Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6856

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

902.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

			2		ml2	l	2		ml2		ml2		ml	2
	Jz = JzC + md			=		+ m		=		+		=			.
	Jz = JzC + md			=	12	+ m		=	12	+	4	=	3		.
					12	2			12		4		3
Ответ:	J = ml2	3.
Ответ:	z
	z

Тема 6. Теорема об изменении кинетического момента

6.1. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ

Теоремы о движении центра масс и об изменении количества движения описывают только поступательную часть движения твердого тела. Вращательную часть движения описывает теорема об изменении кинетического момента.

Введем понятия:момент количества движения и кинетический момент.

R	R	R	R	R	относительно точки О.
Величину mO (F ) = r			× F	называют моментом силыF	относительно точки О.

Момент количества движения относительно некоторой точки определяется аналогично, но вместо вектора силы берется вектор количества движения.

То есть:

моментом количества движения материальной точки относительно некоторого центра называется векторное произведение

R	R R	R
mO (mv ) = r		× mv.	(6.1)
			(6.1)

а проекция этого вектора на некоторую ось z называется моментом количества

движения материальной точки относительно этой оси ( R ) mz mv .

	R	R
	mO (mv )
		z	R
		z	R
			mv
		R
		mv
		R
O	h	r	h
		r

		π 2	R
π	2	π 2	(mv ) x y
π	2	Oxy
		Oxy

Рис. 6.1.

Рис. 6.2.

Направление вектора кинетического момента количества движения относительно точки определяется по правилу правого винта.

Его модуль равен произведению количества движения на плечо (рис. 6.1):

( R) = ×

mO mv mv h,

где h – плечо вектора количества движения относительно точки О.

O (	R	)		кг× м2
Размерность модуля момента количества движения: m	mv		=		.
				с

Чтобы вычислить момент количества движения относительно оси надо :

Спроектировать вектор на плоскость перпендикулярную оси; Модуль этой проекции (рис. 6.2) умножить на ее плечо относительно точки пересечения оси с плоскостью; Добавить знак в зависимости от направления вектора.

В результате получим:

R	× h,
mz (mv ) = ± (mv )xy

(6.2)

Теперь введем понятие кинетического момента.

Кинетическим моментом механической системы относительно некоторого центра О (или оси) называется сумма моментов количеств движения всех точек данной системы относительного данного центра (или оси):

R	n	R	R	n	R	× mi	R	,
KO	= ∑ mO (m i		v i ) = ∑ ri			× mi	vi	,
	i=1			i=1				(6.3)
								(6.3)

n	R
	R
Kz = ∑ mz (m i v i ).
i=1		(6.4)
		(6.4)

Если точка О является началом системы координат, то спроектировав кинетический моментотносительно центра О на оси, получим кинетические моменты относительно координатных осей:

	R	n	R
Kx	= (KO )x	= ∑mx (m i v i )
		i=1
	R	n	R
Ky	= (KO )	= ∑my (m i v i )
	y	i=1
		i=1
	R	n	R
Kz	= (KO )	= ∑mz (m i v i )
	z	i=1
		i=1

(6.5)

Примечание

Если механическая система представляет собой твердое тело, то кинетические моменты должны определяться не суммированием, а путем интегрирования по объему.

6.2. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА

Пусть материальное тело вращается относительно оси z с угловой скоростью: (рис. 6.3). Вычислим кинетический момент тела относительно оси вращения .

Для этого выделим бесконечно малый элемент объема с массой который находится9)от оси вращения на расстоянии ) ; . Его скорость, будет равна , а его кинетический момент определится по формуле:

dK z = dm × vh = dm ×ω h2 =ω ( x2 + y 2 ) dm.

Кинетический момент всего тела получим, проинтегрировав моменты количеств всех бесконечно малых объемов тела:

K z = ∫ d K z = ω ∫ ( x2 + y 2 ) dm.

V V

где интеграл

∫( x2 + y2 ) dm = J z

представляет собой осевой момент инерции .

Таким образом, кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению осевого момента инерции на угловую скорость:

Kz = Jz ω.	(6.6)
	z
	z

	y′
h	R
	d mv

x′

ωR

Рис. 6.3.

6.3. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА

ТЕОРЕМА

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительного некоторого центра (или оси) равна главному моменту внешних сил относительно этого же центра (или оси):

dK	O	n	R	R

		= ∑mO (Fke )

dt k =1				(6.7)

или

dKx

dK y

dKz

n	R
= ∑mx (Fke )
k =1
n	R
= ∑my (Fke )
k =1
n	R
= ∑mz (Fke )
k =1	.	(6.8)

Доказательство

Рассмотрим сначала одну материальную точку.

