий выделено 2 млн. рублей. Если первому предпри-

ятию дадут x1 млн. рублей, то прибыль, полученная от этого предприятия, будет


равна 2 x1				млн. рублей, если x2 млн. дадут второму, то прибыль от него будет равна

3 x2 млн.				рублей. Определить, как следует распределить средства между предпри-

ятиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной. Решим эту задачу методом множителей Лагранжа.

Задача			состоит в отыскании точки глобального максимума функции

f 2 x1 + 3			x2 при ограничении x1 + x2 = 2

Точку возможного максимума найдем методом множителей Лагранжа. Функ-

ция Лагранжа имеет вид:

L(x1, x2 , ) 2x1 3x2 (x1 x2 2)

Для отыскания точек возможных экстремумов составим систему:

L			1			0
L						0
	x1			x1
				x1

	L		3					0


	x2		2		x2
			2		x2
L		x x						2 0
			1				2

											1		3													9	x
	Найдем ее решение.										1		3	2		x			3			x	x			9
	Найдем ее решение.													2		x			3			x	x
												x1	2 x2				2					1		2		4 1
	Подставим						найденное			соотношение						x				9	x		в		уравнение (3), получим
	Подставим						найденное			соотношение						x					x		в		уравнение (3), получим
																		2	4			1
x	9	x 2 0			13		x	2 x	8		и тогда x				18	. Находим :
x		x 2 0					x	2 x			и тогда x					. Находим :
1	4	1		4		1		1	13					2	13

			1			13
							8
			x1
			x1

Итак, система имеет одно решение

	8		18		13
P0		;		; 0
	13		13		8

Исследуем найденную точку на локальный условный экстремум с помощью определителя L

y x1 , x2 x1 x2 2

y	1; y	1
x1	x2

L		1


x1			x1
			x1

L	2					1					; L			P						13						13
													2		0
													2
x												x		0						32				2
1										3		1								32				2
1										3		1
			2						x1
L		0
x1x2
L			3


x2		2			x2
		2			x2
L 2						3					; L			P							13						13
													2		0
													2
x2			4					x2		3		x2		0						72				2
										3

Подставив все в формулу получаем
				0								1						1										1			0

																																			13		13
																																			13		13
										13			13																					1				13	13	13	13
										13			13																					1				13	13	13	13
1				1														0						1						13		13	1
1				1														0						1						13		13	1
										32				2														1							32		2	72	2	32	2
																												1							32		2
																														72		2		1		0
				1								0					13			13										72		2		1		0
																	13			13

																72						2
															8				18
Так как							0 , то Po											;					– точка локального условного максимума.
Так как							0 , то Po											;					– точка локального условного максимума.
															13				13
Чтобы показать, что именно в точке																													Po достигается и глобальный максимум,
перейдём к задаче на отыскивание безусловного максимума функции одной пере-
менной. С помощью задачи x1 x2																									2 , запишем условную функцию в виде:

f (x1, x2 ) 2x1 3x2 2x1 32 x1 y(x1)

Требуется найти такую точку, где достигается наибольшее значение функции.

Область возможного изменения оставшейся переменной отрезок [0;2].

Непрерывная функция на замкнутом отрезке обязательно достигает своего наи-

большего значения либо в критических точках внутри отрезка, либо на концах от-


резка:	y (x1 )			1			3			2 2 x1 3 x1


					x1			2 2 x1
										2 x 2 x
										2 x 2 x
										1	1
Из условия y (x1 ) 0 находим стационарную точку
																			8	(0;2)
2		2 x	3			x	0 2		2 x 3		x 4(2 x ) 9x			8 4x	9x	13x	8 x		8
2		2 x	3			x	0 2		2 x 3		x 4(2 x ) 9x			8 4x	9x	13x	8 x
	1					1				1	1	1	1	1	1	1	1	13
																		13

Точек, где производная не существует, внутри отрезка нет. Находим значение

целевой функции в стационарной точке и на концах отрезка.

y(	8	) 2	18	3	2	8	2	8	3	18	1,56 3,35 5,09

13			13			13		13		13

y(0) 3			2 4,24				y(2) 2			2 2,83

Мы видим, что наибольшее значение достигается в точке x																8
Мы видим, что наибольшее значение достигается в точке x
														1	13
															13
И так, глобальный максимум достигается при x													8	млн.руб., x				18	млн.руб.
И так, глобальный максимум достигается при x														млн.руб., x	2				млн.руб.
											1	13			2		13
												13					13

	8		18		2 2	2	3 3	2	13	2
y 2	8	3	18		2 2	2	3 3	2	13	2	26 5,09млн.руб.
	13		13								26 5,09млн.руб.
				13		13		13
				13		13		13

Пример 6.

