128

Глава 9. Имитационное моделирование систем

9.1. Основные принципы имитационного моделирования систем

Определение имитационного моделирования. В сложных системах, характеризующихся многоуровневостью и взаимодействием между собой элементов, каждый из которых также является системой, при традиционном подходе к моделированию исследователь неизбежно сталкивается с огромными трудностями. Основной сложностью оказывается непосредственная формализация и математическое описание общесистемных ситуаций на базе умозрительного анализа связей и зависимостей между элементами системы, тем более, что не всегда для этой цели имеются подходящие математические средства. В таких ситуациях возможен иной путь. На помощь приходят приемы моделирования, которые представляют модель в виде алгоритмической программы для ЭВМ. В этом заключается сущность имитационного моделирования.

имитационное моделирование (ИМ) – это исследование сложной системы на ЭВМ, направленное на получение информации о самой системе. ИМ основано на воспроизведении с помощью ЭВМ развернутого во времени процесса функционирования системы с учетом взаимодействия с внешней средой.

Основными задачами ИМ являются:

• разработка модели исследуемой системы на основе частных имитационных моделей (модулей) подсистем, объединенных своими взаимодействиями в единое целое;

• выбор информативных (интегративных) характеристик объекта, способов их получения и анализа;

• построение модели воздействия внешней среды на систему в виде совокупности имитационных моделей внешних воздействующих факторов;

• выбор способа исследования имитационной модели в соответствии с методами планирования имитационных экспериментов (ИЭ).

Целью ИМ является конструирование имитационной модели объекта и проведение ИЭ над ней для изучения законов функционирования и поведения с учетом заданных ограничений и целевых функций в условиях взаимодействия с внешней средой.

К достоинствам метода ИМ могут быть отнесены:

• проведение ИЭ над имитационной моделью системы, для которой натурный эксперимент не осуществим по этическим соображениям или эксперимент связан с опасностью для жизни, или он дорог, или из-за того, что эксперимент нельзя провести с прошлым;

• решение задач, аналитические методы для которых неприменимы или трудоемки, например, в случае непрерывно-дискретных факторов, случайных воздействий, нелинейных характеристик элементов системы и т.п.;

• возможность анализа общесистемных ситуаций и принятия решения с помощью ЭВМ (в том числе для сложных систем), выбор критерия сравнения стратегий поведения который на уровне проектирования не осуществим;

• сокращение сроков и поиск проектных решений, которые являются оптимальными по некоторым критериям оценки эффективности;

• проведение анализа вариантов структуры больших систем, различных алгоритмов управления, изучение влияния изменений параметров системы на ее характеристики и т.д.

За счет идентичности строения и поведения возможных сочетаний и скачков состояния системы при ИМ имеет место определенное сходство процесса, воспроизводимого ЭВМ, и реального процесса функционирования системы. Конструируя общесистемные ситуации, ЭВМ как бы имитирует явления и события моделируемого процесса.

При экспериментах с имитационными моделями на ЭВМ «проигрываются» различные варианты. Такое «проигрывание» должно быть целенаправленным, организованным и оптимальным (например, в смысле экономии времени исследователя). Для этих целей разработана математическая теория планирования эксперимента, о которой речь пойдет позднее.

Замечательным результатом программной реализации сложных моделей стало уяснение того факта, что алгоритмически можно описывать даже такие системы, которые в силу их сложности не допускают аналитического описания. Это обстоятельство резко расширило класс объектов, доступных для ИМ. В настоящее время методы и способы ИМ широко используются в экономике, химии, агротехнике и в других областях, где практически невозможно получить точное аналитическое решение поставленной задачи. Некоторая потеря достоверности и чистоты результатов в ИМ компенсируется значительным упрощением имитационной модели по сравнению с аналитической.

В обычной постановке ИМ ориентировано на решение задачи анализа и параметрического синтеза из условия получения каких-то оптимальных свойств в исследуемой системе. Например, может решаться задача оценки влияния различных факторов маркетинга на величину получаемой прибыли. Решая эти задачи на имитационной модели можно получить оптимальные значения исследуемых факторов.

Для получения и анализа имитационных моделей в ИМ широко применяется математический аппарат корреляционно-регрессионного анализа.

Общие понятия корреляционно-регрессионного анализа. Статистической называется зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой величины.

В частном случае статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется математическое ожидание другой. В этом случае говорят о корреляции или корреляционной зависимости.

Статистическая зависимость проявляется только в массовом процессе, при большом числе единиц совокупности.

регрессия – это односторонняя зависимость между случайными величинами. Она устанавливает соответствие между этими величинами.

Корреляция в широком смысле слова означает связь, соотношение между объективно существующими явлениями. Связи между явлениями могут быть различны по силе. При измерении тесноты связи говорят о корреляции в узком смысле слова. Если случайные переменные причинно обусловлены и можно в вероятностном смысле высказаться об их связи, то имеется корреляция.

Понятия «корреляция» и «регрессия» тесно связаны между собой. В корреляционном анализе оценивается сила, а в регрессионном анализе исследуется форма связи. Корреляция в широком смысле объединяет корреляцию в узком смысле и регрессию.