Запишем для нее основное уравнение динамики:

= F .

m a

Помножим радиус-вектор точки на левую и правую части равенства:

× m a

= r × F .

В правой части r × F

= M O

( F ) по определению, а в левой части

(

)

R R

(

)

r × m a

= r

× m

= r ×

× mv

−

× mv

− v

× mv.

O (

)

= 0

и мы получаем равенство

Вектор v

параллелен векторуmv

поэтому v × mv

(

)

= r × m a.

Для материальной точки теорема доказана.

Рассмотрим теперь механическую систему.

Просуммируем полученные равенства для всех точек системы.

В левой части получим:

n	d		R	R
∑		m		(m v )	=
		m		(m v )	=
	dt		O	k k
k =1	dt

d	n	R	R		dK	O
	m		(m v )	=		O	.
	m		(m v )	=			.
	∑	O	k k		dt
dt k =1					dt

В правой части отделим моменты внешних сил от моментов внутренних сил:

n	R	R	n	R	R	n	R	R
	R			R			R
∑ mO (Fk ) = ∑ mO (F ek ) + ∑ mO (F ik ).
k =1			k =1			k =1

Внутренние силы, как силы взаимодействия, попарно равны и противоположно направлены, и по этой причине

∑ R ( i ) =

n R

mO F k 0.

k=1

Врезультате получим равенство:

dKO	= n	O (	R	k )

	∑
dt		R		e	.
		m	F

k =1

Теорема доказана.

Вывод из теоремы:

внутренние силы не могут изменить кинетический момент механической системы.

6.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Предположим, что материальное тело вращается относительно оси z . По формуле (6.6) его кинетический момент будет равен Kz = Jzω и тогда в соответствии с теоремой об изменении кинетического момента

d [ J zω ]	= n		z (		k )
				R
dt	∑
		m		F	e	.

k =1

Если тело в процессе вращения не изменяется, то Jz = const и мы получаем дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела:

dω

∑ mz

(F ek ) ,

(6.9)

k =1

Если учесть, что ε =

dω

d 2ϕ

уравнение (6.9) можно записать в виде

dt 2

ε = Jzϕ =

∑ mz (F k )

(6.10)

k =1

Из сравнения формулы (3.8) для поступательного движения и формулы (6.10) для вращательного движения видно, что при поступательном движении мерой инертности тела является его масса, а при вращательном − его момент инерции.

6.5. СЛУЧАИ СОХРАНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА

Из теоремы об изменении кинетического момента следуют два положения.

Следствие 1

Если главный момент внешних сил механической системы относительно некоторого центра все время равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра остается неизменным.

				dK			R
n	R	R		dK	O		и KO = const.
Действительно, если ∑ mO (F ek ) ≡ 0,			то		O	= 0
Действительно, если ∑ mO (F ek ) ≡ 0,			то			= 0
k =1				dt

Следствие 2

Если главный момент внешних сил относительно какой-либо оси все время равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси остается неизменным.

dK z

= const.

Действительно, если ∑ mz (F ek ) ≡ 0

то

= 0 и

k =1

9 0

номерно:. , 9 <=>?

1. Если механическая система представляет собой одно неизменяемое твердое

тело, то

и поэтому

, то есть тело вращается рав-

та инерции вызывает

, 9 <=>?

2. Если система изменяема, то из

следует, что увеличение момен-

тельно вращение

уменьшение угловой скорости (и наоборот).

: <=>?

, 9 , 9

3. Если система состоит из двух

(или нескольких) вращающихся тел с одной

осью вращения, то из

следует, что

, и, следова-

одного тела будет вызывать вращение второго тела с уг-

ловой скоростью9 " @@(

9 .

J z

= const

ω1

J zω z = const

ω 2

J1 > J2

ω1 < ω2

ω z = const

ω1

ω 2

J1ω1 + J2ω2 = const

J1ω1 = −J2ω2

Рис. 6.4

Тема 7. Мощность и работа сил

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ И РАБОТЫ СИЛЫ

Мощностью силы называется величина, равная скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения:

R	R	R	R
N = F	×v	= F v cos (F , v ).
			(7.1)

Мощность может быть как положительной, так и отрицательной (рис. 7.1 ).

