6848
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
О.И. Ведяйкина
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Учебно-методическое пособие
по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Теоретической механика»
для обучающихся по направлению подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность. Профиль Безопасность технологических процессов и производств
Нижний Новгород
ННГАСУ
2016
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
О.И. Ведяйкина
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Учебно-методическое пособие
по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Теоретической механика»
для обучающихся по направлению подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность. Профиль Безопасность технологических процессов и производств
Нижний Новгород
2016
УДК 531(075)
Ведяйкина О.И. Теоретическая механика[Электронный ресурс]: учеб.- метод. пос. / Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016.
– 83 с; 77 ил. 1 электрон. опт. диск (CD-R)
Методические указания содержат примеры решения типовых задач по теоретической механике.
Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к практическим занятиям по направлению подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность. Профиль Безопасность технологических процессов и производств
©О.И. Ведяйкина
©ННГАСУ, 2016
3
ВВЕДЕНИЕ
Представленные методические указания предназначены для студентов, изучающих курс теоретической механики, и являются вспомогательным материалом к лекционным занятиям, позволяющим более полно изучить методы исследования и решения задач кинематики.
Указания состоят из трех глав, соответствующих трем разделам теоретической механики: статика, кинематика и динамика. В методических указаниях подробно и доступно показан ход решения нескольких задач по каждой теме соответствующего раздела. Каждая задача проиллюстрирована на рисунке.
ГЛАВА 1. СТАТИКА
1.1 Плоская система сходящихся сил
Сходящейся системой сил называются совокупность сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
Система сходящихся сил имеет равнодействующую, приложенную в точке пересечения линий действия сил, которая геометрически равна главному вектору этой системы сил:
R |
n |
R |
|
R |
= ∑Fi , |
|
|
|
i =1 |
|
|
или в проекциях на координатные оси: |
|
|
|
n |
n |
|
n |
Rx = ∑Fi x ; Ry |
= ∑Fi y ; Rz |
= ∑Fi z . |
|
i =1 |
i =1 |
|
i =1 |
Условием равновесия сходящейся системы сил является равенство нулю главного вектора. Для этого необходимо, чтобы суммы проекций сил на каждую из координатных осей были равны нулю:
n |
n |
n |
∑Fix = 0, |
∑Fiy = 0, |
∑Fiz = 0. |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
Теорема о равновесии трех сил: |
|
|
Для равновесия твердого тела, находящегося под действием трех непараллельных сил, необходимо, чтобы линии их действия пересекались в одной точке.
Задача 1.1. Определение равнодействующей
4
В точке А приложено две силы (рис. 1.1), модули которых равны F1 = 40 Н и F2 = 80 Н. Определить равнодействующую.
R |
Ry |
R |
R |
R |
|||
F |
|
F2 |
|
2 |
|
|
|
R |
|
|
|
F1 |
|
R |
Rx |
|
|
F1 |
|
Рис. 1.1 |
|
|
Рис. 1.2 |
Аналитический метод решения.
Геометрическое сложение двух векторов показано на рис. 1.2. Выбираем систему координат х и у.
Определяем проекции равнодействующей заданных сил на оси координат:
R = F + F cos 45° = 40 + 80 |
2 |
|
= 96.6H |
|||||
|
|
|||||||
|
x |
1 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
|
= F cos 45° = 80 |
|
2 |
= 56.6H |
|
||
y |
|
|
|
|||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Определяем модуль равнодействующей заданных сил:
R = 
Rx2 + Ry2 = 
96.62 + 56.62 = 112.0H
Определяем направляющие косинусы равнодействующей:
|
R |
96.6 |
|
|
|
|
Ry |
|
56.6 |
|
|||
n = cosα = |
x |
= |
|
|
= 0.8625, |
n |
|
= |
|
= |
|
|
= 0.5054. |
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||
x |
R |
112.0 |
|
|
|
R |
|
112.0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определяем угол наклона равнодействующей к оси х: угол будет равен α = 30.3°.
Графо-аналитический метод.
Поскольку задана система двух сил, задачу можно решить с помощью формул тригонометрии.
Модуль равнодействующей определяем по формуле косинусов:
|
|
|
2 |
|
R = F12 + F22 + 2F1F2 cosϕ. = 402 + 802 + 2 × 40 ×80 × |
= 112.0 Н. |
|||
|
|
|
2 |
|
5
Направление равнодействующей определяем по формуле синусов:
F2 |
= |
|
R |
Учитывая, что sin135° = sin 45°, найдем sinα : |
||||||
sin α |
|
|
sin 135° |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
F sin 45° |
80 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
sinα = |
2 |
|
= |
2 |
= 0.5054 |
α = 30.3°. |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
R |
112 |
и тогда |
|||||
Задача 1.2. Определение равнодействующей Задана плоская система сходящихся сил (рис. 1.3). Модули сил равны следующим
значениям: F1 = 30 H, F2 = 70 H, F3 = 60 H, F4 = 50 H.
Определить равнодействующую этой системы сил и её направление.
R |
R |
|
F4 |
R |
|
F1 |
F |
|
|
|
4 |
|
|
|
R |
R |
|
F3 |
||
F2 |
||
|
Рис. 1.3
R |
|
R |
F3 |
|
|
R |
F |
|
|
F1 |
2 |
|
|
Рис. 1.4
Аналитический метод решения.
