Планы дфэ сохраняют все достоинства планов пфэ.

3. Планы второго порядка

Если зависимость результативного показателя эффективности функционирования ОИ является нелинейной для проведения экспериментов применяют планы второго порядка. На практике чаще всего для этого используют композиционные планы, в качестве ядра которых берутся рассмотренные ранее планы первого порядка ПФЭ и ДФЭ. Для получения требуемой нелинейной зависимости к планам первого порядка добавляются так называемые звездные точки по две на каждый фактор. Например, для двухфакторной зависимости добавляется 4 звёздных точки. Составляется матрица планирования, а для вычисления всех коэффициентов по одному и тому же алгоритму к свободному члену b₀ дописывается фиктивный фактор х₀, который всегда равен 1.

y = b₀х₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂+b₁₁x₁²+b₂₂x₂^{2 . (4.13)}

Для вычисления коэффициентов математической зависимости (4.13) используется ортогональный центральный композиционный план (ОЦКП) и ротатабельный центральный композиционный план (РЦКП). Планы второго порядка теряют вышеназванные достоинства планов первого порядка ПФЭ и ДФЭ.

ОЦКП

ОЦКП сохраняет свойство симметричности плана за счёт того, что на каждый фактор вводят по две симметричные звёздные точки. ОЦКП сравнительно несложно построить. ОЦКП в значительной мере упрощает вычисления, что особенно существенно для «ручных» вычислений. Свойство нормированности в ОЦКП сохранить не удаётся, но это и не так важно. Для обеспечения ортогональности столбцов матрицы планирования вводят некоторые сравнительно несложные преобразования. Расстояние звёздной точки от середины осей координат вычисляется по формуле:

(4.14)

Для к=2, п=9, α=1.

Вычисляется вспомогательный коэффициент:

(4.15)

Вычисляются новые значения элементов столбцов квадратов факторов:

(4.16)

Геометрическая интерпретация двухфакторного ОЦКП, представляющая совокупность вершин квадратов и звёздных точек, являющихся серединами рёбер, к которым добавлен центр квадрата, представлена на рис,4.3.

Рис. 4.3. Геометрическая интерпретация ОЦКП

Матрица планирования для двух факторов по ОЦКП представлена в виде таблицы 4.3.

Таблица 4.3

	x0	х1	х2	x12	x12	x22
ЦТ	1	0	0	0	-2/3	-2/3
План ПФЭ	1 1 1 1	-1 1 -1 1	-1 -1 1 1	1 -1 -1 1	1/3 1/3 1/3 1/3	1/3 1/3 1/3 1/3
Звездные точки	1 1 1 1	-1 1 0 0	0 0 -1 1	0 0 0 0	1/3 1/3 -2/3 -2/3	-2/3 -2/3 1/3 1/3

Для вычисления коэффициентов нелинейного уравнения регрессии (4.13) используем математическую зависимость (4.6) и получим расчётные формулы:

(4.17)

РЦКП

РЦКП обеспечивает несущественную разницу в ошибках экспериментов в точках, равноотстоящих от центра проведения экспериментов, поэтому они широко применяются в динамических методах поиска экстремальных значений. Расстояние звёздной точки от центра осей координат и количество проводимых экспериментов в центральной точке вычисляются по формулам:

(4.18)

Составим матрицу планирования РЦКП для двух факторов:

Так как столбцы матрицы планирования неортоганальны, то вычислить коэффициенты уравнения регрессии по (4.6) невозможно. Расчётные формулы для их вычислений получены на основании матричной зависимости (4.2):

(4.19)

Композиционные планы ОЦКП и РЦКП имеют существенный недостаток, который начинает сказываться с увеличением количества факторов в проводимых экспериментах, чем больше факторов, тем больше расстояние звёздных точек от центра осей координат, которое всё больше и больше удаляется от заданных границ диапазонов изменения факторов, что является нежелательным.