85

Глава 6.Моделирование экономических систем

6.1. Некоторые прикладные модели экономических процессов

Рассмотрим примеры типовых моделей и графиков, наиболее часто встречающихся в задачах моделирования и оптимизации экономических систем.

Функция потребления и линия бюджетного ограничения. В теории потребительского спроса на два товарахиупредпочтения потребителя описываютсякривыми безразличия (indifference curve), которые соединяют потребительские наборы (х, у) и есть не что иное, как линии уровняфункции потребленияилифункции полезности (utility function). Значение функции полезностиU(х,у) равно потребительской оценке этого набора. Ряд свойств этой функции удобно изучать, используя геометрическую интерпретацию уравненийU(х,у) = с, гдес – меняющийся параметр, характеризующий значение (уровень) функции потребления. В качестве величинысможет выступать, например, доходR или уровень материального благосостояния.

В пространстве потребительского спроса каждому уравнению U(х,у) = с соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ хиу, которая называетсяповерхностью безразличия. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания (х) и непродовольственные товары, включая услуги (у). Тогда уровни функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениямс (рис. 20, где с₁<с₂<с₃)

у

Из основных свойств функции потребления отметим следующие.

1) Функция U(х,у)является возрастающей функцией всех своих аргументов, т.е. увеличение потребления любого блага при неизменном уровне потребления всех других благ увеличивает значение данной функции. Поэтому более удаленная от начала координат кривая безразличия соответствует большему зна-

Кривые безразличия

С₃

С₁

С₂

0

Рис. 20

х

чению функции потребления, а сам процесс максимизации этой функции можно интерпретировать как поиск допустимой точки, принадлежащей кривой безразличия и максимально удаленной от начала координат;

2) Кривые безразличия не могут пересекаться. В противном случае один и тот же набор благ (товаров, услуг) одновременно соответствовал бы нескольким разным уровням материального благосостояния.

3) Кривые безразличия являются выпуклыми кривыми.

Рассмотрим вопрос моделирования поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений на базе максимизации целевой функции потребления. В основе модели лежит гипотеза, что потребители, осуществляя выбор товаров при установленных ценах и имеющемся доходе, стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей.

Введем понятие бюджетного ограничения(budget constraint) (расходы потребителя ≤ его бюджета) и рассмотрим случай, когда потребитель тратит весь свой бюджет на рассматриваемые товары:хр_х + ур_у = R,гдеR – доход потребителя, ар_хир_у – цены товаровх иу соответственно.

Построим графики кривой безразличия и бюджетного ограничения. Сделаем это для простейшей функции потребления U(х,у) = ху.

Для уровня потребления с и доходаRполучаем следующие уравнения:

у

Г

R

0

М

х

с = ху

рафиком первой из этих функций (кривой безразличия) на рис. 21 является гипербола, а графиком второй (бюджетного ограничения) – прямая линия, имеющая отрицательный наклон и пересекающая ось абсцисс в точке[R / р_х], соответствующей количеству товарах по ценер_х,если потратить на него весь доход R.

В

Рис. 21

ыбор потребителей ограничен

треугольником бюджетных ограничений.

Набор товаров М, соответствующий точке касания прямой бюджетного ограничения с наиболее удаленной точкой на кривой безразличия, является оптимальным решением, обеспечивающим максимум удовлетворения потребительских потребностей.

Статические модели спроса.Функциями покупательского спроса (функциями спроса; demand function) называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги от комплекса факторов, влияющих на него. Такие функции строятся на основе информации о структуре доходов населения, ценах на товары, составе семей и других факторов. Рассмотрим построение функций спросаD_i в зависимости от двух экзогенных факторов — дохода потребителейR и ценp_i

При формировании статических моделей спроса часто либо доход, либо цены считают неизменными.

D_i

Рассмотрим первый случай. Обычный график зависимости спроса от цены (кривая спроса) показан на рис. 22 (семейство кривых дано для разных значений доходаR). Для большинства товаров при неизменном доходе величина спроса уменьшается с ростом их цен. Но возможны и аномалии – с повышением общего уровня цен спрос на относительно дешевые товары даже при растущих ценах на них

R₁ > R₂ > R₃

R ₁

R₂

R₃

0

P_i

Рис. 22

них увеличивается (так называемый «парадокс Роберта Гиффена»). Относительное изменение объема спроса при изменении цены данного товара или цен других, связанных с ним товаров характеризует коэффициент эластичностиспроса от цен. Этот коэффициент удобно трактовать как величину изменения спроса в процентах при изменении цены на 1% (см. раздел 6.2).