Перемещаем все силы вдоль их линий действия в точку схода системы − точку А (рис.1.4). Вводим систему координат и помещаем начало координат в точку А. Определяем алгебраическую сумму проекций сил на оси координат, которые будут равны проекциям равнодействующей системы на эти оси:
R = F cos 30° - F - F cos 45° = 70 × |
3 |
- 60 - 50 × |
|
2 |
= -34.7H . |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
2 |
3 4 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R |
|
= -F - F cos 60° + F cos 45° = -30 - 70 × |
1 |
+ 50 × |
|
|
2 |
= -29.7H . |
||||||
y |
|
|
|
|||||||||||
|
1 2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Зная проекции силы на оси можно показать положение равнодействующей на рисунке (рис. 1.5).
Модуль равнодействующей равен:
R = 
(Rx2 + Ry2 ) = 
34.72 + 29.72 = 45.7 H .
6
Определяем направляющие косинусы равнодействующей:
nx |
= cosα = |
Rx |
|
= −34.7 = −0.7593 |
|||||
R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
45.7 |
|||
ny |
= |
Ry |
= |
−29.7 |
= −0.6499. |
||||
R |
45.7 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
Угол наклона равнодействующей будет равен α = 40.6°.
n2 + n2 =1.
Для проверки можно использовать известное соотношение: x y
Графический метод решения.
|
Rx |
|
R |
Ry |
|
R |
||
|
R |
|
|
R |
R |
|
F1 |
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
||
F4 |
|
|
R |
F |
|
|
2 |
F3
Рис. 1.5 |
Рис. 1.6 |
Графический способ нахождения равнодействующей заданной системы сходящихся сил показан на рис. 1.6.
Задача 1.3. Условие равновесия Фонарь весом 80 Н подвешен на кронштейне АВС, укреплённом на вертикальной
стене (рис. 1.7). Определить усилия (реакции связей), возникающие в горизонтальном стержне СВ и наклонной тяге АВ после подвески фонаря, если СВ = 1м и АВ = 1,2м. Соединения в точках А, В, С кронштейна – шарнирные.
7
Рис. 1.7
Для решения задачи можно применить три метода:
1)графический метод;
2)графо-аналитический метод;
3)аналитический метод.
Рассмотрим решение данной задачи 2-м и 3-м методом.
Графо-аналитический (геометрический) метод.
R
|
ab AB |
N AB |
||||
|
|
|
R |
|
||
|
|
|
N AB |
R |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
cb CB |
|
|
|
|
NCB |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
||
|
|
|
NCB |
|
||
|
Рис. 1.8 |
Рис. 1.9 |
||||
Найдем сторону АС треугольника АВС (рис.1.7) с помощью теоремы Пифагора:
AC = 
AB2 − CB2 = 
1.22 −12 = 
0.44 = 0.664 м.
8
На узел В действуют три силы, линии действия которых пересекаются в этой точке. Чтобы они находились в равновесии, силовой треугольник должен быть замкнут.
Построение силового треугольника начинают с заданной силы P . Через начало вектора P проведем линию параллельную стержню AB (направление действия силы
N AB ), а через конец вектора P − линию параллельную стержню CB (направление
действия силы NCB ).
Расставляем направление векторов таким образом, чтобы треугольник оказался замкнутым. Видим, что стержень AB оказался растянутым, а стержень CB − сжатым
(рис. 1.8 и 1.9).
Полученный треугольник abc , подобен треугольнику ABC . Используя свойство подобия треугольников, получаем
N AB = NCB = F
AB CB AC .
Из полученных пропорций, находим усилия в стержнях кронштейна:
N AB |
= |
F × AB |
= |
80 ×1.2 |
=144.6 Н |
и NCB |
= |
F × BC |
= |
80 ×1 |
=120.5 Н. |
AC |
|
|
|
||||||||
|
|
0.664 |
|
|
|
AC 0.664 |
|||||
Аналитический метод.
Используем принцип освобождаемости, т.е. отбрасываем связи кронштейна и действие их заменяем реакциями (рис. 1.10). Принцип освобождаемости применительно к данной задаче называют ещё методом вырезания узлов.
Используем общепринятое соглашение: будем считать, что стержни АВ и СВ растянуты.
R
N AB
R
NCB
R
F
9
Рис. 1.10
Запишем условия равновесия сил, приложенных к узлу B :
|
|
n |
R x = 0 |
∑Fix = 0 |
|
i=1 |
||
|
= 0 |
или n |
R y |
∑Fiy = 0 |
|
|
|
i=1 |
Выбираем систему координат, помещая начало координат в точку В.
Угол наклона реакции N AB обозначим через α (рис. 1.10). Из треугольника АВС (рис. 1.7) находим
cosα = 1 = 0.8333, 1.2
sin α = 0.664 = 0.5533. 1.2
Проектируя силы системы на оси получим следуюшие уравнения:
−NAB cosα − NCB = 0 |
|
|
N AB sinα − F = 0. |
|
|
Из второго уравнения системы получим:
Тогда из второго уравнения равновесия находим
N AB = |
F |
= |
80 |
= 144.6 H . |
|
sin α |
0.5533 |
||||
|
|
|
Подставляя полученное значение силы в первое уравнение равновесия, получим
NCB = - N AB cosα = - 144.6 ×0.8333 = -120.5 H .
Знак «минус» в данном случае говорит о том, сто стержень СВ сжат.
Задача 1.4. Применение теоремы о равновесии трех сил
Кконструкции (рис. 1.11), закрепленной в точках
Аи В на тросе, закрепленном в точке С, подвешен груз весом Р. Определить направления и модули опорных реакций, пользуясь теоремой о трех силах
2м
B
4м
C
P
Рис.1.11 A
3м