Лаба №4

Цель работы: разработать алгоритмы расчета структурных схем надежности.

Ход работы

Задача 1

Исходные данные: q1 = 0,05; q2 = 0,001; q3 = 0,01

Воспользовались формулой для определения безотказной работы системы:

Блок-схема программы:

Программа по задаче:

Листинг программы:

using System;

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

double q1 = 0.05;

double q2 = 0.001;

double q3 = 0.01;

double p1 = 1 - q1; // вероятность безотказной работы датчика

double p2 = 1 - q2; // вероятность безотказной работы электронного усилителя

double p3 = 1 - q3; // вероятность безотказной работы сигнализатора

double p_system = p1 * p2 * p3; // вероятность безотказной работы всей системы

Console.WriteLine($"Вероятность безотказной работы датчика: {p1}");

Console.WriteLine($"Вероятность безотказной работы электронного усилителя: {p2}");

Console.WriteLine($"Вероятность безотказной работы сигнализатора: {p3}");

Console.WriteLine($"Вероятность безотказной работы системы сигнализации: {p_system}");

}

}

Задача 2

Воспользовались формулой для определения безотказной работы системы:

Вероятности p₁(t), p₂(t), p₃(t), p₄(t), p₅(t) близки к единице, поэтому вычислить Р_с(t) удобно, пользуясь приближенной формулой.

Блок-схема программы:

Программа по задаче:

Листинг программы:

using System;

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

double p = 0.998;

double p1 = p;

double p2 = 0.5 * p1;

double p3 = p1;

double p4 = 0.75 * p3;

double p5 = p4;

double p_system = p * p1 * p2 * p3 * p4;

Console.WriteLine($"Вероятность безотказной работы системы: {p_system}");

}

}

Задача 3

B=B1⋅B2⋅B3, где Bi - работает i-aя группа элементов.

Первая группа элементов состоит из одного элемента, то есть B1=A1.

Вторая группа элементов состоит из двух элементов, соединенных параллельно, поэтому B2=A2+A3.

Третья группа элементов состоит из трех элементов, ее можно представить, как параллельное соединение двух подгрупп: (4 и 5, соединены последовательно) и (6), поэтому B3=A4⋅A5+A6.

Подставили все и получаем выражение для события B

B=B1⋅B2⋅B3=A1⋅(A2+A3)⋅(A4⋅A5+A6).

Выразили вероятность безотказной работы цепи за время T. Сначала применили формулу P(A⋅B)=P(A)⋅P(B), чтобы раскрыть произведение:

P(B)=P(A1⋅(A2+A3)⋅(A4⋅A5+A6))=P(A1)⋅P(A2+A3)⋅P(A4⋅A5+A6)=

Раскрыли вторую вероятность по формуле:

, а третью по формуле (P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A)⋅P(B)), получили:

Подставили P(Ai)=p и получили:

p(B)=p⋅(1−(1−p)⋅(1−p))⋅(p⋅p+p−p⋅p⋅p)=p⋅(1−(1−p)2)⋅(p+p2−p3).

Осталось только найти значение при p=0,6; 0,8;0,9.

p(B)=0,6⋅(1−(1−0,6)²)⋅(0,6+0,6²−0,6³)≈0,375.

p(B)=0,8⋅(1−(1−0,8)²)⋅(0,8+0,8²−0,8³)≈0,029

p(B)=0,9⋅(1−(1−0,9)²)⋅(0,9+0,9²−0,9³)≈0,008

Блок-схема программы:

Программа по задаче:

Листинг программы:

using System;

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

double p1 = 0.6;

double p2 = 0.8;

double p3 = 0.9;

double pB1 = p1 * (1 - Math.Pow(1 - p1, 2)) * (0.6 + Math.Pow(0.6, 2) - Math.Pow(0.6, 3)) * 0.375;

double pB2 = p2 * (1 - Math.Pow(1 - p2, 2)) * (0.8 + Math.Pow(0.8, 2) - Math.Pow(0.8, 3)) * 0.029;

double pB3 = p3 * (1 - Math.Pow(1 - p3, 2)) * (0.9 + Math.Pow(0.9, 2) - Math.Pow(0.9, 3)) * 0.008;

double pB = pB1 * pB2 * pB3;

Console.WriteLine($"Вероятность прохождения сигнала на участке AB: {pB}");

}

}

Задача 4

Исходные данные:

p₁ = 0,98; p₂ = 0,98; p₃ =0,99; p₄ = 0,97; p₅ = 0,98.

