С учетом (6.3.2) систему уравнений баланса (6.2.1) можно переписать в виде

Х_i = а_ij Х_j + Y_i ; ().(6.3.3)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А= (а_ij), вектор-столбец валовой продукцииХи вектор-столбец конечной продукцииY :

А = , X = , Y =, (6.3.4)

то система уравнений (6.3.3) в матричной форме примет вид

X = AX + Y. (6.3.5)

Коэффициенты прямых затрат по определению являются положительными, следовательно, матрица Ав целом может быть названа неотрицательной:А≥ 0. Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицыАдолжны быть меньше единицы:а_ij < 1.

Система уравнений (6.3.4) или в матричной форме (6.3.5) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью В.Леонтьева, моделью «затраты - выпуск»). При решении задач МОБ матрица коэффициентов прямых затрат А должна быть задана. Тогда, с помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi)можно определить объемы продукции,направляемые отраслями конечному потребителю(объемы конечной продукцииY_i):

Y_i = Х_i - а_ij Х_j . () (6.3.6)

• Задав объемы конечной продукции всех отраслей (Y_i)по формуле (6.3.3) можно определитьпотребные величины валовой продукциикаждой отрасли. Тем самым становится возможным строить плановые расчеты выпусков, исходя непосредственно из потребностей общества.

• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных — объемы конечной продукции, можно рассчитать величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Запишем уравнение (6.3.5) в виде:

X = (I – A)^-1 Y, (6.3.7)

где I – единичная матрица размерности n.

Матрица В =(I – A)^-1называетсяобратной матрицей Леонтьева, илимультипликатором Леонтьева. Обратная матрицаВ есть матрица коэффициентов полных затрат. Экономический смысл ее элементовb_ijзаключается в следующем: коэффициентb_ijпоказывает потребность в валовом выпуске продукцииi-ой отрасли для производства единицы конечной продукцииj-й отрасли. Таким образом,b_ijв сущности есть мультипликатор, показывающий эффект распространения спроса, первоначальным источником которого является спрос на конечную продукцию.

Таблица межотраслевого баланса. Принципиальная схема межотраслевого баланса и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении приведена в табл. 6. В основу этой схемы положено разделение совокупного общественного продукта на две части: промежуточный и конечный продукт; все общественное производство представлено в виде совокупностиn отраслей, при этом каждая отрасль фигурирует в балансе как производящая и как потребляющая.

Т а б л и ц а 6

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли							Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2		3	...		n
1 2 3 . . . n	x11 x21 x31 ... ... ... xn1		x12 x22 x32 ... ... ... xn2	x13 x23 x33 xn3		... ... ... ... I ... ...	x1n x2n x3n . . . xnn	Y1 Y2 Y3 . II . Yn	Х1 Х2 Х3 . . . Хn
Амортизация Оплата труда Чистый доход	с1 v1 m1		с2 v2 m2	с3 v3 m3		... III ...	сn vn mn	IV
Валовой продукт	Х1		Х2	Х3		...	Хn

Рассмотрим схему МОБ в разрезе его крупных составных частей. Выделяются четыре части, имеющие различное экономическое содержание, они называются квадрантами баланса и на схеме обозначены римскими цифрами.

П е р в ы й к в а д р а н т МОБ — это квадратная матрица межотраслевых материальных связей x_ij. Матрица имеет размерность n×n, общий итог первого квадранта выражает объемпромежуточного продукта(т.е. части совокупного продукта), идущего на возмещение текущего производственного потребления предметов труда и производственных услуг.

В т о р о й к в а д р а н т отображает конечную продукцию всех отраслей материального производства, которая реализуется в виде личного и общественного непроизводственного потребления. Этотконечный продукт соответствует величине национального дохода, используемого на потребление и накопление. Сумма промежуточного и конечного продуктов составляет общий объемсовокупного общественного продукта.

Т р е т и й к в а д р а н т МОБ также характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации. Чистая продукция понимается при этом как сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей. Сумма амортизации (c_j) и чистой продукции (v_j+m_j) некоторой j-й отрасли называется условно чистой продукцией этой отрасли и является стоимостным эквивалентом конечного продукта.

Ч е т в е р т ы й к в а д р а н т (в табл. 6 детально не рассматривается) отражает конечное распределение и использование национального дохода. Данные четвертого квадранта важны для отражения в МОБ доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. Важно, что общий итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу.

Несмотря на простоту модели и уравнений, решение задачи МОБ в масштабах страны или отрасли связано с большими трудностями в связи с высокой размерностью (обычно n>100). Поэтому задача решается с применением мощной вычислительной техники достаточно сложными итерационными методами и процедурами.