Планируется деятельность четырех промышленных предприятий на год. На-

чальные средства 5 млрд усл. руб. Средства, вложенные в k-е предприятие, приносят в конце года доход fk(x). Эти функции заданы таблично:

x	f1	f2	f3	f4
0	0	0	0	0
1	8	6	3	4
2	10	9	4	6
3	11	11	7	8
4	12	13	11	13
5	18	15	18	16

Считаем, что работа предприятия не влияет на работу других предприятий и суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия.

Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, что-

бы суммарная прибыль была наибольшей.

Решение

Итоговая таблица:

		x	Z1	Z2		Z3			Z4	x1		x2			x3	x4
		0	0	0		0		0		0		0		0		0
		1	8	8		8		8		1		0		0		0
		2	10	14		14		14		2		1		0		0
		3	11	17		17		18		3		2		0,1		1
		4	12	19		20		21		4		2,3		1		1
		5	18	21		22		24		5		3,4		1		1
	Расчетная таблица:

Z2		x2	f2	Z1	f2+Z1				f3	Z2	f3+Z2				f4	Z3	f4+Z3

x=1		0	0	8	8				0	8	8				0	8	8
		1	6	0	6				3	0	3				4	0	4

x=2		0	0	10	10				0	14	14				0	14	14
		1	6	8	14				3	8	11				4	8	12
		2	9	0	9				4	0	4				6	0	6

x=3		0	0	11	11				0	17	17				0	17	17
		1	6	10	16				3	14	17				4	14	18
		2	9	8	17				4	8	12				6	8	14
		3	11	0	11				7	0	7				8	0	8

x=4		0	0	12	12				0	19	19				0	20	20

		1	6	11	17				3	17	20				4	17	21
		2	9	10	19				4	14	18				6	14	20
		3	11	8	19				7	8	15				8	8	16
		4	13	0	13				11	0	11				13	0	13

x=5		0	0	18			18		0	21			21		0	22	22

		1	6	12			18		3	19			22		4	20	24
		2	9	11			20		4	17			21		6	17	23

		3	11	10			21		7	14			21		8	14	22
		4	13	8			21		11	8			19		13	8	21
		5	15	0			15		18	0			18		16	0	16

Ответ: Наибольшая прибыль 24 млрд усл. руб. может быть получена, если рас-

пределить средства между предприятиями следующим образом: (1,2,1,1).

Пример 7. Имеется определенное количество ресурсов S0=100, которое необходимо

распределить между n=4 хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц) с целью получения совокупной макси-

мальной прибыли. Размеры вложений ресурсов xi (i 1, n ; xi So ) в деятельность

i 1

каждого хозяйствующего субъекта кратны величине h=20 и заданы вектором Q. Из-

вестно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств xi за рассматриваемый период приносит прибыль в размере fi (xi ) ( i 1, n )

(не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты):

		0				0	0	0	0
		20				14	17	22	20
		20				14	17	22	20
		40	;			26	20	21	33
Q			;	f (x)
Q	60			f (x)	35 32			37	46
		80				52	61	67	30
		80				52	61	67	30
						61	72	58	42
	100					61	72	58	42

Необходимо определить, какой объем ресурсов нужно выделить каждому пред-

приятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

Решение. Особенности модели: ограничения линейные, но переменные цело-

численные, а функции fi (xi ) заданы таблично, поэтому нельзя применить методы целочисленного программирования.

Составим рекуррентные уравнения Беллмана (обратную схему):

Zn* (Sn 1)

max

fn (xn ) ,

0 xn Sn 1

Zk* (Sk 1)

{ fk (xk ) Zk* 1(Sk )}

max

( k n 1,1) ,

(13)

0 xk Sk 1

max

Z *(S

)

max { f (x ) Z *(S )}

0 x1 S0

Определим условные максимумы в соответствии с уравнениями (13), результа-

ты расчетов представлены в табл. 6.

По результатам условной оптимизации определим оптимальное распределение ресурсов:

max

Z * (S

) x* S S

x* Z * (S ) x* S

n 1

n 2

1 0

1 1 0

1 2 1 2

Z * (S

n 1

) x* .

S0 100 Z max Z1* (S0 ) Z1* (100) 87 x1* 0

S1 S0 x1* 100 0 100 Z2* (S1 ) Z 2* (100) 87 x2*

S2 S1 x2* 100 0 100 Z3* (S2 ) Z3* (100) 87 x3*

S3 S2 x3* 100 80 20 Z 4* (S3 ) Z 4* (20) 22 x4*

S4 S3 x4* 20 20 0

Таким образом, оптимальное распределение ресурсов:

X * (x1* , x2* , x3* , x4* ) (0, 0, 80, 20) ,

которое обеспечит наибольшую прибыль в размере 87 усл. ден. ед.