Надежность цепи с избыточностью равна произведению вероятности безотказной работы i-го элемента цепи на вероятность безотказной работы оставшейся цепи (места подключения i-го элемента замкнуты накоротко) плюс произведение вероятности отказа того же i-го элемента на вероятность безотказной работы, оставшейся цеии (места подключения i-го элемента разомкнуты).

Рассмотрим левую схему, верную при гипотезе H1, через нее проходит ток, если X|H1=A1⋅A3+A2⋅A4, вероятность

P(X|H1)=P(A1⋅A3+A2⋅A4)=P(A1⋅A3)+P(A2⋅A4)−P(A1⋅A3⋅A2⋅A4)=p1⋅p3+p2⋅p4−p1⋅p2⋅p3⋅p4.

Рассмотрим правую схему, верную при гипотезе H2, и выпишем для нее аналогично событие и вероятность прохода тока:

Тогда по формуле полной вероятности, надежность схемы равна:

P(X)=P(X|H1)⋅P(H1)+P(X|H2)⋅P(H2)=q5(p1⋅p3+p2⋅p4−p1⋅p2⋅p3⋅p4)+p5(1−q1⋅q2)⋅(1−q3⋅q4)= (0,98⋅0,99+0,98⋅0,97 − 0,98⋅0,98⋅0,99⋅0,97)+ 0,98(1− 0,02⋅

⋅ 0,02) ⋅(1− 0,99⋅0,97)= 0,9996

Блок-схема программы:

Программа по задаче:

Листинг программы:

using System;

namespace reliability_bridge

{

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

double p1 = 0.98;

double p2 = 0.98;

double p3 = 0.99;

double p4 = 0.97;

double p5 = 0.98;

double p_sys = p1 * p2 + p1 * p3 * p4 * p5 * (1 - p2) + p1 * p2 * p3 * p4 * p5 * (1 - p3) * (1 - p4);

Console.WriteLine("Вероятность безотказной работы системы: " + p_sys);

}

}

}

Вывод: в ходе лабораторной работы разработали алгоритмы расчета структурных схем надежности.

Контрольные вопросы:

1. В чем заключается принцип резервирования.

Ответ: резервирование - метод повышения надежности объекта введением дополнительных элементов и функциональных возможностей сверх минимально необходимых для нормального выполнения объектом заданных функций. В этом случае отказ наступает только после отказа основного элемента и всех резервных элементов.

Систему можно представить из ряда ступеней, выполняющих отдельные функции. Задача резервирования состоит в нахождении такого числа резервных образцов оборудования на каждой ступени, которое будет обеспечивать заданный уровень надежности системы при наименьшей стоимости.

2. Что такое структурная схема надежности и чем она отличается от принципиальной схемы ТУ.

Ответ: структурная схема она же функциональная это схема, на которой прибор представлен как набор блоков, на ней поясняется взаимодействие разных модулей прибора друг с другом. Принципиальная схема — это подробная схема с указанием наименований и номиналов отдельных элементов, а также указаны контрольные точки напряжения, частоты, формы импульсов и т. д.

3. Что такое структурная схема надежности с последовательным соединением элементов.

Ответ: последовательное соединение в структурной схеме надежности –это такое соединение, при котором отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы в целом.

4. Что такое структурная схема надежности с параллельным соединением элементов.

Ответ: параллельным соединением элементов в структурной схеме надежности называется такое соединение, при котором система отказывает только при отказе всех n элементов, образующих эту схему.

5. Надежность при структурной схеме с последовательным соединением элементов

Ответ: если считать отказы элементов независимыми, то на основании теоремы умножения вероятностей, вероятность безотказной работы ТУ выражается следующим образом:

где p_i(t) – вероятность безотказной работы i-о элемента; P_c(t) – вероятность безотказной работы системы.

6. Надежность при структурной схеме с параллельным соединением элементов.

Ответ: согласно определению,

Отсюда

7. Что такое сложная произвольная структурная схема надежности.

Ответ: когда невозможно при составлении структурных схем надежности применить последовательную, параллельную или смешанную схемы, то приходится иметь дело с так называемой сложной произвольной структурой. Для такой структуры не существует общих методов расчета надежности.

Надежность при произвольной структурной схеме.

Ответ: для случая равно надёжных элементов вероятность безотказной работы системы, структурная схема надежности которой представляет собой мостиковую схему, будет равна

p_c (t) = p⁵ + 5p⁴q + 8 p³q² + 2 p²q³ = p⁵ + 5p⁴ (1− p) + 8 p³(1− p)² + 2 p² (1− p)³,

где p = p(t) – вероятность безотказной работы одного элемента;

q = q(t) – вероятность отказа одного элемента.