F	F			F
F	F			F
α	R	α		α	R
			R

cosα > 0	v	cosα < 0		cosα = 0	v
cosα > 0	v	cosα < 0	v	cosα = 0	v
N > 0		N < 0		N = 0

Рис. 7.1

Размерность мощности [N ] = [F ][v] = Н × м/ с = Вт.

Работой силы за некоторый промежуток времени Dt = t - t0 называется величина, равная интегралу от мощности силы по времени:

	t				dA
A = ∫ N dt , и следовательно N =					dA	(7.2)
A = ∫ N dt , и следовательно N =					dt	(7.2)
	0				dt
	0
Если мощность постоянна, то A = N		t .
	[ A] = [N ][t] = Вт× с =		Н × м× с	= Н × м
Размерность работы	[ A] = [N ][t] = Вт× с =			= Н × м		.
Размерность работы			с			.

Выражение под знаком интеграла в (7.4) есть работа за бесконечно малый промежуток времени,которую называютэлементарной работой:

A B C ∙ D	(7.3)

Вычисление работы при разных способах описания движения также будет отличаться.

Закон движения задан в векторной форме
Если учесть, что		E⁄		, то	A ∙ E		, и тогда

		A FG ∙ E
<=>?			F				(7.4)
						.	(7.5)
При	из (7.5)		следует,		что
		A ∙ HE " E			I ∙ ∆E

Закон движения задан в аналитической форме

	R	R	R	R	R	R	R	R
Пусть	F	= Fxi	+ Fy j	+ Fz k ,	v	= vx i	+ vy j	+ vz k .

N = F v

+ F v

= F

+ F

Тогда

x dt y dt

z dt .

Тогда путем интегрирования мощности получаем, что работа равна

A KKGC *D

(7.7)

Закон движения задан в естественной форме

Поскольку	R	R	&R	&
Поскольку	v	= vττ	= sτ , то	N = Fτ vτ = Fτ s .

Отсюда следует, что при разложении силы по естественному базису мощность имеет только составляющая силы, направленная по касательной к траектории.

Тогда путем интегрирования мощности получаем, что работа равна

A M L?	(7.9)
<=>?, получаем, что
Когда проекция силы на касательную к траектории постоянна, то есть L
A L?	(7.10)

7.2. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ МОЩНОСТИ И РАБОТЫ

Работа силы, действующей на вращающееся тело

Силу, действующую на вращающееся тело (рис. 7.2), разложим на составляю-
щие по естественным осям:
щие по естественным осям:		L	N	O.
Мощность имеет только L. Мощность ее равна					L , где		.
	B P )9	)		CD	B P	9)
Следовательно,	L	, но L		.	B P	9)

Таким образом, мощность силы равна произведению момента силы относи-

тельно оси вращения на угловую скорость тела:

B P CD9.

F b

F n

F τ

Рис. 7.2

Знак '+'соответствует случаю разгоняющей силы, а '-'─ тормозящей силы.

Если на тело действует не сила, а пара сил с вращающим моментом М, то его мощность определя-

ется аналогично: B PQ9.			(7.11)
работа момента	A B PQ R
Если учесть, что	9 R⁄	, то элементарная ра-
бота будет равна			, а полная
получится путем интегрирования:
A P S Q R.			(7.12)
Откуда приQ <=>? получится, что			A PQR.

Работа силы тяжести

Сила тяжести постоянна по величине и по направлению, поэтому для вычисле-
			A ∙ HE " E		I ∙ ∆E
ния работы применим формулу (7.5):						.
z
		R
		R
r 0		G		h
	α			h
	α

	r
	r
	y
x
Рис. 7.3	A T \|∆E\| <=? U
Тогда	A T \|∆E\| <=? U
Поскольку	\|∆E\| <=? U ), тоAV PT) P W) .	(7.13)

Знак '+'соответствует опускающемуся, а '─' ─ его подъему.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.2023900.76 Кб06851.pdf
#
23.11.2023900.92 Кб16852.pdf
#
23.11.2023900.96 Кб06853.pdf
#
23.11.2023901.92 Кб06854.pdf
#
23.11.2023902.04 Кб06855.pdf
#
23.11.2023902.11 Кб16856.pdf
#
23.11.2023902.6 Кб06857.pdf
#
23.11.2023902.95 Кб06858.pdf
#
23.11.2023903.3 Кб06859.pdf
#
21.11.2023142.26 Кб0686.pdf
#
23.11.2023903.46 Кб06860.pdf