Рассмотрим второй случай, когда вектор цен остается неизменным, а изменяется только доходR.Для двух товаровхиуэтот случай представлен на рис. 23, где прямаяАВ — бюджетная линия, соответствующая комбинации количеств этих двух товаров, которую можно купить на сумму денег R. При увеличении дохода, бюджетные линии перемещаются параллельно самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе с ними перемещаются соответствующие кривые безразличия. Точками оптимума спроса потребителей для соответству-

ющих размеров дохода будут в данном случае точки М₁, М₂, М₃. Кривая, соединяющая точки 0, М₁, М₂, М₃является графическим отображением векторной функции спроса от дохода при заданном векторе цен.

Однофакторные функции спроса от дохода широко применяются при анализе покупательского спроса. Соответствующие этим функциям кривые

у

0

М₃

М₁

А

В

М₂

х

Рис. 23

называются кривыми Энгеля. Формы этих кривых для различных товаров могут быть различными. При неизменных ценах с ростом дохода обычно растет и спрос на большинство благ (кроме наиболее дешевых и низкокачественных).

По величине эластичности спроса по доходу (т.е. в зависимости от вида функций спроса от дохода) шведский экономист Л.Торнквист предложил специальные виды функции спроса (функции Торнквиста) для трех групп товаров: первой необходимости, второй необходимости и предметов роскоши.

Функция Торнквиста для товаров первой необходимостиимеет вид:

и отражает тот факт, что рост спроса на эти первоочередные товары с ростом дохода Rпостепенно замедляется и имеет предел насыщенияа₁; графиком функции является вогнутая кривая Энгеля (Engel curve) I на рис.24. Здесь и далее а_i, b_i и β_i (i =1,2,3) - некоторые параметры, определяемые статистически для каждого конкретного случая.

Функция спроса по Торнквисту на товары второй необходимостивыражается формулой

гдеR ≥ b₂.

Эта функция также имеет предел насыщенияа₂, но более высокого уровня; при этом спрос на эту группу товаров появляется лишь после того, как доходRдостигнет величиныb₂ График функции — вогнутая криваяII на рис. 24.

Наконец, функция Торнквиста для предметов роскошиимеет вид

гдеR ≥ b₃.

D

Эта функция не имеет предела. Спрос на эти товары возникает после того, как доход Rпревысит величинуb₃, и далее быстро возрастает, так что график функции — выпуклая криваяIII на рис.24. Кроме указанных функций, в аналитических моделях покупательского спроса используются также другие функции: степенные,S-образные и т.д.

a₂

a₁

I

II

III

0

b₂

b₃

R

Рис. 24

В более сложных моделях при анализе спроса на данное благо ( или группу) учитываются также цены на некоторые другие товары, которые могут оказать на спрос заметное влияние. Ими являются взаимодополняющие и взаимозаменяемые блага.

Зависимость издержек и дохода от объема производства. Рассмотрим функции издержекС(q),доходаR(q), и прибыли S(q) фирмы в зависимости от объема производстваq. В соответствии с понятием жизненного цикла товара, издержки велики при маломq и вначале растут быстрее, чем доход.

При увеличении объема производства q прибыль растет, в какой-то момент она сравняется с издержками и фирма начинает получать прибыль достигая максимума при оптимальном значенииq.Но затем маркетинговые издержки снова начинают расти быстрее дохода и прибыль уменьшается.

Типичные графики дохода R(q), издержекС(q)и прибылиS(q) приведены на рис. 25. Им, например, могут соответствовать функции:

R(q) =аq – bq²,

С(q) = сq - d q² + eq³,

у.е.

R(q)

С(q)

q

S(q)

q₂

q₁

Рис. 25.

где a,b,c,d,e– коэффициенты (параметры) модели. Объемы производстваq₁ иq₂соответствуют точкам безубыточности. Очевидно, что для достижения положительной прибыли должно выполняться условиеq₁< q< q₂.