Ответ: оптимальное распределение ресурсов: X * (0, 0, 80, 20) , которое обес-

печивает наибольшую прибыль в 87 усл. ден. ед.

Таблица 6. Расчет условных оптимумов

sk-1 xk

k=3

k=2

k=1

			f	3	(x ) Z * (s )			Z	* (s	2	)	x* (s	2	)	f	2	(x	2	) Z * (s	2	)	Z	* (s )		x* (s )		f	1	(x ) Z * (s )			Z	* (s	0	)	x* (s	0	)
				3	3	4	3	3		2		3	2			2		2	3	2		2		1	2	1		1	1	2	1	1		0		1	0

1	2	3	4					5				6			7							8			9		10					11				12

0	0	0	0					0				0			0							0			0		0					0				0

20	0	20	0+20=20												0+22=22							22			0		0+22=22					22				0
								22				20
	20	0	22+0=22					22				20			17+0=17												14+0=14

40	0	40	0+33=33												0+42=42							42			0		0+42=42					42				0
								42				20
	20	20	22+20=42					42				20			17+22=39												14+22=36

	40	0	21+0=21												20+0=20												26+0=26

60	0	60	0+46=46												0+55=55												0+59=59					59				0
								55				20										59			20
	20	40	22+33=55					55				20			17+42=59							59			20		14+42=56

	40	20	21+20=41												20+22=42												26+22=48

	60	0	37+0=37												32+0=32												35+0=35

80	0	80	0+30=30												0+68=68												0+72=72
								68				20										72			20							73				20
	20	60	22+46=68					68				20			17+55=72							72			20		14+59=73					73				20

	40	40	21+33=54												20+42=64												26+42=68

	60	20	37+20=57												32+22=54												35+22=57

	80	0	67+0=67												61+0=61												52+0=52

100	0	100	0+42=42												0+87=87							87			0		0+87=87					87				0

	20	80	22+30=52												17+68=85												14+72=86

	40	60	21+46=67												20+55=75												26+59=85

	60	40	37+33=70												32+42=74												35+42=77
								87				80
	80	20	67+20=87					87				80			61+22=83												52+22=74
	80	20	67+20=87												61+22=83												52+22=74

	100	0	58+0=58												72+0=72												61+0=61

Пример 8. Решение задачи о загрузке

Контрольная работа содержит вопросы по N различным темам (в каждой теме

разное количество вопросов I). Каждый вопрос типа i имеет вес vi (i=1,2,…N), а также время, отводимое на ответ wi . Максимальное время, которое может затратить студент на контрольную работу, W. Требуется определить максимальное количество баллов (вес), которое может набрать студент за отведенное время W=30.

Данные приведены в таблице:

	№ темы	I	wi		vi
	1	≤5	2		2
	2	≤6	4		3
	3	≤4	1		2
	4	≤3	4		4
	5	≤5	7		6
	6	≤6	5		5
	7	≤5	3		4
	8	≤7	2		2
	Решить задачу, приведя ее к рекуррентным соотношениям.
	Сначала рассмотрим задачу в общей постановке. Если обозначить количество
вопросов типа і через ki , то задача принимает следующий вид:
max Z v1k1 v2k2 vnkn				при ограничениях w1k1 w2k2 wnkn W , ki –

неотрицательные числа.

Если отбросить требования целочисленности ki , то решение задачи нетрудно найти с помощью симплекс-метода. В самом деле, так как остается лишь одно ограничение, базисной будет только одна переменная, и задача сводится к выбору типа і,

для которого величина vi W wi принимает максимальное значение. Исходная задача не является задачей линейного программирования, и для ее решения необходимо использовать метод динамического программирования. Следует отметить, что рассматриваемая задача может быть также решена с помощью методов целочисленного программирования.

Каждый из трех основных элементов модели ДП определяется следующим образом.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20231.09 Mб07448.pdf
#
23.11.20231.1 Mб07449.pdf
#
21.11.2023147.67 Кб0745.pdf
#
23.11.20231.1 Mб07450.pdf
#
23.11.20231.1 Mб07451.pdf
#
23.11.20231.1 Mб17452.pdf
#
23.11.20231.1 Mб07453.pdf
#
23.11.20231.1 Mб07454.pdf
#
23.11.20231.1 Mб07455.pdf
#
23.11.20231.1 Mб27456.pdf
#
23.11.20231.1 Mб07457.pdf