4.3. Геометрическая интерпретация и графический метод решения задачи линейного программирования

Область допустимых решений ЗЛП. Графический способ решения ЗЛП целесообразно использовать для:

• решения задач с двумя переменными, когда ограничения выражены неравенствами;

• решения задач со многими переменными при условии, что в их канонической записи содержится не более двух свободных переменных.

Рассмотрим ЗЛП на плоскости, т.е. при n =2:

• целевая функция:

maxY = c₁х₁+c₂х₂, (4.3.1)

• ограничения:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ ≤ b₁,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ ≤ b₂,

.......................... (4.3.2)

а_m1х₁ + а_m2х₂ ≤ b_m,

х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0. (4.3.3)

Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничными прямыми а_i1х₁ + а_i2х₂ ≤ b_i, (i=1,...,m). В том случае, если система неравенств совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение), область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как это множество выпуклое, то областью допустимых решений является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений. Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки равенств.

Областью допустимых решений системы неравенств (4.3.2) - (4.3.3) может быть:

• выпуклый многоугольник;

• выпуклая многоугольная неограниченная область;

• пустая область;

• луч;

• отрезок;

• единственная точка.

Целевая функция (4.3.1) определяет на плоскости семейство параллельных прямых, каждой из которых соответствует определенное значение Y.

Перпендикулярный к этим прямым вектор G = (а₁,а₂) с координатами а₁ и а₂ (градиент Y) указывает направление наискорейшего возрастания Y, а противоположный вектор – направление убывания Y.

Если в одной системе координат изобразить область допустимых решений системы неравенств (4.3.2) – (4.3.3) и семейство параллельных прямых линий уровня целевой функции (4.3.1), то задача определения максимума функции Y сведется к нахождению в допустимой области точки, через которую проходит прямая из семейства Y = const, и которая соответствует наибольшему значению параметра Y.

Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и целевая функция в нем ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение.

Для определения данной вершины построим линию уровняY = c₁х₁+c₂х₂ = 0, проходящую через начало координат и перпендикулярную векторуG = (а₁, а₂),и будем передвигать ее в направлении вектораG = (а₁, а₂)до тех пор, пока она не коснется последней крайней (угловой) точки многоугольника решений. Координаты указанной точки и определяют оптимальный план данной задачи.

Таким образом, геометрически ЗЛП (4.3.2) - (4.3.3) представляет собой поиск такой точки многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции (4.3.1) наибольшее значение, причем допустимыми решениями являются все точки многогранника решений.

Графический метод решения ЗЛП.Если в ЗЛП ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными, она может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.

Этап 1.На координатной плоскостих₁0х₂строится допустимая многоугольная область (область допустимых решений, область определения), соответствующая ограничениям. Затем строится вектор-градиент линейной функцииG = (а₁,а₂)в какой-нибудь точке с координатамиа₁иа₂, принадлежащей допустимой области.

Этап 2. ПрямаяY = c₁х₁+c₂х₂, перпендикулярная вектору-градиенту, передвигается в направлении этого вектора в случае максимизации Y до тех пор, пока не покинет пределов многоугольной области допустимых решений. Предельная точка (или точки) области при этом движении и является точкой максимума целевой функцииY(х₁, х₂).

Этап 3.Для нахождения координат точки максимума достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума.

В случае минимизации Y прямую Y = c₁х₁+c₂х₂ надо двигать в направлении, противоположном вектору-градиенту. Ясно, что если прямая при своем движении не покидает допустимой области, то соответствующий максимум (минимум) Y не существует.

Пример. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

F(x₁,x₂)=2x₁+5x₂ → max.

Ограничения: х₁+2х₂≤8; (L₁)

х₁≤4 (L₂)

х₂≤3 (L₃)

х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0 (L₄)

Ограничения L₄ означают, что область решений будет лежать в первом квадранте декартовой системы координат.

Этап 1. Определим и построим область допустимых решений в соответствии с ограничениями L₁, L₂, L₃, L₄ (рис. 12).

х₂

L₂

Т а б л и ц а 1

Узел	х1	х2	F
А В С D E	0 0 2 4 4	0 3 3 2 0	0 15 19 18 8

C

L₃

B

L₁

D

G

х₁

0

A

E

Рис. 12

В результате мы получили многогранник с вершинами в точках (узлах) A,B,C,D,E. Координаты этих узлов представлены в табл.1. Область допустимых решений, соответствующая ограничениям L₁– L₄лежит внутри этого многоугольника.

Этап 2. Приравняем целевую функцию постоянной величинеа:

2x₁+5x₂ = а.

Это уравнение является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение, равное а. Меняя значениеа, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых являетсялинией равного уровня.На рис 12 эти линии изображены пунктиром.

Этап 3. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиентG, т.е. вектор, перпендикулярный к линии равного уровня и направленный в сторону роста целевой функцииF.

В нашем случае движение линии уровня будем осуществлять до ее пересечения с точкой C, далее она выходит из области допустимых решений. Следовательно, именно в этой точке достигается максимум целевой функции. Отсюда запишем решение исходной ЗЛП: max F = 19 и достигается приx₁=2; x₂=3.

Если поставить задачу минимизации функции Fпри тех же ограничениях, линию уровня необходимо смещать параллельно себе в сторону, противоположную градиентуG. Как видно на рис 12, минимум целевой функции достигается в точкеA, следовательно, можно записать: min F = 0 и достигается при x₁=0; x₂=0.

Значения целевой функции во всех узлах многоугольника решений представлены в табл.1.

При решении некоторых ЗЛП может встретиться случай, когда линия уровня параллельна одной из сторон выпуклого многоугольника допустимых решений, причем эта сторона расположена в направлении смещения линии уровня при стремлении целевой функции к своему оптимуму. В этом случае, оптимальное значение целевой функции достигается не в одной, а двух угловых точках (вершинах) многогранника решений и, следовательно, во всех точках отрезка, соединяющего эти вершины, т.е. задача будет иметь бесчисленное множество решений.

Если область допустимых решений является незамкнутым выпуклым многогранником в направлении оптимизации целевой функции, то целевая функция будет неограниченной и ЗЛП не будет иметь решений; в этом случае условно можно записать, что, например, maxF= +∞.

Очевидно также, что ЗЛП не будет иметь решений в случае, когда область допустимых решений есть пустое множество, т.е. система ограничений ЗЛП содержит противоречивые неравенства, и на координатной плоскости нет ни одной точки, удовлетворяющей этим ограничением.

В заключение отметим, что геометрическим способом можно решать ЗЛП с числом переменных больше двух. Для этого, используя метод Жордана-Гаусса исключают из задачи лишние переменные и сводят исходную задачу к ЗЛП с двумя переменными [3].