Любое причинное влияние можно выразить либо функциональной, либо корреляционной связью. Но не каждая функция или корреляция соответствует причинной зависимости между явлениями. Поэтому требуется обязательное исследование причинно-следственных связей.

Исследование корреляционных связей называют корреляционным анализом, а исследование односторонних стохастических зависимостей – регрессионным анализом. Корреляционный и регрессионный анализ имеет свои задачи.

К задачам корреляционного анализа относятся следующие:

1. Измерение степени связности (тесноты, силы) двух и более явлений. Здесь рассматриваются в основном уже известные связи. задача сводится к их подтверждению.

2. Отбор факторов оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак на основании измерения тесноты связи между явлениями.

3. Обнаружение неизвестных причинных связей. Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между явлениями, но устанавливает степень необходимости этих связей и достоверность суждений об их наличии. Причинный характер связей выясняется с помощью логически-профессиональных рассуждений, раскрывающих механизм связей.

Перечислим задачи регрессионного анализа.

1. Установление формы зависимости (линейная или нелинейная; положительная или отрицательная и т.д.)

2. Определение функции регрессии и установление влияния факторов на зависимую переменную. Важно не только определить форму регрессии, указать общую тенденцию изменения зависимой переменной, но и выяснить, каково было бы действие на зависимую переменную главных факторов, если бы прочие не изменялись и если бы были исключены случайные элементы. Для этого определяют функцию регрессии в виде математического уравнения того или иного типа.

3. Оценка неизвестных значений зависимой переменной, то есть решение задач интерполяции и экстраполяции. В ходе экстраполяции распространяются тенденции, установленные в прошлом, на будущий период. Экстраполяция широко используется в прогнозировании. В ходе интерполяции определяют недостающие значения, соответствующие моментам времени между известными моментами, то есть определяют значения зависимой переменной внутри интервала заданных значений факторов.

Итак, корреляционно-регрессионный анализ является одним из важных методов построения математических моделей в экономике. Цель корреляционно-регрессионного анализа – определить общий вид математической модели в виде уравнения регрессии, рассчитать статистические оценки параметров, входящих в это уравнение, и проверить статистические гипотезы о степени зависимости функции от ее аргументов.

Первоначально термин «регрессия» был употреблен Ф.Гальтоном (1886) в теории наследственности. Значительным вкладом в регрессионный анализ явилась разработка метода наименьших квадратов К.Гауссом (1795), А.Лежандром (1806), А.Марковым (1900) и а.Колмогоровым.

Применение статистических методов измерения связей между отдельными факторами особенно необходимо при исследовании экономических процессов, где экспериментальное устранение влияния побочных факторов затруднено или невозможно.

В рамках корреляционно-регрессионного анализа происходит и выбор адекватного эмпирическим данным уравнения регрессии. При этом недостаточно только качественного (логического) анализа. Хотя рабочие гипотезы о возможной форме связи формулировать можно, уравнение регрессии составляется исследователем на основе характера связи между функцией и аргументами. Вопрос о связи решается, как правило, поэтапно.

Статистика разработала множество методов изучения связей, выбор которых зависит от целей исследования и от поставленных задач. Связи между признаками и явлениями ввиду их большого разнообразия классифицируют по ряду оснований.

Связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными) называется парной корреляцией.

Зависимость же результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование, называется множественной корреляцией.

Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи). Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение результативного признака обуславливается влиянием одного или нескольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов принимается за постоянные (или усредненные) величины.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Количественные критерии оценки тесноты связи оцениваются по шкале Чеддока.

Широко известны два типа связей: функциональные и регрессионные. Если функциональные связи точно выражаются аналитическими выражениями, то регрессионные связи выражаются уравнениями лишь приближенно. В общем случае можно сказать, что связь между функцией и аргументами будет тогда функциональной, когда будут точно учтены все аргументы, определяющие значение функции, что в экономических моделях весьма проблематично.

Корреляционно-регрессивный анализ включает в себя измерение тесноты и направления связи, а также установление аналитического выражения (формы) связи.

Обычно вначале рассматривается линейная форма связи вида

(9.1.1)

где x_i – факторы, i = 1,2,…,k; так как такая линейная форма связи часто встречается на практике и для нее разработан хороший математический аппарат.

При этом могут решаться следующие задачи:

• установление точности определения коэффициентов регрессии b_i в виде значений дисперсий S²(b_i) или величины доверительных интервалов;

• установление значимости коэффициентов b_i;

• проверка адекватности установленной формы связи экспериментальным данным.

Аппарат корреляционно-регрессионного анализа используется в двух направлениях:

• для проведения статистического анализа результатов наблюдений пассивных экспериментов (экспериментов, в которых независимые переменные x_i не могут изменяться экспериментатором, т.е. не регулируются). В результате такого анализа решение вопроса о виде формы связи (уравнения Y = F(X)) не является окончательным, т.е. можно принять в качестве математической модели процесса большое число уравнений регрессии, удовлетворяющих полученным экспериментальным данным;

• совместно с методом наименьших квадратов для планирования статистических экспериментов и анализа результатов. В этом случае планирование экспериментов осуществляется в соответствии с принятым видом уравнения связи Y = F(X).